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1、第六章 特征值及其应用本章内容所涉及的矩阵若无特别说明均为阶复方阵6.1 特征值特征向量的一般知识是阶方阵，若存在复数以及维非零列向量，使，即，则称是的特征值，是的属于的特征向量由线性方程组的知识可知：是的特征值是的特征多项式的根特征多项式的性质：(1)相似矩阵有相同的特征多项式；(反之不然)(2)设是的特征多项式，则（Hamilton-Cayley定理）(3)设，则，其中是的所有阶主子式之和，即，(3)的证明：将和按列分块，利用行列式按列拆开的性质可得注：在(3)中，若是的全部根，则由根与系数的关系可得，于是，由此可见可逆的特征值均不为0特征值、特征向量的性质：设是阶方阵的特征值，是的属于的
2、特征向量(1)是的特征值，是的属于的特征向量(2) 可逆时，且是的特征值，是的属于的特征向量(3) 是的特征值，是的属于的特征向量(4)当可逆时，是的伴随矩阵的特征值，是的属于的特征向量；当不可逆时：若秩，的特征值只有，任意非零向量是他的特征向量；若秩，的特征值为和，其中至少是的重特征值(5)与有相同的特征多项式，从而有相同的特征值(6)若存在正整数，使，则的特征值只能为(7) 若存在正整数，使，则的特征值只能为和次单位根(8)若是的特征向量，则所属于的特征值为证明(1)由可得，设，则所以可见是的特征值，是的属于的特征向量(2)在两边左乘得，即，可见是的属于的特征向量(3)，所以是的属于的特征
3、向量(4)当可逆时，因为，而，即，亦即，可见是的属于的特征向量当秩时，所以对任意非零向量，有可见的特征值只有，任意非零向量是他的特征向量当秩时，秩，所以的若当标准形的秩为1，可知的若当标准形的主对角线上至少有个0，因此又：与上式比较得(5)(6)，但，即而，所以(7)由，得，所以而，所以，即，可见为和次单位根(8)设所属于的特征值为，则，两边同时左乘，得，所以例1阶实矩阵的主对角元全为，且其特征值全是非负数，证明：证明设的个特征值是，则又，例设阶实矩阵的特征值全是实数，并且的所有阶主子式之和、所有阶主子式之和全是，证明：证明有特征多项式性质(3)其中是的所有阶主子式之和结合已知有设的个特征值是
4、，由根与系数的关系，有，所以而全是实数，可得于是的若当标准形形如：，即存在可逆矩阵，使，所以（）例是阶实矩阵，如果对任意维实列向量，恒有，证明：注：当对称时，即为正定矩阵证明先证明：的任意一个特征值的实部大于设是的一个特征值，是属于的特征向量，则用和分别表示分量的实部和虚部系数构成的列向量，则（注：都是实列向量）于是，比较等号两端的实部和虚部得，用分别左乘上两式得，两式相加得由已知，又至少有一个不等于（），所以，从而有是实系数多项式，的特征值成对出现设为的特征值，则（）由于等于的特征值之乘积，而的实特征值全大于，每一对共轭的复特征值的乘积大于，故.2 特征多项式的降阶定理定理1设分别是和矩阵，
5、则证明设秩，则存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵，使令（其中为矩阵），则，因为相似矩阵有相同的特征多项式，所以，当时，由上两式得，显然当时，由上两式得，所以推论设分别是和矩阵，则与的非零特征值相同推论设是同阶方阵，则与有相同的特征多项式，从而有相同的特征值和迹例是阶可逆矩阵，是维非零列向量，证明：的根是（重）和证明由行列式的乘法规则及特征多项式降阶定理，可见的根是（重）和在例中，取，则有有个特征根是0，另一个特征根是例如，则有个特征根是0，另一个特征根是例求阶矩阵的特征值及行列式解，其中，由以上讨论的根是（重）和于是的特征值中有个满足，另一个满足所以的特征值为和又对秩为的阶方阵，设是他的满秩分解，利用
