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1、,现实世界中，我们说遇到的许多现象都存在着不确定性。为了描述不确定性现象的规律性，就需要应用概率论说提供的理论和方法。当我们不能获得总体的数据而只有样本数据时，必须根据样本信息来推断总体数量特征。显然这种推断说依据的信息是不完全的，推断结果具有不确定性，因此推断统计是建立在概率论基础之上的。这一章既是沟通描述统计与推断统计的桥梁，也是学习后面几章统计推断的基础。在一章中，将简要介绍概率论的基本知识，着重介绍概率及其有关的概念、常见的几种概率分布及其主要特征、大数定律和中心极限定理。,引入故事从赌博中发展的概率理论,概率问题的历史可以追溯到遥远的过去，很早以前，人们就用抽签、抓阄的方法解决彼此间
2、的争端，这可能就是概率最早的应用。而真正研究随机现象的概率论出现在15世纪之后，当时的保险业已在欧洲蓬勃发展起来，不过，当时的保险业非常不成熟，只是一种完全靠估计形势而出现的赌博性事业，保险公司要承担很大的不确定性风险，保险业的发展渴望能有指导保险的计算工具的出现。,这一渴望戏剧性地因15世纪末赌博现象的大量出现而得到解决。当时的主要赌博形式有玩纸牌、掷骰子、转铜币等。参加赌博的人，特别是那些专门从事以赢利为生的职业赌徒，天长日久就逐渐悟出了一个道理：在少数几次赌博中无法预料到输赢的结果，如果多次进行下去，就可能有所预料，这并不是完全的碰巧。这无意中就给学者们提供了一个比较简单而又非常典型的概
3、率研究模型。,1654年，有一个法国赌徒梅勒遇到了一个难解的问题：梅勒和他的一个朋友每人出30个金币，两人谁先赢满3局谁就得到全部赌注。在游戏进行了一会儿后，梅勒赢了2局，他的朋友赢了1局。这时候，梅勒由于一个紧急事情必须离开，游戏不得不停止。他们该如何分配赌桌上的60个金币的赌注呢？,梅勒的朋友认为，既然他接下来赢的机会是梅勒的一半，那么他该拿到梅勒所得的一半，即他拿20个金币，梅勒拿40个金币。然而梅勒争执道：再掷一次骰子，即使他输了，游戏是平局，他最少也能得到全部赌注的一半30个金币；但如果他赢了，并可拿走全部的60个金币。在下一次掷骰子之前，他实际上已经拥有了30个金币，他还有50%的
4、机会赢得另外30个金币，所以，他应分得45个金币。,赌本究竟如何分配才合理呢？后来梅勒把这个问题告诉了当时法国著名的数学家帕斯卡，这居然也难住了帕斯卡，因为当时并没有相关知识来解决此类问题，而且两人说的似乎都有道理。帕斯卡又写信告诉另一个著名的数学家费马，于是在这两位伟大的法国数学家之间开始了具有划时代意义的通信，在通信中，他们最终正确地解决了这个问题。,他们设想：如果继续赌下去，梅勒（设为甲）和他朋友（设为乙）最终获胜的机会如何呢？他们俩至多再赌2局即可分出胜负，这2局有4种可能结果：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。前3种情况都是甲最后取胜，只有最后一种情况才是乙取胜，所以赌注应按3：1的比例分配，
5、即甲得45个金币，乙15个。虽然梅勒的计算方式不一样，但他的分配方法是对的。,三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯把这一问题置于更复杂的情形下，试图总结出更一般的规律，结果写成了论掷骰子游戏中的计算一书，这就是最早的概率论著作。正是他们把这一类问题提高到了理论的高度，并总结出了其中的一般规律。同时，他们的研究还吸引了许多学者，由此把赌博的数理讨论推向了一个新的台阶，逐渐建立起一些重要概念及运算法则，从而使这类研究从对机会性游戏的分析发展上升为一个新的数学分支。从赌徒的问题引起，概率逐渐演变成一门严谨的科学。,在自然界和人类社会中有着各种各样的现象,从概率论的观点可分为两
6、类：一是确定性现象，指在一定条件下必然发生或必然不发生的现象。例如，在标准大气压下，水加热到100就会沸腾；任意大小的圆，其周长等于其直径乘以派；在匀速运动的条件下，物体移动的距离与时间成正比。以上这些现象有一个共同特点：它们的变化规律是确定的，一定的条件必然导致某一结果，这种关系可以用公式或定律在表示，这类现象我们称之为确定性现象，也叫必然现象。,另一类是随机现象，指在一定条件下可以发生也可能不发生的现象。随机现象都有一个共同点：在一定条件下可以重复试验或观察，在每次观察或试验进行之前无法确切知道出现的结果，但是可以肯定是某些结果中的一个，而且重复进行一系列这种试验或观察出现的结果不尽相同。
