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1、范钦珊教育与教学工作室,2023年4月4日,理论力学,(6),清华大学出版社,第2篇 工程运动学基础,理论力学,第2篇 工程运动学基础,第6章 刚体的平面运动分析,第6章 刚体的平面运动分析,刚体的平面运动分析，就是以刚体平移和定轴转动为基础，应用运动分解与合成的方法，分析和研究工程中常见而又比较复杂的运动刚体的平面运动。这既是工程运动学的重点内容，同时也是工程动力学的基础。,刚体平面运动实例,刚体平面运动实例,刚体平面运动实例,刚体平面运动实例,刚体平面运动实例,刚体的平面运动 刚体上处于同一平面内各点到某一固定平面的距离保持不变。,刚体平面运动方程及运动分解,平面图形上各点的速度分析,平面
2、图形上各点的加速度分析,结论与讨论,运动学综合应用举例,参考性例题,第6章 刚体的平面运动分析,刚体平面运动方程 及运动分解,返回,第6章 刚体的平面运动分析,刚体平面运动方程及运动分解,刚体平面运动的力学模型,刚体平面运动的运动方程,平面运动分解为平移和转动,刚体平面运动方程及运动分解,刚体平面运动的力学模型,刚体平面运动方程及运动分解,刚体平面运动的力学模型,这些平面上的对应的点具有相同运动轨迹、速度和加速度。,特 点,刚体上平行于固定平面的所有平面具有相同的运动规律；,刚体的平面运动 刚体上处于同一平面内各点到某一固定平面的距离保持不变。,刚体平面运动方程及运动分解,刚体平面运动的力学模
3、型,刚体平面运动的力学模型平面图形,平面图形在刚体上作平行于固定平面的平面，这样的平面与刚体轮廓的交线所构成的图形。,平面图形上的任意直线这一直线的运动可以代表平面图形的运动，也就是刚体的平面运动。,刚体平面运动方程及运动分解,刚体平面运动的运动方程,刚体平面运动方程及运动分解,刚体平面运动的自由度、广义座标与运动方程,确定直线AB或平面图形在Oxy参考系中的位置，需要3个独立变量(xA,yA,)。其中xA,yA确定点A在平面内的位置；确定直线AB在平面内的方位；因此，xA、yA、便确定了直线AB在参考系中的位置，从而也确定了平面图形在参考系中的位置。,刚体平面运动方程及运动分解,刚体平面运动
4、的自由度、广义座标与运动方程,广义坐标确定物体在参考系中位置的独立变量：,q=(xA,yA,),刚体平面运动方程及运动分解,刚体平面运动的自由度、广义座标与运动方程,平面运动刚体的自由度,N3,自由度确定物体在参考系中位置所需要的广义座标数：N,广义坐标确定物体在参考系中位置的独立变量：,q=(xA,yA,),刚体平面运动方程及运动分解,刚体平面运动的自由度、广义座标与运动方程,刚体平面运动方程,3个独立变量随时间变化的函数，即为刚体平面运动方程：,刚体平面运动方程及运动分解,刚体平面运动的自由度、广义座标与运动方程,例 题 1,刚体平面运动方程及运动分解,平面运动分解为平移和转动,刚体平面运
5、动方程及运动分解,平面运动分解为平移和转动,由刚体的平面运动方程可以看到，如果图形中的A点固定不动，则刚体将作定轴转动；如果线段AB的方位不变（即=常数），则刚体将作平移。,可见，平面图形的运动可以看成是平移和转动的合成运动。,刚体平面运动方程及运动分解,平面运动分解为平移和转动,刚体平面运动方程及运动分解,平面运动分解为平移和转动,刚体平面运动方程及运动分解,平面运动分解为平移和转动,设在时间间隔t内，平面图形由位置I运动到位置，相应地，图形内任取的线段从AB运动到A B。,在A点处假想地安放一个平移坐标系，当图形运动时，令平移坐标系的Ax 和Ay 轴始终分别平行于定坐标轴Ox和Oy，通常将
