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1、自动控制原理习题详解（上册）第一章 习题解答1-2日常生活中反馈无处不在。人的眼、耳、鼻和各种感觉、触觉器官都是起反馈作用的器官。试以驾车行驶和伸手取物过程为例，说明人的眼、脑在其中所起的反馈和控制作用。答：在驾车行驶和伸手取物过程的过程中，人眼和人脑的作用分别如同控制系统中的测量反馈装置和控制器。在车辆在行驶过程中，司机需要观察道路和行人情况的变化，经大脑处理后，不断对驾驶动作进行调整，才能安全地到达目的地。同样，人在取物的过程中，需要根据观察到的人手和所取物体间相对位置的变化，调整手的动作姿势，最终拿到物体。可以想象蒙上双眼取物的困难程度，即使物体的方位已知。1-3 水箱水位控制系统的原理
2、图如图1-12所示，图中浮子杠杆机构的设计使得水位达到设定高度时，电位器中间抽头的电压输出为零。描述图1-12所示水位调节系统的工作原理，指出系统中的被控对象、输出量、执行机构、测量装置、给定装置等。图1-12 水箱水位控制系统原理图答：当实际水位和设定水位不相等时，电位器滑动端的电压不为零，假设实际水位比设定水位低，则电位器滑动端的电压大于零，误差信号大于零（），经功率放大器放大后驱动电动机旋转，使进水阀门开度加大，当进水量大于出水量时（），水位开始上升，误差信号逐渐减小，直至实际水位与设定水位相等时，误差信号等于零，电机停止转动，此时，因为阀门开度仍较大，进水量大于出水量，水位会继续上升，
3、导致实际水位比设定水位高，误差信号小于零，使电机反方向旋转，减小进水阀开度。这样，经反复几次调整后，进水阀开度将被调整在一适当的位置，进水量等于出水量，水位维持在设定值上。在图1-12所示水位控制系统中，被控对象是水箱，系统输出量水位高，执行机构是功率放大装置、电机和进水阀门，测量装置浮子杠杆机构，给定和比较装置由电位器来完成。1-4 工作台位置液压控制系统如图1-13所示，该系统可以使工作台按照给定电位器设定的规律运动。描述图1-13所示工作台位置液压控制系统的工作原理，指出系统中的被控对象、被控量、执行机构、给定装置、测量装置等。图1-13 工作台位置液压控制系统答：当给定电位器的角度（电
4、压）和反馈电位器的角度（电压）不同时，误差电压经过放大器放大去驱动电磁阀，并带动滑阀移动。以给定电位器的电压大于反馈电位器的电压为例，设在正的误差电压作用下，电磁阀带动滑阀相对图1-13所示的平衡位置向右移动，高压油进入到动力油缸的左面，动力油缸活塞右面的油液从回油管路流出，动力油缸活塞在两边压力差的作用下向右运动，误差逐渐减小到零直至出现负的误差，滑阀开始向左移动至平衡位置的左侧。这样，经反复几次调整后，滑阀回到平衡位置，动力油缸活塞静止在设定的位置上。1-5 图1-14的电加热炉温度控制系统与图1-10所示的有所不同，试描述系统的温度调节过程，它能做到加热炉温度的无差调节吗，为什么？图1-
5、14 电加热炉温度控制系统答：在图1-14所示电加热炉温度控制系统中，误差信号经过功率放大器放大后，电炉丝放出的热量与加热炉散出去的热量平衡，去维持炉温不变。当某种原因引起炉温下降时，误差信号增大，电炉丝上的电压升高，电炉丝放出的热量增加，炉温误差向减小的方向变化。与图1-10所示的电加热炉温度控制系统不同，图1-14所示温度控制系统不能做到加热炉温度的无差调节。因为，加热炉总要散出部分热量，而功率放大器的放大倍数是有限的，所以在炉温稳定后，误差信号总是大于零的。1-6 图1-15（a）和（b）都是自动调压控制系统，图中发电机由一原动机带着恒速旋转，通过改变励磁电流来改变发电机的端电压。设空载