6、特征多项式降阶定理可见一定是秩为的阶方阵（）的特征值，且其重数为（注：因为是秩为的阶方阵，故可逆，所以它的特征值均不为）例设是阶方阵，如果矩阵方程有解，则注：由此例可知，当的迹不为零时，无解证明因为有解，所以存在矩阵，使于是，有推论，所以特征多项式是一种特殊的行列式，有时也要借助行列式的性质进行计算例设是实数，求阶矩阵的特征值解，其中，但是的首项系数为，所以，而的根为，所以的特征值为，6.3 特征值的区域估计要求出一个阶方阵的特征值，一般来说是非常困难的，有时甚至是不可能的另一方面，在工程技术或理论研究的许多问题中，往往只要知道特征值的近似值，甚至只要知道特征值所在的区域（复平面上的区域）就足
7、够了因此，研究特征值的近似求法或估计特征值所在的区域就是非常有意义的工作了本节就对特征值所在区域的估计问题作简单介绍关于这个问题，最经典的结果要算盖尔许戈林（苏）的圆盘定理了，在介绍这一定理之前，先做一些准备工作一、对角占优矩阵对阶方阵，令，注： ()即的第行(列)中除主对角元之外的其它元素的绝对值之和如果，则称为行对角占优矩阵；如果，则称为严格行对角占优矩阵；如果，则称为列对角占优矩阵；如果，则称为严格列对角占优矩阵行对角占优矩阵和列对角占优矩阵统称为对角占优矩阵；严格行对角占优矩阵和严格列对角占优矩阵统称为严格对角占优矩阵定理严格对角占优矩阵必为非奇异的证明以严格行对角占优矩阵为例证明设为
8、严格行对角占优矩阵，如果为奇异的，则齐次线性方程组有非零解设，显然将代入的第个方程得由此得，从而推出，与定理条件矛盾二、特征值的区域估计定理（Gersgorin,1931）设，则的特征值都落在复平面上的个圆盘的并集上（称为由确定的盖氏圆盘）证明对的任一特征值，有，根据定理，一定不是严格对角占优矩阵，即必存在一个主对角元，使，这表明注意定理只说明的个特征值一定落在个圆盘的并集上，并不能保证每个圆盘都含有的特征值例如：矩阵的特征值为，他们都包含在圆盘上，而圆盘上则不含有的特征值值得注意的是，此例中的两个盖氏圆盘与是相交区域，因此构成了复平面上的一个连通区域于是自然会想到：如果的个盖氏圆盘的并集构成
9、复平面上的个互不相交的连通区域，是否每个连通区域都含有的特征值？下边的定理回答了这个问题定理(Gersgorin,1931) 设的个盖氏圆盘中有个圆盘构成了复平面上的一个连通区域，且的其余个圆盘与都不相交，则中有且仅有的个特征值证明令，其中 ，作参数矩阵，则当由变到时，由变到另外，的个盖氏圆盘为：，可见的个盖氏圆盘恰是的个盖氏圆盘的圆心对任意的（），的盖氏圆盘为，即：的每个盖氏圆盘都落在的一个相应的盖氏圆盘之内，且都以（）为圆心现在考虑的任一特征值，他显然是的连续函数，所以当由变到时，在复平面上由圆心出发画出一条连续曲线于是当由变到时，的个特征值在复平面上分别由各自的圆心出发画出条连续曲线，且
10、曲线的终点为的个特征值（参看下边的示意图） 下边证明：这条连续曲线的每一条，要么全落在上，要么全落在的其余个圆盘的并集上否则，这条曲线中必有一条既落在上，又落在其余个圆盘的并集上由于与这个圆盘的并集不相交，而连续，所以上必有一点（），它落在的个圆盘之外（参看下述示意图）但是是的特征值，由前面所述，他应落在的个圆盘的并集之上，从而落在的个圆盘之并集上，得矛盾根据以上证明的结果即得，由的个圆盘的圆心出发的连续曲线，当时，应全部落在上，所以上至少有的个特征值类似地可以证明，的其余个圆盘上至少含有的个特征值，总之个圆盘上恰有的个特征值推论如果阶方阵的个盖氏圆盘两两不相交，则每个圆盘上恰含的一个特征值，