6、这一平移的动系的原点A称为基点（base point）。,刚体平面运动方程及运动分解,平面运动分解为平移和转动,于是，平面图形的平面运动分解为随同基点A的平移（牵连运动）和绕基点A的转动（相对运动）。,刚体平面运动方程及运动分解,平面运动分解为平移和转动,平移的轨迹、速度与加速度都与基点的位置有关。,刚体平面运动方程及运动分解,平面运动分解为平移和转动,w和a分别称为平面图形的角速度和角加速度。,平面运动的转动角速度以及角加速度 都与基点的位置无关,刚体平面运动方程及运动分解,平面运动分解为平移和转动,凡涉及到平面运动图形相对转动的角速度和角加速度时，不必指明基点，只需说明平面图形的角速度和角
7、加速度。,因为平移系(动系)相对于定参考系没有方位的变化，平面图形的角速度既是平面图形相对于平移系的相对角速度，也是平面图形相对于定参考系的绝对角速度。,平面运动的转动角速度以及角加速度 都与基点的位置无关,平面图形上各点的速度分析,返回,第6章 刚体的平面运动分析,平面图形上各点的速度分析,基点法,速度投影定理法,瞬时速度中心法,平面图形上各点的速度分析,基点法,平面图形上各点的速度分析,基点法,在作平面运动的刚体上任选基点，建立平移动系，动系上的A点随平面图形S上的A点一起运动。在平移动系上观察平面图形S的运动为定轴转动，动系自身又作平移，因此，平面图形S的运动可视为平移和转动的合成。,平
8、面图形上各点的速度分析,基点法,定系Oxy,基点A,平移系Axy,平面图形S,平面图形的角速度,基点速度 vA,速度合成定理 va=ve+vr,定轴转动时的速度公式 vBA rB,B点的相对速度 vBA,B点的绝对速度 vB,平面图形上各点的速度分析,基点法,速度合成定理 va=ve+vr,定轴转动时的速度公式v r,在平移系中为：,va=vB,ve=vA,vr=vBA,vBA rB,平面图形上任意点的速度，等于基点的速度，与这一点对于以基点为原点的平移系的相对速度的矢量和。,平面图形上各点的速度分析,基点法,1.已知，求。,已知：半径为R的圆轮在直线轨道上作纯滚动。轮心速度为vO。,求：轮缘
9、上A、B二点的速度。,例 题 2,平面图形上各点的速度分析,基点法,解：1.基点法的速度分析：确定圆轮的转动角速度,以O点为基点，建立平移系O xy。轮缘上任意点P 的运动可以分解为：,跟随基点O 的平移牵连运动；相对于平移系O xy、绕O点的转动相对运动。,为建立转动角速度与轮心速度之间的关系，考察圆轮滚动时P点转过的角度与轮心移动的距离s之间的关系。,平面图形上各点的速度分析,x,y,基点法,解：1.基点法的速度分析：确定圆轮的转动角速度,为建立转动角速度与轮心速度之间的关系，考察圆轮滚动时P点转过的角度与轮心移动的距离s之间的关系。,x,y,平面图形上各点的速度分析,基点法,平面图形上各
10、点的速度分析,基点法,平面图形上各点的速度分析,速度投影定理法,平面图形上各点的速度分析,速度投影定理法,应用速度合成定理,等号两侧同点乘以 rAB,因为vAB垂直于rAB,速度投影定理：平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。,平面图形上各点的速度分析,速度投影定理法,这个定理的含义也可以从另一角度理解：平面图形是从刚体上截取的，图形上A、B两点的距离应保持不变。所以这两点的速度在AB方向的分量必须相等。否则两点距离必将伸长或缩短。因此，速度投影定理对所有的刚体运动形式都是适用的。,应用速度投影定理分析平面图形上点的速度的方法称为速度投影定理法。,速度投影定理：平面图形上任意两点的