6、时，发电机的端电压均为，而当带上一恒定负载时，发电机的输出电流要在其内阻上产生压降，故端电压会出现一定的电压降，后经系统的调节作用，发电机的端电压会得到恢复。试问，经过调节恢复图（a）和（b）中的哪个系统能保持电压不变？哪个系统的电压会稍低于？为什么？（a） （b）图1-15 自动调压控制系统答：图1-15（a）所示系统能保持电压不变，图1-15（b）所示系统的电压会稍低于。因为，对图（a）所示系统，给定不变，加载调整过程完成后，由于电机转速到转角的积分作用，当误差信号为零电机停止时，会使可调电阻器的阻值比加载前小，并维持在这一位置上，发电机的电动势升高，以抵消负载电流在发电机内阻上的压降，实
7、现误差调节。而对图（b）所示系统来说，加载调整过程完成后，提高电动势增加励磁电流必然对应较大的误差，即系统的输出电压会稍低于。1-7 图1-16为一调速系统的示意图。图中为电枢回路的总电阻、为电枢回路的总电感，励磁电流恒定。电机空载运行时，一定的设定电压对应一定的电动机转速。当负载增加时，电枢电流随之增大，电枢电流在电阻上的压降会引起电机转速的下降。如图所示，在电机主回路中串入一个小的采样电阻来测量电枢电流，用反馈的方法减少电机转速的下降。试问由采样电阻引入的是电枢电流的正反馈还是负反馈？系统的工作原理如何？图1-16 调速系统答：采样电阻引入的是电枢电流的正反馈，其作用原理为，当负载增加时，
8、电枢电流随之增大，在电阻上的压降经电压放大器放大后得到，功率放大器的输入电压。这样，负载增加时，增大，增大引起增大，即电枢电流正反馈的作用使功率放大器的输出电压得到提高，以部分补偿负载增大引起的转速下降。1-8 图1-17是谷物湿度控制系统示意图。在谷物磨粉的生产过程中，有一个最佳的出粉湿度，因此磨粉之前要给谷物加水，以得到希望的湿度。图中，谷物输送装置按一定流量通过加水点，加水量用自动阀门控制。在加水过程中，谷物流量、加水前谷物湿度以及水压都是对谷物湿度控制的扰动作用。为了提高控制精度，系统中采用了加水前谷物湿度扰动的补偿控制和谷物湿度的反馈控制，试画出系统的框图。1-17 谷物湿度控制系统
9、解：系统框图如下图所示。1-9张力控制系统如图1-18所示，它可以使输送带上各处的速度一致。如图中所示，输送带左边前一个分部用的是速度反馈控制，输送带右边后一个分部用的是张力反馈控制。试说明当速度主给定发生变化时，该系统是如何通过张力控制来使得速度跟随的变化的？后一个分部用张力反馈控制的好处是什么？1-18 张力控制系统答：当速度主给定发生变化时，命令信号同时给到前面一个分部和后面一个分部，在测速反馈作用下，前面一个分部的转速跟随指令发生变化，前面一个分部也同样。由于前后分部参数和性能上总存在差异，无论动态下还是静态下都不可能做到绝对的同步，这种不同步的影响累计起来会被后一个分布的张力测量环节
10、测知。当张力小于设定值时，后一个分布会适当增加速度，反之会减小速度，以使得两个分部间转速微小偏差的影响不会被累加起来，两个分部的平均速度精确地相等。1-10晶体管稳压电路如图1-19所示，图中是输入电压，它在一定范围内变化，是输出电压，输出电压的稳压值由分压电阻、和稳压二极管的参数决定。试分别说明输入电压和负载电阻发生变化时，晶体管稳压电路的稳压过程和工作原理。1-19 晶体管稳压电路答：输入电压发生变化时，以输入电压升高为例，图1-19所示晶体管稳压电路的稳压过程如下：输入电压升高，带动输出电压也升高，晶体管的基极电流增加，晶体管的基电极电流增加，晶体管的基极电流减小，晶体管上的压降增加，输
11、出电压的升高得到抑制。这是一个反馈过程，只要这种反馈作用足够强，就可以将输出电压稳定在一定范围内。负载电阻发生变化时，以负载电阻减小为例，图1-19所示晶体管稳压电路的稳压过程如下：负载电阻减小，负载电流加大，晶体管上的压降增加导致输出电压降低。输出电压降低，晶体管的基极电流减小，晶体管的基电极电流减小，晶体管的基极电流增大，晶体管上的压降减小，输出电压的降低得到抑制。1-11工人工资的增加，经过一段时间以后会导致物价的上涨，物价的上涨又带生活费用的提高，为保证工人的生活质量，就需要进一步提高工资。这是一个正反馈过程。增加存款的利率和刺激消费哪个可以减缓物价的上涨速度？为什么？国家的工资、物价