11、从而有个不同的特征值推论如果阶实方阵的个盖氏圆盘两两不相交，则的特征值为实数证明因为的特征多项式是实系数多项式，所以的特征值要么是实数，要么是成对出现的共轭复数如果有一对共轭复数和是的特征值（），不妨设位于复平面的上半平面，则必位于下半平面，且与关于实轴对称由定理，必落在的某个盖氏圆盘上因为此圆盘的圆心是实数（是实矩阵），即圆心在实轴上，因此圆盘关于实轴对称，所以关于实轴的对称点也落在中但因为的个盖氏圆盘两两不相交，由推论，的每个圆盘上恰含的一个特征值，得矛盾注意：矩阵的特征值有可能落在其盖氏圆盘的边界上例如：矩阵的四个盖氏圆盘重合，均为，它是一个以为圆心，以为半径的圆易求得的四个特征值是，显
12、然他们都落在的盖氏圆盘的边界上有了以上讨论，我们可以从另一个角度来分析理解盖氏圆盘定理：在复平面上画出各盖氏圆盘的中心点，的任一个特征值与离它最近的中心点间的距离不超过，而且这个最大距离有时可以达到因而有理由认为，如果不改变圆盘中心点的取法，便不可能对盖氏圆盘定理做出实质上的改进这为此一问题的进一步研究指出了一条思路6.4 Hamilton-Cayley定理的应用Hamilton-Cayley定理在理论和计算方法上的作用从下述例子中可见一斑例设，其中是任意复数，是三次单位根，求及解的特征多项式为，由Hamilton-Cayley定理，得，所以，又例当阶方阵可逆时，证明：必可以表示成的次多项式证
13、明的特征多项式为其中由Hamilton-Cayley定理由此得，所以，可见是的次多项式（上式首相系数不为）例10 设，计算解的特征多项式为由Hamilton-Cayley定理，由带余除法，所以例11 设，证明：（），并求解的特征多项式为由Hamilton-Cayley定理，得可见当时，结论成立假设成立，则由归纳原理，等式成立反复利用，有例12 设，记，证明：如果非奇异，则阶矩阵也非奇异证明设的元的代数余子式为（这里），记由行列式按一列展开公式，有（），于是（）将上式用分块矩阵的乘积表达，即两边取行列式得，由此可见，若能证明非奇异，则非奇异令，由Hamilton-Cayley定理，由可得，所以（
14、非奇异），即非奇异，从而非奇异应用Hamilton-Cayley定理可得下述求特征多项式的克雷洛夫（苏18631945）方法：对阶方阵，若存在维列向量，使非奇异，取则的特征多项式为以下是此结果的证明：设的特征多项式为由Hamilton-Cayley定理，两边右乘得，由此得，即，由于可逆，所以第七章方阵的相似标准型7.1 基本概念与基本结论本节讨论在某固定数域上进行是数域上的阶方阵，若存在上的可逆矩阵，使，则称在数域上相似讨论矩阵的相似标准形问题的一个重要思路是利用其特征矩阵的等价，沟通两者的桥梁是下边熟知的定理定理数字矩阵与相似与等价欲利用此定理研究数字矩阵相似的问题，就必须对-矩阵的等价有足
15、够的认识，所以先介绍-矩阵的相关知识以数域上的多项式为元素的矩阵叫-矩阵-矩阵的相等、加法、乘法、数乘以及-矩阵的行列式等概念与数字矩阵的相应概念相仿，而且有完全相同的性质和运算规律-矩阵的秩若-矩阵有一个阶子式不为，而所有的阶子式全为，则称的秩为零矩阵的秩位注：数字矩阵的秩与该矩阵的许多性质本质地联系在一起，如：秩相同则等价；满秩则可逆相比之下，对于-矩阵来说，秩的作用就弱得多，两个-矩阵秩相同未必等价；满秩也未必可逆-矩阵与数字矩阵的差别主要是由于中除法不是普遍可行所引起的对任意阶方阵，秩（）可逆-矩阵对-矩阵，若存在-矩阵，使，则称可逆，叫做的逆矩阵，记为可逆的等价命题：对-矩阵下述命题