7、,例如，抛出一枚硬币得到正面还是反面，下届奥运会上我国运动员获得金牌的数量，商场每天的顾客数和销售额，某城市每天交通事故的件数，等等。这些现象的一个共同特点是它们的不确定性或偶然性，即一定条件下可能出现这种结果，也可能出现那种结果，出现哪种结果“纯属偶然”，完全是“随机会而定”，人们事先不能确切知道哪种结果会出现，我们称这种现象为随机现象或偶然现象。,对于随机现象，就个别的观察或试验来说，出现的结果呈现出不确定性，但是在大量重复试验或观察下，其结果却呈现出某种规律性，我们称这种规律性为统计规律性，概率论就是研究随机现象的统计规律性的一门数学学科。,第一节 事件与概率,一、随机现象与随机事件1随
8、机现象：指事先不能精确预言其结果的现象。随机现象有下特点：（1）结果呈现偶然性、不确定性；（2）在相同条件下进行大量重复试验时，其试验结果呈现出某种固有的特定的规律性频率的稳定性，通常称之为随机现象的统计规律性。2、随机事件：随机现象的结果以及这些结果的集合体称为随机事件。简称事件，通常用A、B、C等来表示。随机事件也可以通过随机试验来定义。,3、随机试验：我们把能反复进行的，对随机现象的观测或试验，称为随机试验；它必须符合以下三个条件：（1）它可以在相同条件下重复进行；（2）试验的所有结果事先已知；（3）每次试验只出现这些可能结果中的一个，但不能预先断定会出现哪个结果。随机事件的每一个可能的
9、结果，称为基本事件（即不能再分的事件）也称为样本点。所有样本点的集合，称为样本空间，用表示。在每次试验中，可能发生的事件，称为随机事件，随机事件如果仅包含一个样本点，该事件为简单事件；如果包含样本空间中的一个以上的样本点，该事件称复合事件。随机事件有两种极端的情况：在一定条件下必然出现的现象称为必然事件，用S表示。在一定条件下不可能发生的事件称为不可能事件，用表示。,二、概 率,（一）概率的定义 研究随机试验，需了解各种随机事件发生的可能性大小，以揭示这些事件的内在的统计规律性。能够刻画事件发生可能性大小的数量指标称之为概率(probability)。事件A的概率记为P（A）。,1概率的古典定
10、义（先验概率）随机试验具有以下特征，称为古典概型。1.试验的所有可能结果只有有限个，即样本空间中的基本事件只有有限个；2.各试验的结果出现的可能性相等，即所有基本事件的发生是等可能的；3.试验的所有可能结果两两互不相容。,对于古典概型，概率的定义：设样本空间由 n 个等可能的基本事件所构成，其中事件A包含有m个基本事件，则事件A的概率为m/n，即 P（A）=m/n 这样定义的概率称为古典概率。因为这样的概率是以在“相似的条件下进行无数次试验”的观点来思考问题,并以对象本身所具有的对称性而事先得到的,故被称为先验概率。,【例】编号1、2、3、10的十名学生中随机抽取1名，求下列随机事件的概率。（
11、1）A=“抽得一个编号4”；（2）B=“抽得一个编号是2的倍数”。因为该试验样本空间由10个等可能的基本事件构成，即n=10。所以 P(A)=mA/n=4/10=0.4 P(B)=mB/n=5/10=0.5,例：设有50件产品，其中有5件次品。现从这50件中任选2件，求抽到的两件均为合格品的概率是多少？抽到的两件均为次品的概率是多少？,在古典概率中，只要通过逻辑分析，就可以求得事件的概率，不必进行真实的随机试验。但在许多情况下，古典概率的两个假定条件并不能完全满足，甚至人们对事件出现的可能性一无所知。例如，一个射击选手命中0环、1环、2环10环的可能性是不相等的，如何得知他在30次射击中全部命