12、和税收政策是怎样影响这个反馈系统的？答：增加存款利率会抑制消费，可以减缓物价的上涨速度，降低劳动力成本。反之，刺激消费，会加速物价的上涨，增加劳动力成本。提高工资会刺激消费和加快物价的上涨速度，加快经济的发展，但也会引发过渡投机，恶化投资环境。通过税收和物价政策的调整，可以有效抑制在经济发展过程中的不良投资倾向，改善投资环境。1-12 总起来说，人们总会优先选择报酬高的职业，但任何一个职业的报酬都将随上岗人数的增加而降低。请用社会反馈机制来讨论经济参与者之间的竞争问题。以某行业的社会需求人数为输入，以流入该行业的实际职工人数为输出，绘制系统的框图，这是一个负反馈过程还是一个正反馈过程？解：系统
13、的框图如下图，这是一个负反馈过程。1-13为改善系统的控制性能，需要从诸如控制策略、执行器功率和性能、检测环节的精度、对被控对象的改造等方面同时入手。片面强调或不适当地突出某一方面往往达不到预期的效果。那么，具体到某一方面，他们可能受到的限制是什么？请分别说明。答：控制策略的改进受到理论研究成果、算法的复杂程度及软硬件成本的限制，一般来说越精确和高性能的控制算法对对象模型精度的要求也越高，对环境要求也越苛刻。快和稳在系统设计中是一对矛盾，响应速度的提高往往给系统稳定性的设计带来大的负担，同时所需执行器的功率和能量损耗损耗也大，设备的磨损也多。高的控制精度与测量装置的精度密切相关，但高精密高性能
14、的传感器会增加系统的成本。总之，设计中应该根据实际需求，综合考虑性能、系统成本、使用成本、可靠性等多种制约因素，不能片面追求高性能。1-14用一句话概括一下控制理论的内容，然后再给出一个进一步的阐述。答：控制理论研究的内容是控制系统的分析与综合问题。经典控制理论研究的是单输入单输出反馈控制系统的分析与综合问题，以传递函数描述为基础，主要有时域和频域两种方法，主要适用于单输入单输出线性定常系统。现代控制理论研究的是多输入多输出、复杂控制系统的分析与综合问题，以状态空间描述为基础，主要是时域法，借住计算机求解，适用于多输入多输出、线性或非线性、确定性系统或有随机扰动输入的系统。第三章 习题解答3-
15、1已知系统特征方程为试用劳斯判据和胡尔维茨判据确定系统的稳定性。解：（1）劳斯判据： 第一列中有两次符号变化，系统不稳定。（2）胡尔维兹判据：特征方程的系数全部为正，只需计算奇次阶的胡尔维兹行列式，故系统不稳定。3-2已知系统特征方程如下，试求系统在右半平面根的个数和虚根值。（1）（2）（3）解：（1）计算老斯表如下对应的一行全为零，应用其上一行的系数组成辅助方程，辅助方程对求导数得到。将求导后的方程的系数取代全为零的行的系数，继续将劳斯表计算下去，得到第一列无变号，没有根在右半平面，用辅助方程求得系统的虚根为。（b）计算老斯表如下对应的一行全为零，应用其上一行的系数组成辅助方程，辅助方程对求
16、导数得到。将求导后的方程的系数取代全为零的行的系数，继续将劳斯表计算下去，得到第一列变号两次，有2个根在右半平面。辅助方程由此求得系统6个特征根中的4个根（其中包括1对共轭虚根）为，（c）计算劳斯表如下对应的一行全为零，应用其上一行的系数组成辅助方程，辅助方程对求导数得到。将求导后的方程的系数取代全为零的行的系数，继续将劳斯表计算下去，得到第一列无变号，没有根在右半平面，用辅助方程求得系统的虚根为。3-3已知单位反馈系统的开环传递函数为试确定系统稳定时的取值范围。解：闭环传递函数为系统的特征方程为计算由劳斯表如下得到方程组即有的到解为所求。3-4系统如图3.53所示，试用劳斯稳定判据确定系统稳