11、速度在这两点连线上的投影相等。,平面图形上各点的速度分析,速度投影定理法,S上任意两点的速度在这两点连线上投影相等。,结论:,意义:,刚体上两点距离不变。,仅在两点连线上成立。,下列运动是否可能?,平面图形上各点的速度分析,瞬时速度中心法,平面图形上各点的速度分析,瞬时速度中心法,瞬时速度中心的概念,应用瞬时速度中心确定刚体平面 运动的速度 速度瞬心法,几种特殊情形下瞬时速度中心位 置的确定,平面图形上各点的速度分析,瞬时速度中心法,平面图形S上的基点A，基点速度vA,平面图形角速度 0。,过A点作vA的垂直线PA，PA上各点的速度由两部分组成：,跟随基点平移的速度vA 牵连速度，各点相同；,
12、相对于平移系的速度vPA相对速度，自A点起线性分布。,瞬时速度中心的概念,平面图形上各点的速度分析,瞬时速度中心法,vC A,在直线PA上存在一点C，这一点的相对速度v C A与牵连速度vA矢量大小相等、方向相反。,因此，C 点的绝对速度v C 0。C 点称为瞬时速度中心，简称为速度瞬心。,瞬时速度中心的概念,平面图形上各点的速度分析,瞬时速度中心法,瞬时速度中心的概念速度瞬心的特点,1.瞬时性不同的瞬时，有不同的速度瞬心；,2.惟一性某一瞬时只有一个速度瞬心；,3.瞬时转动特性平面图形在某一瞬时的运动速度可以视为绕这一瞬时的速度瞬心作瞬时转动速度.,平面图形上各点的速度分析,瞬时速度中心法,
13、应用瞬时速度中心确定刚体平面 运动的速度 速度瞬心法,当平面图形在t瞬时的速度瞬心C 以及瞬时角速度均为已知时，可以以C 为基点，建立平移系，进而分析平面图形上各点的运动。,速度瞬心C 到图形上的任意点(例如A、B、C)位矢,上各点的牵连速度等于零；绝对速度等于相对速度，垂直于位矢，并沿位矢方向线性分布。,rC A，rC*B，rC*C,平面图形上各点的速度分析,瞬时速度中心法,应用瞬时速度中心确定刚体平面 运动的速度 速度瞬心法,这时，根据速度合成定理，平面图形上任意点(例如B点)的速度为,vB=vA+vBA,其中 vA v C 0，vBA vB C,vB vB C r C B,应用瞬时速度中
14、心以及平面图形在某一瞬时绕速度瞬心作瞬时转动的概念，确定平面图形上各点在这一瞬时速度的方法，称为速度瞬心法。,第一种情形,平面图形上各点的速度分析,瞬时速度中心法,几种特殊情形下瞬时速度中心位置的确定,已知平面图形上两点的速度矢量的方向，这两点的速度矢量方向互不平行。,过A、B两点分别作矢量vA和vB的垂直线，两条直线的交点即为速度瞬心。,平面图形上各点的速度分析,瞬时速度中心法,第二种情形,几种特殊情形下瞬时速度中心位置的确定,已知平面图形上两点的速度矢量的大小与方向，而且二矢量互相平行，并且都垂直于两点的连线。,矢量vA和vB矢端连线与A、B两点连线的交点，两条直线的交点即为速度瞬心。,平
15、面图形上各点的速度分析,瞬时速度中心法,第三种情形,几种特殊情形下瞬时速度中心位置的确定,速度瞬心在哪里？,已知平面图形上两点的速度矢量的大小与方向，而且二矢量互相平行、方向相反，但二者都垂直于两点的连线。,平面图形上各点的速度分析,瞬时速度中心法,第四种情形,几种特殊情形下瞬时速度中心位置的确定,速度瞬心在哪里？,已知平面图形上两点的速度矢量互相平行、方向相同，但二者都不垂直于两点的连线。,速度瞬心在无穷远处，平面图形作瞬时平动。,平面图形上各点的速度分析,瞬时速度中心法,有哪些具体求法?,AB瞬时平移,平面图形上各点的速度分析,瞬时速度中心法,如图已知，求。,轮瞬心在,平面图形上各点的速度
