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1、2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学第卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项（1）若（i为虚数单位），则使的值可能是（ ）ABCD（2）已知集合，则（ ）ABCD正方形圆锥三棱台正四棱锥（3）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）ABCD（4）设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有值为（ ）A，B，C，D，（5）函数的最小正周期和最大值分别为（ ）A，B，C，D，（6）给出下列三个等式：， ，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）ABCD（7）命题“对任意的，”的否定是（ ）
2、A不存在，013141516171819秒频率/组距0.360.340.180.060.040.02B存在，C存在，D对任意的，（8）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为，则从频率分布直方图中可分析出和分别为（ ）A0.9，35B0.9，45C0.1，35D0.1，45（9）下列各小题中
3、，是的充要条件的是（ ）开始输入结束输出否：或；：有两个不同的零点；是偶函数；ABCD（10）阅读右边的程序框图，若输入的是100，则输出的变量和的值依次是（ ）A2500，2500B2550，2550C2500，2550D2550，2500（11）在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是（ ）ABCD（12）位于坐标原点的一个质点按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，质点移动五次后位于点的概率是（ ）ABCD第卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分答案须填在题中横线上（13）设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物
4、线上的一点，与轴正向的夹角为，则为 （14）设是不等式组表示的平面区域，则中的点到直线距离的最大值是 （15）与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是 （16）函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为 三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（17）（本小题满分12分）设数列满足，（）求数列的通项；（）设，求数列的前项和（18）（本小题满分12分）设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程实根的个数（重根按一个计）（）求方程有实根的概率；（）求的分布列和数学期望；（）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程有实根的概率（19）（
5、本小题满分12分）BCDAE如图，在直四棱柱中，已知，（）设是的中点，求证：平面；（）求二面角的余弦值（20）（本小题满分12分）北乙甲如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？（21）（本小题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为（）求椭圆的标准方程；（）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该
6、定点的坐标（22）（本小题满分14分）设函数，其中（）当时，判断函数在定义域上的单调性；（）求函数的极值点；（）证明对任意的正整数，不等式都成立2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学参考答案第卷一、选择题（1）D（2）B（3）D（4）A（5）A（6）B（7）C（8）A（9）D（10）D（11）C（12）B第卷二、填空题（13）（14）（15）（16）三、解答题（17）（本小题满分12分）解：（）， 当时， -得，在中，令，得（）， -得即，（18）（本小题满分12分）解：（）由题意知：设基本事件空间为，记“方程没有实根”为事件，“方程有且仅有一个实根”为事件，“方程有两个相异
7、实数”为事件，则，所以是的基本事件总数为36个，中的基本事件总数为17个，中的基本事件总数为个，中的基本事件总数为17个又因为是互斥事件，故所求概率（）由题意，的可能取值为，则，故的分布列为：所以的数学期望（）记“先后两次出现的点数有中5”为事件，“方程有实数”为事件，由上面分析得，（19）（本小题满分12分）解法一：BCDAEG（）连结，则四边形为正方形，且，四边形为平行四边形又平面，平面，平面（）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，BCDAEzyxFM，设为平面的一个法向量由，得 取，则又，设为平面的一个法向量，由，得取，则，设与的夹角为，二面角为，
8、显然为锐角，即所求二面角的余弦为解法二：（）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，由题意知：BCDAExyzFM，又，平面，平面，平面（）取的中点，的中点，连结，由（）及题意得知：，为所求二面角的平面角所以二面角的余弦值为解法三：BCDAEFMH（）证明：如解法一图，连结，设，连结，由题意知是的中点，又是的中点，四边形是平行四边形，故是的中点，在中，又平面，平面，平面（）如图，在四边形中，设，故，由（）得，即又，平面，又平面，取的中点，连结，由题意知：，又，为二面角的平面角连结，在中，由题意知：，取的中点，连结，在中，二面角的余弦值为（20）（本小题满分12分）北
9、甲乙解法一：如图，连结，由已知，又，是等边三角形，由已知，在中，由余弦定理，因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）答：乙船每小时航行海里解法二：如图，连结，由已知，北乙甲，在中，由余弦定理，由正弦定理，即，在中，由已知，由余弦定理，乙船的速度的大小为海里/小时答：乙船每小时航行海里（21）（本小题满分12分）解：（）由题意设椭圆的标准方程为，由已知得：，椭圆的标准方程为（）设，联立得，又，因为以为直径的圆过椭圆的右焦点，即，解得：，且均满足，当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；当时，的方程为，直线过定点所以，直线过定点，定点坐标为（22）（本小题满分14分）解：（）由题意知，的定义域为，设，其图象的对称轴为，当时，即在上恒成立，当时，当时，函数在定义域上单调递增（）由（）得，当时，函数无极值点时，有两个相同的解，时，时，时，函数在上无极值点当时，有两个不同解，时，即，时，随的变化情况如下表：极小值由此表可知：时，有惟一极小值点，当时，此时，随的变化情况如下表：极大值极小值由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点；综上所述：时，有惟一最小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，无极值点（）当时，函数，令函数，则当时，所以函数在上单调递增，又时，恒有，即恒成立故当时，有对任意正整数取，则有所以结论成立