17、定时的取值范围。图3.53 习题3-4图解：系统的闭环传递函数为系统的特征方程为根据胡尔维茨判据，系统稳定的条件为得到即为所求。3-5系统如图3.54所示，试应用劳斯判据确定系统稳定时比例-积分控制器增益、的取值范围，并给出图示。图3.54 习题3-5图解：系统闭环传递函数为特征方程为根据胡尔维茨判据，系统稳定的条件为即、的取值范围如下图所示，为斜线上方与轴所夹区域。3-6质量弹簧系统如图3.55所示，图中为弹簧的弹性系数，为阻尼器的摩擦系数，为质量块的质量，为外力，以时重力作用下质量块的平衡位置为位移的原点。（a）设在单位阶跃外力作用下，质量块的稳态位移为，系统的无阻尼自然振荡频率，阻尼比，
18、求系统参数、。（b）求阶跃输入下系统的动态响应指标、（按误差计算）和。图3.55 习题3-6图解：（a）根据牛顿力学第二定律有得系统的输入输出微分方程描述为传递函数描述为令，得，。单位阶跃（1牛顿力）输入下，质量块稳态下的位移是（米）。由此得到，。（b）阶跃输入下系统的动态响应指标3-7设单位反馈系统的开环传递函数为试求系统在单位阶跃输入下的动态性能。解：系统的闭环传递函数为根据带零点二阶系统阶跃响应性能指标的计算公式，有，。3-8已知二阶系统的单位阶跃响应为试求系统的超调量，峰值时间和调节时间。解：将与标准二阶系统的阶跃响应表达式相比较有，。于是有3-9已知控制系统的单位阶跃响应为试确定系统
19、的阻尼比和自然振荡频率。解：取阶跃响应的拉氏变换得到系统输入为，得系统的传递函数为于是得，。3-10已知控制系统的单位阶跃响应为（a）求该系统的传递函数。（b）利用峰值时间及超调量的定义求该系统在零初值条件下，单位阶跃响应的峰值时间和超调量。解：（a）求输出的拉氏变换为系统输入为，得系统的传递函数为（b）根据峰值时间的定义，阶跃响应求时间的导数有即有，解得超调量为3-11图3.56是简化的飞行控制系统结构图，试选择参数和，使系统的、。图3.56 习题3-11图解：系统的闭环传递函数为令得，。3-12试分别求出图3.57所示各系统的自然振荡频率和阻尼比，并比较其性能。 （a） （b） （c）图3
20、.57 习题3-12图（a）系统的闭环传递函数为于是有，（b）系统的闭环传递函数为为有零点的二阶系统，。根据有零点的二阶系统性能指标的计算公式有（c）系统的闭环传递函数为于是有，秒，3-13某直流电动机的运动方程为设其中，。（a）问时，电动机的稳态转速是多少？（b）引入位置反馈，即为比例调节器的增益，若希望，求的取值。解：（a）将已知参数带入微分方程得以转速为输出即得到传递函数所以，输入等于时稳态输出转速为（b）引入位置反馈后系统方程变为即系统的闭环传递函数为从设计要求，得，从，得，从，得。3-14设3阶系统的闭环传递函数为其单位阶跃响应为式中（a）当较大时，给出和的估值，中的哪一项起主要作用
21、？系统的响应特性如何？（b）当较小时，给出和的估值，中的哪一项起主要作用？系统的响应特性如何？解：（a）当较大时，动态分量中的第2项起主要作用，系统的响应特性趋于典型二阶系统的响应特性。（b）当较小时，动态分量中的第1项起主要作用，系统的响应特性趋于典型一阶系统的响应特性。3-15系统框图如图3.58所示。图3.58 习题3-15图（a）试确定使系统稳定时，和应满足的条件。（b）当，求使，写出此时系统单位阶跃响应的表达式。（c）对使系统稳定的和，写出在作用下系统稳态误差的表达式。解：（a）闭环系统的传递函数为系统稳定时应满足即，。（b）时系统的闭环传递函数为，由题知，得。此时系统的单位阶跃响应
22、为（c）系统的开环传递函数为可知位置误差系数，速度误差系数，加速度误差系数，于是有3-16设控制系统如图3.59所示。（a）取，计算测速反馈作用下系统的超调量、调节时间和速度误差系数。（b）取，计算比例微分作用下系统的超调量、调节时间和速度误差系数。图3.59 习题3-16图解：（a），时，等价的单位反馈系统的开环传递函数为从而有，。所以有从等价的单位反馈系统的开环传递函数得速度误差系数。（2），时，等价的单位反馈系统的开环传递函数为系统的闭环传递函数为是有零点的二阶系统，。从等价的单位反馈系统的开环传递函数，系统的速度误差系数。3-17已知单位反馈系统的开环传递函数（a）（b）（c）试求输入