12、中10环的概率？推出某种新药来治疗肺病，治愈的概率是多大？这些概率就需要其他方法来估计。,2概率的统计定义（经验概率）,在相同条件下进行n次重复试验，如果随机事件A发生的次数为m，那么m/n称为随机事件A的频率；当试验重复数n逐渐增大时，随机事件A的频率越来越稳定地接近某一数值p，那么就把 p称为随机事件A的概率(probability)。,抛掷一枚硬币正面朝上的试验记录,随机事件的概率p通常以试验次数n充分大时随机事件A的频率作为该随机事件概率的近似值。即P（A）=limf(A)=m/n（n）,3、主观概率,有些随机事件发生的可能性，既不能通过等可能事件个数来计算，也不能根据大量重复试验的频
13、率来估计，但决策者又必须对其进行估计从而做出相应的决策，那就需要应用主观概率。例如，航天飞机发射是否成功，某公司开发新产品能否盈利，我国明年通货膨胀率可能会有多高，等等，这些随机事件发生的可能性大小只能依据人们的主观估计。,例如，某企业营销部经理认为，新广告播出后，其产品市场占有率将会上升的可能性是60%，不变的可能性是30%，下降的可能性只有10%。凡是依据人们的主观判断而估计的随机事件发生的可能性大小都称为主观概率。,古典概率和统计概率属于客观概率，它们的确定完全取决于对客观条件的理论分析，或是大量重复试验的事实，不以个人的意志为转移。而主观概率的确定是很灵活的，它依赖于个人的主观判断，不
14、同的人对同一事件给出的概率值往往有一定差异。例如：股票的成交通常就是因为有人预计股票价格很可能上升而买进。同时又有人预计股票价格很可能下跌而卖出。当然，主观概率也并非由个人随意猜想和编造的，人们的经验、专业知识对事件发生的众多条件或影响因素的分析等都是确定主观概率的依据。,1非负性：对于任何事件A，有0P(A)1；2规范性：即P()=1；3可列可加性：即对任意两两互斥的事件Ai(i=1,2,3),AiAj=,满足：P（Ai）=Ai i=1,2,3。,（二）概率的性质,（三）概率的计算,1 事件的相互关系（1）和事件：事件A和事件B至少有一个发生构成的新事件称事件A和事件B的和事件。记作AB。（
15、）积事件：事件A和事件B同时发生构成的新事件，又叫变事件，记作AB。（3）事件的包含与相等：当事件发生必然导致事件发生，则称包含，若与相互包含则称两事件相等。（4）互斥事件：A和B不可能同时存在（或发生）即AB为不可能事件，那么称事件A和事件B是互斥事件。AB=,（5）对立事件(逆事件)：事件A和B不可能同时发生，但必然发生其一，即A+B为必然事件，AB为不可能事件，这样A、B互为对立事件 B是A的对立,记为 A（6）完全事件系：n个事件两两互斥，且每次试验必有其一出现。则这n个事件构成完全事件系。（7）事件的独立性（独立事件）：事件A发生与否不影响事件B发生的可能性，反之亦然，那么就称事件A
16、对于事件B是独立的。简称独立事件。,事件相互独立的三个定义：,1.两个事件A与B，若其中任何一个事件发生的概率不受另外一个事件发生与否的影响，则称事件A与B是相互独立的，简称A与B独立。2.若两个事件A与B，P(B)0，且P(A|B)=P(A)，则称事件A与事件B相互独立。3.若两个事件A与B满足等式P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与B相互独立。此定义可以推广到有限个事件。,事件独立性的五个结论,1.事件A与B独立的充分必要条件是P(AB)=P(A)P(B)。2.下列四对事件：A与B；中，只要有一对事件独立，其余三对也独立。3.设两个事件A与B的概率都大于0且小于1，则下面等式等价，即
17、其中任何一个成立，其它三个也一定成立：,4.若事件 相互独立，则有,5.若事件 相互独立，则有,注意：,独立与互不相容是不同的。,2概率的运算法则,加法法则：互斥事件A和B的和事件的概率等于事件A和事件B的概率之和。即 P(A+B)=P(A)+P(B)。加法定理对于多个两两互斥的事件也成立。P(A+B+N)=P(A)+P(B)+P(N),推理1：完全事件系的和事件概率等于1。P(A+B+N)=P(A)+P(B)+P(N)=1推理2：对立事件（互补事件）A的概率P（A）为 P(A)+P(A)=1因为 P(A)=1P(A),推广：相容事件的加法公式如果A和B是任何事件，加法规则可表示为：P（A+B
