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1、1,无界函数的反常积分,2,3,说明:(1)有时通过换元,反常积分和常义积分可以互相转化.,例如,(2)当一题同时含两类反常积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.,4,不存在,例,解,5,第六章 定积分的应用,第一节 元素法,6,在第五章，我们学习了定积分的概念和定积分的计算，本章我们将研究如何利用定积分作为工具来解决一些实际问题中有关的计算:,实际问题化为积分模型 计算定积分。,1.什么类型的问题可化为积分模型?,2.如何化成积分模型?,7,回顾,曲边梯形求面积的问题,一、问题的提出,8,面积表示为定积分的步骤如下,（3）求和，得A的近似值,9,（4）求极限，得A的精确值,1
2、0,11,具体问题表示为定积分的一般步骤：,12,这个方法通常叫做元素法,应用方向：,几何上:平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；,物理上:功；水压力；引力等,13,小结,元素法的实质是:在小的范围内以常量代替变量,求和取得近似值,再取极限得到精确值,14,第六章 定积分的应用,第二节 定积分在几何上的应用,15,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积,一、平面图形的面积,1 直角坐标系情形,16,17,解,两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量,18,例2,解,19,解,两曲线的交点,选 为积分变量,20,于是所求面积,说明：注意各积分区间上被积函数的形式,21,解,两曲线的交点,选 为积分变量,
3、22,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,23,解,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,24,面积元素,曲边扇形的面积,2、极坐标系情形,25,解,由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积,26,解,利用对称性知,27,例7,解,28,29,求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.,（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）,小结,30,旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,1、旋转体的体积,二 体积,31,旋转体的体积为,32,解,直线 方程为,33,34,解,35,36,例3.计算摆线,的一拱与 y0,所围成的图形分别绕 x 轴,y 轴旋转而成的立体体积.,解:绕 x 轴旋转而成的体积为,利用对称性,37,绕 y 轴旋转而成的体积为,注意上下限!,38,解,例4,39,40,41,“柱壳法”,42,解,体积元素为,43,练 习,