23、分别为和时，系统的稳态误差。解：（a）闭环系统的特征方程为，各项系数大于零，系统稳定。从开环传递函数有，输入为和时的稳态误差都为。（b）闭环系统的特征方程为，各系数大于零，且，系统稳定。从开环传递函数有，输入为时稳态误差，输入为时稳态误差都为。（c）闭环系统的特征方程为，由劳斯判据知系统稳定。从开环传递函数有，输入为时稳态误差，输入为时稳态误差都为。3-18已知单位反馈系统的开环传递函数（a）（b）（c）试求位置误差系数，速度误差系数和加速度误差系数。解：（a），。（b），。（c），。3-19设控制系统如图3.60所示，图中，输入以及扰动和均为单位阶跃函数。试求（a）在作用下系统的稳态误差；（
24、b）在作用下系统的稳态误差；（c）在和同时作用下系统的稳态误差。图3.60 习题3-19图解：（a）系统的开环传递函数有2个积分环节，在系统稳定的条件下，对阶跃输入的稳态误差为零。（b）系统从误差到扰动作用点之间的传递函数为，有1个积分环节，在系统稳定的条件下，在阶跃扰动输入作用下的稳态误差为零。（c）系统从误差到扰动作用点之间的传递函数为，有1个积分环节，从误差到扰动作用点之间的传递函数为，有2个积分环节，在系统稳定的条件下，在阶跃扰动输入和作用下的稳态误差为零。3-20设随动系统的微分方程为 其中，、和为正常数。若要求时，的稳态误差不大于正常数，试问应满足什么条件？。解：画出系统方框图如下
25、图所示。求出系统的开环传递函数为系统的闭环特征方程为系统稳定的条件为系统的速度误差系数按设计要求，时的稳态误差即综上，得到参数应满足的条件为3-21二阶反馈控制系统如图3.61所示。图3.61 习题3-21图（a）将系统等效于一个单位反馈系统，求对应的开环传递函数。（b）若定义系统的误差为，问当取何值时系统对单位阶跃输入无静差？计算这时系统的上升时间、调节时间（误差按计算）和超调量。解：（a）系统的闭环传递函数为构造一单位反馈系统，有上面相同的闭环传递函数，根据单位反馈系统开环传递函数和闭环传递函数之间的关系，单位反馈系统的开环传递函数为（b）误差定义为，则系统对单位阶跃输入无静差要求至少包含
26、1个积分环节，这可以令得到，故得。时系统的闭环传递函数为即，于是有系统的上升时间调节时间超调量3-22考虑图3.62所示的系统。（a）试求从参考输入到误差之间的传递函数。（b）设系统在形式为的参考输入下，稳态误差为零，试给出、应该满足的条件。图3.62 习题3-22图解：（a）从参考输入到误差之间的传递函数为系统在的参考输入下，稳态误差为零的条件为，同时闭环特征方程的所有根都稳定。3-23图3.63为扰动作用下控制系统的典型方框图。图3.63 习题3-23图图中，、为被控对象固有的传递函数，为作用于其上的扰动，为作用于反馈通道的高频测量噪声。控制器的设计保证系统是稳定的，试证明下面的事实：（a
27、）设，在典型扰动输入的作用下，稳态误差的充分必要条件是，多项式的积必须包含典型扰动输入的分母多项式作为它的一个因子。（b）要使扰动作用下引起的动态误差小，控制器应该有足够大的增益。解：（a）设，典型扰动输入作用下的误差为为典型输入扰动，它的分母多项式的根全在原点或虚轴上，要稳态误差，多项式必须与的分母多项式相消。（b）从的上述表达式容易看出，时，与成比例，所以，要使扰动作用下的动态误差小，控制器就应该有足够大的增益。3-24图3.64所示为史密斯给出的预测控制方法，图中为有延时环节的被控对象。首先在被控对象无延时的假设下，根据设计一个适当的控制器。然后设计控制器如图中所示，它等于虚线框中的小闭