16、等价(1) 可逆；(2)是非零常数；(3)与等价；(4) 可表成初等-矩阵的乘积当可逆时，（是的伴随矩阵）-矩阵的初等变换和初等-矩阵 、初等变换以下三种变换称为-矩阵的初等行(列)变换：(1) 交换两行（列）的位置；(2) 某以行（列）乘以非零常数；(3) 将某以行（列）的倍加于另以行（列）注：为保证变换的可逆性，第种初等变换必须用非零常数去乘、初等-矩阵单位矩阵经过一次-矩阵的初等变换所得到的矩阵叫初等-矩阵-矩阵的初等变换与初等-矩阵之间的关系与数字矩阵的相应关系类似-矩阵的等价和标准形、-矩阵的等价若可以经过初等变换化为，则称与等价-矩阵等价的等价命题：(1) 与等价；(2) ，其中是
17、初等-矩阵；(3) ，其中可逆；(4) 与有相同的行列式因子；(5) 与有相同的不变因子；(6) 与有相同的秩和相同的初等因子注：对阶数字矩阵和，由于秩秩，所以(1)(6)就简化成: 与等价他们有相同的初等因子、标准形任意一个非零的-矩阵等价于形如的-矩阵，其中的首相系数为，且次矩阵叫做的标准形-矩阵的行列式因子、不变因子和初等因子行列式因子设 秩，对满足的正整数，中所有不为的阶子式的首项系数为的最大公因式叫做的阶行列式因子秩为的-矩阵共有个行列式因子：不变因子标准形主对角线上的非零元叫的不变因子秩为的-矩阵共有个不变因子：初等因子将-矩阵的不变因子分解为互不相同的（数域上的）不可约因式方幂的
18、乘积，所有这些不可约因式方幂叫的初等因子注：高等代数课本上初等因子的概念只是针对这种特殊的-矩阵定义的对阶数字方阵，把他的特征矩阵的行列式因子、不变因子和初等因子分别叫做的行列式因子、不变因子和初等因子上三种因子之间的性质和关系：(1)；或(2)同一个不可约因式方幂的初等因子中，次数最高的必出现在最后一个不变因子中，次数次高的必出现在中，以此类推(3)所有初等因子的乘积等于所有不变因子的乘积等于最后一个行列式因子特别地，对阶数字方阵，由于，所以的所有初等因子的乘积、所有不变因子的乘积都等于的特征多项式由此可知，阶数字方阵的所有初等因子的次数之和等于所有不变因子的次数之和等于利用定理及以上讨论可
19、得定理阶数字方阵与相似与有相同的行列式因子与有相同的不变因子与有相同的初等因子7.2 矩阵的相似标准形从一般意义上讲，矩阵的相似标准形问题就是寻找一种与阶方阵相似的并且具有某种特殊形状的矩阵的问题，这个问题有着十分重要的理论和实际意义定理为解决这个问题提供了一种方法：对一个阶方阵，设其次数大于的不变因子为（注：阶方阵共有个不变因子，所以还有个不变因子是），他们次数分别是，则如果对每一个，能设计出一个阶方阵，使的不变因子为（），利用构造分块对角矩阵容易证明：的不变因子恰是的不变因子的全体，即：可见与有相同的不变因子，所以他们相似这样就设计构造出了的一种形式的标准形同样的思路用于初等因子就是：设阶
20、方阵的初等因子是，其次数分别是，则如果对每一个，能设计出一个阶方阵，使的初等因子为，利用构造分块对角矩阵容易证明：的初等因子恰是的初等因子的全体，即：可见与有相同的初等因子，所以他们相似这样就设计构造出了的另一种形式的标准形Frobenius标准形和Jordan标准形就是利用这种思路设计构造出来的下面是和的证明证明因为的不变因子为（）,所以的标准形为.于是 可以经过初等变换化为,再经过行、列交换即得的标准形 ,可见的不变因子恰是 证明 因为矩阵的初等因子为,所以的不变因子为,的标准形为,于是可以经过初等变换化为.将其主对角线上次数大于零的元素分解成互不相同的不可约因式方幂的乘积即得的初等因子,
21、易见他们就是.7.3 相似标准型的应用标准形是一种形状特殊的矩阵，其特殊的形状决定着它有特殊的性质，利用矩阵与其标准形的联系，就可以将标准形的特殊性质用于一般矩阵的研究要达到这一目的，首先必须对标准型这种特殊矩阵的性质有所了解一、Jordan标准型的应用Jordan矩阵的常用性质：Jordan块是一个数量矩阵与一个基础循环矩阵之和（基础循环矩阵方幂的规律见24页2.3节例8），而以幂零矩阵为主对角元的分块对角阵仍是幂零的因此，Jordan矩阵是一个对角矩阵与一个幂零矩阵之和由于Jordan块可以分解为而和的方幂都容易求得，所以Jordan块的方幂是容易求得的（利用二项式定理）而准对角矩阵的方幂