18、）=P（A）+P（B）-P（AB）,乘法法则：,如果A事件和 B事件为独立事件，则事件A与B事件同时发生的概率等于两独立事件概率的乘积，即：P(AB)=P(A)P(B)乘法定理对于n个相互独立的事件也成立，即 P(A1A2 An)=P(A1)P(A2)P(An),推理1：若n个事件A、B、N彼此独立，且当P(A)=P(B)=P(N)时，则P(ABN)=P(A)n。推理2：非独立事件的乘法（条件概率）：如果事件A和B是非独立的，那么事件A与B同时发生的概率为事件A的概率P(A)乘以事件A发生的情况下事件B发生的概率P(B/A)，即：P(AB)=P(A)P(BA)=P(B)P(AB),、用古典法求
19、复合事件的先验概率首先在一样本空间中，就一样本点或基本事件计算其实现的概率，这由乘法规则来解决；然后就一特定的复合事件，列出它所包含的样本点。列出所有的样本点，就是要确定给定复合事件含有的排列方式数，也就是考虑使用加法规则。,组合（Combination）:从个n元素中抽取x个元素组成一组（不考虑其顺序）的组合方式个数记为:,(n!为的阶乘,n!=1*2*n,0!=1),复习中学数学概念,（四）小概率事件实际不可能原理,随机事件的概率表示了随机事件在一次试验中出现的可能性大小。若随机事件的概率很小，例如小于0.05、0.01、0.001，称之为小概率事件。小概率事件虽然不是不可能事件，但在一次
20、试验中出现的可能性很小，以至于实际上可以看成是不可能发生的。,在统计学上，把小概率事件在一次试验中看成是实际不可能发生的事件称为小概率事件实际不可能性原理，亦称为小概率原理。小概率事件实际不可能性原理是统计学上进行假设检验（显著性检验）的基本依据。,三、概率分布,随机事件及其概率回答的是随机现象某一局部结果出现的概率问题。要知道试验的全部可能结果发生的概率，必须知道随机试验的概率分布。注意：概率分布是就随机现象呈现的宏观结果而言的。所谓宏观结果，是指可以在宏观层次加以识别的而与特定排列次序无关的样本空间的子集。随机现象的某个宏观结果，如果是简单事件，将只对应于一个微观结果（基本事件），如果是复
21、合事件将对应于多个微观结果。因此哪个宏观结果包含的基本事件越多，其概率就越大，概率分布实际上是要解决随机现象有多少种宏观结果，及每一种宏观结果出现的概率为多大的问题。为了研究概率分布，我们先要引入随机变量。,随机变量的概念,如果随机试验的每个结果（事件）都用数量来表示，一个可能的结果对应一个数值，那么所有可能结果就可以用一个变量来描述。这种变量的取值是随机的，试验前不能事先确定取哪一个值，这种变量称为随机变量。例如，从一批产品中随机抽取3件进行检验，出现次品的次数有可能是0、1、2、3件。在此项试验中，“出现次品的件数”就是我们所关心的一个随机变量，它有4中可能取值，分别对应着试验的4个事件。
22、,随机变量代表的是所有可能出现的数值。要把它与在一次具体观察中得到的具体数值区别开来。为了便于区别，随机变量通常同大写字母如X Y Z等来表示，而它们的具体取值则通常用相应的小写字母如x y z等来表示。如上述抽检产品的试验中，用X表示“出现次品的件数”，它的4个具体取值则分别记为x1=0,x2=1,x3=2,x4=3，随机变量X取值为x的概率用P（X x）表示。,（一）随机变量及其分类1、随机变量：随机变量的基本思想是把随机试验的结果数量化，即用一个变量X 来描述试验的结果。先看下面的例子：例 投掷一枚硬币，观察出现正反面的情形。试验有两个可能结果：,我们引入一个变量如下：,出现正面,出现反
23、面,这个变量可以看作是定义在样本空间上的函数，称其为随机变量。实际上此变量是依试验结果的不同而随机地取值1或0。,例 掷一枚骰子面上出现的点数。,这个试验结果本身就是一个数,当 时，,，这里是随机变量，它是依试验结果的不同而随机地取值1，2，3，4，5，6。,我们引入一个变量,每天从武汉站下火车的人数出现次品的件数到超市购物的人数产品是否合格等,类似的例子：,七月份恩施的最高温度；,定义 设随机试验为,其样本空间为,如果对于每个，都有一个实数,和它对应，于是就得到一个定义在 上的实值单值函数，称 为随机变量。,2、随机变量的分类,通常分为两类：,随机变量,离散型随机变量,连续型随机变量,所有取