28、环的传递函数。求系统的闭环传递函数，并对系统的性能进行分析。图3.64 习题3-24图解：系统的闭环传递函数为从系统的闭环传递函数可以看出，在被控对象的传递函数及时间延迟准确已知的条件下，按照上面给出的设计步骤得到的控制器，可以使闭环系统的稳定性与时间延迟环节无关。第四章 习题解答4-1设单位反馈控制系统的开环传递函数为试用解析法绘出增益从变化时的闭环根轨迹，并用根轨迹的相角条件加以验证。解：系统的闭环传递函数为特征方程的两个特征根为当从变化时，的变化情况如下图所示。从上图4.2看出，当从到变化时，闭环特征方程的根从开始、从开始往变化；当时，出现一对重根；当从到变化时，闭环特征方程的根为一对共
29、轭复根，实部为，的虚部从零开始往正无穷大变化，的虚部从零开始往负无穷大变化。对于根轨迹上的检验点，有满足相角条件。同样对于根轨迹上的检验点、点，也进行检验，同样满足相角条件。4-2已知开环零极点分布如图4.42所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹。 图4.42 习题4-2图解：概略绘出相应的闭环根轨迹如下图所示。 4-3设单位反馈控制系统的开环传递函数分别为（a）（b）（c）试概略绘出相应的从变化时的闭环根轨迹（要求确定分离点坐标）。解：（a）根轨迹共有3个分支，分别起始于开环极点，3个分支都终止于无穷远处。终止于无穷远处根轨迹的渐近线与实轴的夹角、与实轴的交点为由，分离点坐标满足解方程得到，不在
30、根轨迹上，故得分离点坐标为。系统临界稳定时，时的闭环特征方程为得根轨迹与虚轴的交点为。用MATLAB绘制的根轨迹如下图所示。（b）根轨迹共有2个分支，分别起始于开环极点，1个分支终止于开环零点，另1个分支沿负实轴终止无穷远处。根轨迹的复平面部分是一个圆，圆心位于开环零点，圆的半径为由此得到实轴上的2个分离点坐标。 除外，根轨迹与虚轴无交点。用MATLAB绘制的根轨迹如下图所示。（c）根轨迹共有3个分支，分别起始于开环极点，1个分支终止于开环零点，另2个分支终止于无穷远处。终止于无穷远处根轨迹的渐近线与实轴的夹角、与实轴的交点为由，分离点坐标满足解方程得到，和不在根轨迹上，故得分离点坐标为。时系
31、统总是稳定的，根轨迹与虚轴无交点。用MATLAB绘制的根轨迹如下图所示。4-4已知单位反馈控制系统的开环传递函数分别为（a）（b）（c）试概略绘出相应的从变化时的闭环根轨迹（要求算出起始角）。解：（a）系统的开环传递函数为实轴上的根轨迹区段为。起始于的根轨迹的起始角为。起始于的根轨迹的起始角为由对称性得系统闭环特征方程为因为，所以时系统总是稳定的，根轨迹没有与虚轴的交点。令得到它的解为，都不在根轨迹上，根轨迹没有分离点。 用MATLAB绘制的根轨迹如下图所示。（b）系统的开环传递函数为实轴上的根轨迹区段为。起始于的根轨迹的起始角为。起始于的根轨迹的起始角为由对称性得系统闭环特征方程为因为，所以
32、时系统总是稳定的，根轨迹没有与虚轴的交点。令得到它的解为，都不在根轨迹上，根轨迹没有分离点。 用MATLAB绘制的根轨迹如下图所示。（c）系统的开环传递函数为实轴上的根轨迹区段为。起始于的根轨迹的起始角为，起始于根轨迹的起始角为，起始于的根轨迹的起始角为由对称性得系统闭环特征方程为系统稳定的条件为以及，得的取值范围为。将代入特征方程，得根轨迹与虚轴的交点为。令得到它的解为，在根轨迹上，是分离点。用MATLAB绘制的根轨迹如下图所示。4-5设单位反馈控制系统开环传递函数如为试确定闭环产生纯虚根的值和值。解: 系统的闭环特征方程为令，代入特征方程得令实部和虚部分别等于零有把代入得，。4-6已知系统
33、的开环传递函数为试概略绘出闭环根轨迹，确定分离点坐标，与虚轴交点坐标及相应的值。解：开环两重极点，开环零点。实轴上的根轨迹区段为。渐近线与实轴的夹角和交点为实轴上的分离点坐标满足即得 (舍去)。与虚轴交点：闭环特征方程为把代入，令实部和虚部分别为零有得与虚轴交点坐标及相应的值为根轨迹起始于开环极点的起始角满足解出。用MATLAB绘制的根轨迹如下图所示。4-7反馈控制系统前向通道的传递函数为（a）设反馈通道的传递函数，概略绘出系统根轨迹图，判断闭环系统的稳定性。（b）设反馈通道的传递函数，判断改变后系统的稳定性，研究由于改变所产生的影响。解：（a）系统有4个极点，没有零点。实轴上的根轨迹区段为。