16、分析,瞬时速度中心法,已知尺寸，求?,平面图形上各点的速度分析,瞬时速度中心法,已知，求?,平面图形上各点的速度分析,例 题 2,已知：曲柄滑块机构中，曲柄OAr，以等角速度 0 绕O轴转动，连杆ABl。在图示情形下连杆与曲柄垂直。,求：1.滑块的速度vB；2.连杆AB的角速度 AB。,例 题 2,平面图形上各点的速度分析,例 题 2,解：1.选择基点：A(速度已知)vA=r 0,2.以连杆AB作为所研究的刚体，在连杆上的A点建立平移系A x y。,3.将连杆沿铅垂方向的运动(绝对运动)分解为：,解法1基点法,跟随基点的平移牵连运动；,以A点为圆心、AB为半径的圆周运动相对运动。,平面图形上各
17、点的速度分析,例 题 2,解：4.应用速度合成定理 vB=vA+vBA,其中vA的大小(vA=r 0)和方向，以及vB 与vBA方向都是已知的。由平行四边形，得到滑块的速度,解法1基点法,解法2速度投影法,vA=r 0，A 0，B 0,平面图形上各点的速度分析,例 题 2,解：应用速度投影定理,已知：曲柄滑块机构中，曲柄OAr，以等角速度 0绕O 轴转动，曲柄处于水平位置；连杆ABl。,求：1.滑块的速度vB；2.连杆AB的角速度 AB。,平面图形上各点的速度分析,例 题 3,例 题 3,2.已知B点速度的方向,解：1.已知A点的速度大小及方向 vA=r 0,3.两者速度方向平行，因此AB杆作
18、瞬时平动。,解法1瞬心法,平面图形上各点的速度分析,例 题 3,vB vA r 0 j,解法2速度投影法,瞬时平移,解：应用速度投影定理,vA=r 0，A B 0,vAB=0,平面图形上各点的速度分析,例 题 3,0,例 题 4,已知：半径为R 的圆轮在直线轨道上作纯滚动。轮心速度为vO。,求：轮缘上A、B、C、D四点的速度。,平面图形上各点的速度分析,例 题 4,平面图形上各点的速度分析,例 题 4,解：圆轮与地面接触点A，由于没有相对滑动，因而在这一瞬时，A点的速度vA0。A点即为速度瞬心C。假设这一瞬时的角速度为。,由vO R 得到,平面图形上各点的速度分析,例 题 4,平面图形上各点的
19、速度分析,例 题,解法1:,按运动传递路线:,平面图形上各点的速度分析,例 题,故,(r3较大时，增速大),平面图形上各点的速度分析,例 题,解法2:,相对运动法。(反转法),以系杆O1O为动系,(顺时针方向为正),相对运动传动比，按定轴轮系,(如同整个系统以 反转),平面图形上各点的速度分析,例 题,而,故,已知：四连杆机构中,OA以 0 绕O 轴转动。,求：1.B和D点的速度；2.AB杆的角速度。,参考性例题,解：机构作平面运动，OA和O1B都作定轴转动，A、B二点的速度vA和vB的方向都可以确定。作二者的垂直线，相交于C，此即速度瞬心。,图中的几何关系：,参考性例题,解：,参考性例题,解
20、：,参考性例题,参考性例题,解：,平面图形上各点的加速度分析,返回,第6章 刚体的平面运动分析,已知平面图形S上点A的加速度、图形的角速度与角加速度。与平面图形上各点速度分析相类似，选点A为基点，建立平移系，分解图形的运动，从而也分解了图形上任一点B的运动。由于动点B的牵连运动为平移，可应用动系为平移时的加速度合成定理，确定动点B的绝对加速度。,平面图形上各点的加速度分析,如果已知平面图形上一点(A)的加速度aA、图形的角速度与角加速度a，应用加速度合成定理，可以确定平面图形上任意点的加速度：,1.选择加速度已知的点为基点；,2.建立平移系Axy；,3.应用牵连运动为平移的加速度合成定理 aa