24、值可以逐个一一列举。,全部可能取值不仅无穷多，而且还不能一一列举，而是充满一个区间。,【例】对100个病人用某种药物进行治疗，其可能结果是“0人治愈”、“1人治愈”、“2人治愈”、“”、“100人治愈”。若用x表示治愈人数，则x的取值为0、1、2、100。【例】测定婴儿初生重，表示测定结果的变量 x 所取的值为一个特定范围(a,b)，如1.5-6.5kg，x值可以是这个范围内的任何实数。,如果表示试验结果的变量x，其可能取值至多为可列个，且以各种确定的概率取这些不同的值，则称x为离散型随机变量；如果表示试验结果的变量x，其可能取值为某范围内的任何数值，且x在其取值范围内的任一区间中取值时，其概
25、率是确定的，则称x为连续型随机变量。,随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件。引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究。,（二）离散型随机变量的概率分布,要了解离散型随机变量x的统计规律，就必须知道它的一切可能值xi及取每种可能值的概率pi。如果我们将离散型随机变量x的一切可能取值xi(i=1,2,)，及其对应的概率pi，记作 P(X=xi)=pi i=1,2,则称上式为离散型随机变量x的概率分布或分布。常用分布列来表示离散型随机变量：（x为变量，p为概率）x1 x2 xn.p1 p2 pn.显然离散型随机变量的概率分布具有p
26、i0和pi=1这两个基本性质。,例题,在5件产品中有2件优质产品，现从这5件产品中任取3件。试求抽出产品中优质产品件数的概率分布。,求解,解：“抽出产品中优质产品件数”是本例中所关心的随机变量X，其可能取值只有0，1，2这三个。因此，可通过计算得到该随机变量X的概率分布为：P（X=0）=?P（X=1）=?P（X=2）=?离散型随机变量的概率分布可以用列表方式表现，称为分布列。,（三）连续型随机变量的概率分布,连续型随机变量的概率分布不能用分布列来表示，因为其可能取的值是不可数的。我们改用随机变量x在某个区间内取值的概率P(axb)来表示。下面通过频率分布密度曲线予以说明。,如果样本取得越来越大
27、(n+)，组分得越来越细(i0)，某一范围内的频率将趋近于一个稳定值，即概率。(概率与频率关系)即，当n+、i0时，频率分布折线的极限是一条稳定的函数曲线。这条曲线叫概率分布密度曲线，相应的函数叫概率分布密度函数。,连续性随机变量的概率密度,连续型随机变量的取值无法一一列举，因此其概率分布不能用分布列表示，而只能用数学函数和图形来表示。用来表示连续型随机变量概率分布的函数有概率密度函数（简称概率密度）和分布函数。概率密度函数f(x)的函数值并不是随机变量取值的概率。实际上，连续型随机变量的取值是无数多的（如产品的使用寿命，某地区粮食产量等），它取某个特定值的概率等于0，我们只能计算随机变量落在
28、一定区间内的概率，而这一概率是由其概率密度曲线与x轴在这个区间内围成的面积大小来表示的。也就是说，已知概率密度函数f(x)，就可用定积分的方法来得到随机变量X在一定区间（a,b）上的概率。,对于连续型随机变量 如果存在非负可积函数，对任意的 都有,则称 为 的概率分布密度函数，简称概率密度。,连续型随机变量的概率密度具有如下性质：,连续型随机变量的概率密度函数具备的性质：,这是因为概率具有非负性，概率密度也必然是非负函数。这表示整个概率密度曲线与x轴围成的面积为1，即连续性随机变量在所有区域上取值的概率总和为1。,概率分布密度曲线,x取值于区间a,b）的概率为曲边梯形ABba的面积,b,a,B
29、,A,x,f(x),连续型随机变量概率分布的性质：1分布密度函数总是大于或等于0，即f(x)0；2当随机变量x取某一特定值时，其概率等于0；即(c为任意实数)因而，对于连续型随机变量，仅研究其在某一个区间内取值的概率，而不去讨论取某一个值的概率。,3在 一次试验中 随机变量x之取值 必在-x+范围内，为一必然事件。所以 上式表示分布密度曲线下、横轴上的全 部面积为1。,为了对离散型的和连续型的随机变量以及更广泛类型的随机变量给出一种统一的描述方法，我们引进了分布函数的概念。,（四）分布函数,定义：设 是一个随机变量，对任意的实数，随机变量 取值落入区间 内的概率为,称 为随机变量 的分布函数.