34、渐近线与实轴的夹角和交点为实轴上的分离点坐标满足即得， (舍去)。根轨迹如下图所示，无论取何值，始终存在右半平面根，闭环系统不稳定。（b）反馈通道的传递函数，此时系统的开环传递函数为与（a）比较，增加了开环零点。实轴上的根轨迹区段为, 。渐近线与实轴的夹角和交点为闭环特征方程为把代入，令实部和虚部分别为零有得与虚轴交点坐标及相应的值为即时闭环系统稳定。根轨迹如下图所示。4-8试绘出下列多项式的根轨迹。（a）（b）解：（a）等效的开环传递函数为实轴上的根轨迹区段为。3条根轨迹分别起始于开环极点，其中1条趋于开环零点，2条趋于无穷远处，趋于无穷远处根轨迹的渐近线与实轴的夹角和交点为闭环特征方程为系
35、统稳定的条件为，即。将代入特征方程，得与虚轴交点坐标。根轨迹如下图所示。（b）等效的开环传递函数为实轴上的根轨迹区段为，。3条根轨迹分别起始于开环极点，其中1条趋于开环零点，2条趋于无穷远处，趋于无穷远处根轨迹的渐近线与实轴的夹角和交点为实轴上的分离点坐标满足即解得，(舍去)，(舍去)。闭环特征方程为系统稳定的条件为，即。将代入特征方程，得与虚轴交点坐标。根轨迹如下图所示。4-9将下述特征方程化为适合于用根轨迹法进行分析的形式，写出等价的系统开环传递函数。（a），以为可变参数。（b），分别以和为可变参数。（c），分别以、和为可变参数。解：（a）系统的特征方程为得适合于用根轨迹法进行分析的等价的
36、开环传递函数为（b）系统的特征方程为以为可变参数时，等价的开环传递函数为以为可变参数时，等价的开环传递函数为（c）系统的特征方程为以为可变参数时，等价的开环传递函数为以为可变参数时，等价的开环传递函数为以为可变参数时，等价的开环传递函数为以为可变参数时，等价的开环传递函数为4-10设系统的开环传递函数为（a）绘出，从变化时系统的根轨迹。（b）在（a）的根轨迹上，求出闭环极点阻尼比时的值。（c）固定等于（b）中得到的数值，绘制从变化时的根轨迹。（d）从（c）的根轨迹中，求出闭环极点为临界阻尼时的值。解：（a）时，系统的开环传递函数为实轴上的根轨迹区段为，复平面上的根轨迹为圆心在原点，半径为的圆，
37、根轨迹如下图所示。（b）时，系统的特征方程为令其中的系数得。（c）时，系统的特征方程以为可变参数等价开环传递函数为从变化时，实轴上的根轨迹区段为，从得实轴上分离点的坐标满足（舍去）。复平面上的根轨迹为过等价的开环极点和分离点的圆的一部分，根轨迹如下图所示。（d）根据根轨迹的模值条件，求出闭环极点为临界阻尼时的值为4-11系统如图4.43所示。（a）试绘制时的根轨迹。（b）试绘制，时，从变化时的根轨迹。（c）应用根轨迹的幅值条件，求（b）中闭环极点为临界阻尼时的值。图4.43 习题4-11图解：（a），系统的开环传递函数为实轴上的根轨迹区段为，2条根轨迹分别起始于开环极点，趋于无穷远处，趋于无穷
38、远处根轨迹的渐近线与实轴的夹角和交点为实轴上的分离点坐标满足解得。根轨迹如下图所示。（b），时，系统的开环传递函数为系统的闭环特征方程为绘制根轨迹等价的开环传递函数为实轴上的根轨迹区段为，2条根轨迹分别起始于开环极点，1条趋于开环零点，1条趋沿负实轴方向趋于无穷远处。根轨迹的复平面部分为圆心在原点半径等于的圆。根轨迹如下图所示。（c）根据根轨迹的模值条件，求出（c）中闭环极点为临界阻尼时的值为4-12单位正反馈系统如图4.44所示。（a）试绘制从变化时系统的全根轨迹。（b）求使闭环系统阻尼比时的取值。图4.44 习题4-12图解：（a）等价为负反馈系统，等价后系统的开环传递函数为从变化，故应绘