21、=ae+ar 可以确定图形上任意点的加速度。这时，,aB aa，ae aA，ar aBA,平面图形上各点的加速度分析,平面图形上各点的加速度分析,平面图形上任意一点的加速度等于基点的加速度与这一点对于以基点为坐标原点的平移系的相对切向加速度和法向加速度的矢量和。,平面图形上各点的加速度分析,已知：半径为R的圆轮在直线轨道上作纯滚动。轮心速度为vO、加速度为aO。,求：轮缘上A、B二点加速度。,例 题 6,平面图形上各点的加速度分析,解：,进而求得圆轮滚动时的角加速度,解：2.加速度分析：,A点：,例 题 6,平面图形上各点的加速度分析,解：2.加速度分析：,B点：,例 题 6,平面图形上各点的
22、加速度分析,已知 求?,对t求导,平面图形上各点的加速度分析,已知轮C作纯滚动及 求。,平面图形上各点的加速度分析,例 题 5,曲柄滑块机构，OAr，ABl，曲柄以等角速度 0绕O 轴旋转。求：图示瞬时，滑块B的加速度aB和连杆AB的角加速度a AB。,平面图形上各点的加速度分析,解：1.确定连杆的角速度：以A为基点，建立平移系A xy，,例 题 5,平面图形上各点的加速度分析,解：,2.加速度分析,A点的加速度,根据加速度合成定理，B点的加速度：,例 题 5,平面图形上各点的加速度分析,解：2.角速度分析,B点的加速度：根据加速度合成定理,将加速度合成定理中各项向AB方向投影,例 题 5,平
23、面图形上各点的加速度分析,解：2.角速度分析,B点的加速度：根据加速度合成定理,将加速度合成定理中各项向atBA方向投影,例 题 5,平面图形上各点的加速度分析,结论与讨论,第6章 刚体的平面运动分析,返回,结论与讨论,两种运动分析方法的选用,平面图形上点的加速度分布也能看成绕速度瞬心旋转么？,刚体复合运动概述,结论与讨论,两种运动分析方法的选用,结论与讨论,两种运动分析方法的选用,本章主要介绍平面图形上点的运动分析的两种方法：,第1种方法描述了点的连续运动过程（轨迹、速度和加速度），适应于计算机分析。但我们所介绍的方法，基于求解时需因问题而异，编制适用于各种情形的计算机通用程序仍然难度很大。
24、对于多刚体系统，已有相应计算机程序可供选用。,1.运动方程求导数法；,2.矢量方程解析法。,第2种方法有利于初学者加深对刚体运动复合等一系列基本概念的理解，它能满足本课程的基本要求。,关于求平面图形上某点速度：基点法、速度投影定理法和瞬心法均需熟练掌握。,至于求平面图形上某点加速度，我们只介绍了基点法，当然也要求熟练掌握。,所谓基点法，实质上是点的复合运动的具体应用，不过此时动系为随基点的平移，而相对运动为以基点为圆心的圆周运动。,求加速度时不要用速度瞬心作为基点，因为虽然瞬心速度为零，但其加速度一般均不为零，属未知量。,结论与讨论,两种运动分析方法的选用,结论与讨论,刚体复合运动简介,结论与
25、讨论,刚体复合运动简介,本篇只介绍了刚体的平移、定轴转动和平面运动，而实际上刚体还有其它运动形式。点的运动的分解与合成的分析方法可推广到刚体的复合运动，而在本章中我们已将平面运动分解成平移加定轴转动。类似于点的复合运动的速度合成定理，对于刚体的复合运动，有,其中a为刚体绝对角速度，e为刚体牵连角速度，r为刚体相对角速度。此式在机械传动中有广泛应用。对于刚体绕相交轴转动，上式也成立；而对于刚体绕平行轴转动，上式矢量方程退化为代数方程：,当r与e反向时，上式右边r前取“负”号；而当er0时，a=0，称为转动偶，自行车脚踏板的运动基本上就是这种情形。,结论与讨论,平面图形上点的加速度分布也能看成绕速度瞬心的转动吗？,结论与讨论,平面图形上点的加速度分布也能看成绕速度瞬心的转动吗？,半径各为r和R的圆柱体相互固结。小圆柱体在水平地面上作纯滚动，其角速度为，角加速度为。关于大圆柱体上A点的绝对速度、绝对切向加速度和绝对法向加速度大小有如下答案：,试判断这一答案是否正确？,