30、,因此，只要知道了随机变量X的分布函数，它的统计特性就可以得到全面的描述。,显然，对任意,分布函数：设X为随机变量,x为任意实数，称函数 F(x)=P(Xx)为X的累计分布函数，简称分布函数。离散型随机变量的分布函数为 连续型随机变量的分布函数为 随机变量落在一定区间（a,b）上的概率可用分布函数表示为：P(aXb)=F(b)-F(a),离散型分布函数的图形一般是一个阶梯型图形，而连续型分布函数的图形是一条递增的连续曲线,分布函数的性质：,随机变量的数字特征,知道了随机变量的概率分布，就掌握了它取值的概率规律。依据这种规律，就可以推断各种情况出现的概率。但是有些随机变量的概率分布是很难确定的，
31、而且在实际应用中，有时人们并不需要掌握随机变量概率分布的全貌，而只关心它的某些主要分布特征。例如，超市每天的营业额时多时少，要确切清楚其概率分布并非易事，但只要了解某段时间内平均营业额等特征，就能够对这段时间内的经营业绩有基本了解，也可以用于比较不同超市之间营业额的多少。,在前一章中曾讲述过，测度一组数据的分布特征，可以利用均值、方差等代表性数值。类似地，要描述随机变量的分布特征，我们同样可以找到一些代表性数值，其中最常用的是数学期望、方差和标准差。,（五）数学期望随机变量的数学期望是随机变量所有可 能取值的平均水平，通常又称为均值，记为 或。离散型随机变量：连续型随机变量的数学期望：,数学期
32、望的数学性质：,常数的数学期望等于该常数；常数与随机变量之积的期望等于该随机变量的期望与常数之积；两个随机变量之和的期望等于它们的期望之和；两个独立随机变量乘积的期望等于它们的期望之积。,（六）随机变量的方差是随机变量的各可能取值偏离其均值的离差平方的均值，记为 或。离散型随机变量连续型随机变量的方差分别为,现有甲、乙两种股票，在未来不同经济状况下的可能报酬率和相应的概率如下：,试计算两种股票的预期报酬率和标准差。并比较风险的大小。,即乙股票的报酬率高，风险也高。,例题,在5件产品中有2件优质品，现从这5件产品中任取3件，求抽出优质产品件数的数学期望、方差和标准差。,四、贝努里大数定律,设m是n次独立试验中事件A出现的次数，而p是事件A在每次试验中出现的概率，则对于任意小的，有如下关系：lim Pm/np=1即，当试验条件不变时，重复次数为 时，m/n 与 p 的差值必定小于一个任意小的数。这是一个必然事件。即当试验次数n足够大时，有事件A发生的频率接近于概率。,n,切比雪夫大数定律：设独立随机变量序列,且存在有限的数学期望 和方差,则取任意小数，即当n 足够大时，序列的平均数趋近于数学期望。,大数定律通俗的表达是：,样本的容量越大，样本的统计数与总体的总数之差越小。大数定律说明大量随机变量的平均数具有统计稳定性。,