39、制零度根轨迹。于是，实轴上的根轨迹区段为，2条根轨迹分别起始于开环极点，1条趋于开环零点，1条趋沿正实轴方向趋于无穷远处。根轨迹的复平面部分为圆心在点半径等于的圆。根轨迹如下图所示。（b）在系统的闭环特征方程中令阻尼比，有得到即有解（舍去）。4-13单位反馈系统如图4.45所示。（a）设，绘制从变化时系统的根轨迹，确定系统临界阻尼时的取值，确定系统临界稳定时的取值。（b）设，绘制从变化时系统的根轨迹，确定系统闭环根的阻尼比时的取值。图4.45 习题4-13图解：（a）时，系统的开环传递函数为从变化，故应绘制零度根轨迹。于是，实轴上的根轨迹区段为，2条根轨迹分别起始于开环极点，1条趋于开环零点，
40、1条趋沿正实轴方向趋于无穷远处。根轨迹的复平面部分为圆心在点半径等于的圆。根轨迹如下图所示。（b）时，系统的闭环特征方程为绘制根轨迹等价的开环传递函数为从变化，故应绘制一般根轨迹。实轴上的根轨迹区段为，2条根轨迹分别起始于开环极点，1条趋于开环零点，1条趋沿负实轴方向趋于无穷远处。根轨迹的复平面部分为圆心在原点半径等于的圆。根轨迹如下图所示。在特征方程中令阻尼比，有得。4-14设单位反馈系统的开环传递函数为（a）试绘制从变化时系统的根轨迹。（b）求系统临界稳定和临界阻尼时的取值。解：（a）系统的特征方程为绘制根轨迹等价的开环传递函数为从变化，故应绘制零度根轨迹。实轴上的根轨迹区段为，2条根轨迹
41、分别起始于开环极点和无穷远处，终止于开环零点和。根轨迹的复平面部分为圆心在开环极，半径等于的圆。根轨迹如下图所示。（b）根据系统的特征方程，系统稳定的条件为，故得系统临界稳定时的。根据根轨迹圆的半径，得知左半复平面分离点的坐标为，根据根轨迹的模值条件有系统临界阻尼时的取值为4-15系统如图4.46所示。（a）试绘制从变化时闭环系统的根轨迹。（b）求的取值范围，使系统的阶跃响应无振荡。图4.46 习题4-15图解：（a）系统的特征方程为绘制根轨迹等价的开环传递函数为从变化，故应绘制一般根轨迹。实轴上的根轨迹区段为，2条根轨迹分别起始于开环极点处，1条终止于开环零点，1条终止于无穷远处。根轨迹的复
42、平面部分为圆心在原点，半径等于的圆。根轨迹如下图所示。（b）实轴上分离点坐标，根据模值条件，分离点处的取值为使系统的阶跃响应无振荡的的取值范围为。4-16对于第二章例2.15的磁悬浮试验模型的例子，静态工作点附近被控对象的传递函数描述为（a）试确定反馈的极性和比例微分控制器的参数，使闭环极点的阻尼比，无阻尼自然振荡频率。（b）试绘制、两参数变化时系统的根轨迹族。解：（a）采用比例微分控制器时系统的闭环特征方程为其中正号对应正反馈，负号对应负反馈，为使系统稳定应采用正反馈。在特征方程中令得，。（b）采用正反馈，取不同值时，开环传递函数的零点的位置发生变化，绘制系统根轨迹的开环传递函数为对的情况，
43、从变化时的根轨迹簇，其复平面上的部分为以为圆心，半径等于的圆，其实轴上的根轨迹区段为，。如下图所示。对情况，从变化时的根轨迹簇，只有实轴上的部分，实轴上的根轨迹区段为，。如下图所示。4-17设系统的开环传递函数为试分别画出正反馈系统和负反馈系统的根轨迹图，并指出它们的稳定情况有何不同？解：负反馈情况，绘制一般的根轨迹，实轴上的根轨迹区段为，4条根轨迹分别起始于开环极点，1条趋于开环零点，3条趋于无穷远处，趋于无穷远处根轨迹的渐近线与实轴的夹角和交点为系统的闭环特征方程为令代入特征方程，令实部和虚部分别为零得解得系统稳定的条件为。根轨迹如下图所示。正反馈情况，绘制零度根轨迹，实轴上的根轨迹区段为，4条根轨迹分别起始于开环极点，1条趋于开环零点，3条趋于无穷远处，趋于无穷远处根轨迹的渐近线与实轴的夹角和交点为无论取任何值，闭环系统总是不稳定的。根轨迹如下图所示。4-18已知某单位负反馈系统的开环传递函数为（a）试绘制系统的根轨迹。（b）求闭环系统出现重根时的取值。（c）求使得闭环系统稳定且工作在欠阻尼状态的的取值范围。解：（a）实轴上根轨迹区段为。3条根轨迹分别起始于开环极点，1条终止于开环零点，2条趋于无穷远处。趋于无穷远处根轨迹的渐近线与实轴的夹角和交点为实轴上的分离点坐标满足 即 得