22、满足，所以Jordan矩阵的方幂是容易求得的与阶Jordan块可交换的矩阵形如 （其中是任意数），并且是的多项式证明设与可换，即，得直接验证可得令，则Jordan矩阵可以分解为一个实对称矩阵与一个复对称矩阵的乘积证明设，其中，容易验证这里，令，则是实对称矩阵，是复对称矩阵，且例1证明：任一复矩阵可分解为，其中为幂零阵，相似于对角阵，且证明存在可逆矩阵，使，其中，令，则得，这里相似于对角阵，为幂零阵，且例2证明：任一复方阵可以分解为两个复对称矩阵的乘积证明设是一个复方阵，其Jordan标准形为，则存在复可逆矩阵，使由上述，是实对称矩阵，是复对称矩阵而可见是两个复对称矩阵与的乘积例3设阶方阵的秩为
23、且（），证明：存在可逆矩阵，使证明存在可逆矩阵，使，于是() 所以若有某个的阶数，则有,可得因此，得，矛盾于是，每个均为一阶的，即由()，得或因而适当交换的列可得矩阵，使例4设为幂零阵，且 秩，证明：若，则证明因为幂零阵的特征值全是，所以的Jordan标准形中的若当块形如，于是因为 秩秩秩， 故而相似于，所以例5设是阶方阵，证明：若是的重特征值，则 秩证明将的Jordan标准形中主对角元为的若当块放在一起，记为，则是阶的，故有，其中是阶的下三角矩阵，且主对角元不为所以而 可见 秩秩例6求使解设的Jordan标准形为，令（其阶数与阶数相同），则,，且（）令，则,，且（）于是，这里例7 证明：任意
24、阶复方阵可表成两个对称矩阵的乘积，其中之一是非退化的证明设的若当标准形是，即有令（这里与阶数相同），则，且取，则，且所以，其中是非退化对称矩阵，使对称矩阵，事实上：例8证明：如果两个实矩阵在复数域上相似，则它们在实数域上也相似证明因为在复数域上相似，所以存在复可逆矩阵，使，得设（是实矩阵），代入上式可得于是对任意实数，均有记，则是非零多项式（否则可得），故有实数，使令，则是实矩阵，且因为，故可逆，得，即在实数域上也相似二、 有理标准型的应用有理标准型是以Frobenius矩阵为主对角元构成的，由于Frobenius矩阵 的特征多项式，所以求Frobenius矩阵的行列式以及判断其可逆性都是容易
25、的此外，由25页2.3节例10，Frobenius矩阵有下述性质： ，其中，,（这里的是标准单位向量）即Frobenius矩阵的方幂是容易求得的对满足的任意正整数，以及任意个不全为的数，均有在利用有理标准形解决一般矩阵问题是这些都是可以利用的优势例9 设是阶方阵，证明：的最小多项式就是的最后一个不变因子；的最小多项式与的特征多项式有相同的不可约因式证明由最小多项式基本性质（72页），与它的有理标准型有相同的最小多项式设的有理标准型是（其中是阶Frobenius矩阵）（注：由有理标准型的构造方式可知的次数大于0的不变因子有个：，它们的次数分别是，且，的不变因子为个1和）设是的最小多项式，是的最小多项式由最小多项式基本性质，下边求：设由Frobenius矩阵性质，不存在次数小于的的零化多项式，所以的特征多项式就是的最小多项式，即又注意到，故设的标准分解式为另一方面所以，得整除某个，从而例10 设数域上的阶方阵的不变因子为,，矩阵满足证明：，这里是上的一个次多项式证明设是的有理标准形，则存在可逆矩阵，使由于的次数大于0的不变因子只有一个，所以是由一个Frobenius矩阵为块构成的，即是一个阶Frobenius矩阵令，则即与乘法可换结合Frobenius矩阵性质，得 设，则，于是上式化为（）其中是一个次多项式于是
