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1、考点1 导数1.（2010 海南高考理科T3）曲线在点处的切线方程为（ ）（A） （B） （C） （D）【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解.【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程.【规范解答】选A.因为 ，所以，在点处的切线斜率，所以，切线方程为，即，故选A.2.（2010山东高考文科8）已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（ ）(A) 13万件 (B) 11万件(C) 9万件 (D) 7万件【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分
2、析问题解决问题能力和运算求解能力.【思路点拨】利用导数求函数的最值.【规范解答】选C，,令得或（舍去），当时；当时，故当时函数有极大值，也是最大值，故选C.3.（2010辽宁高考理科10）已知点P在曲线y=上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ） (A)0,) (B) (D) 【命题立意】本题考查了导数的几何意义，考查了基本等式，函数的值域，直线的倾斜角与斜率。【思路点拨】先求导数的值域，即tan的范围，再根据正切函数的性质求的范围。【规范解答】选D.4.（2010江苏高考8）函数y=(x0)的图像在点处的切线与x轴的交点的横坐标为,，若=16，则的值是_【命题立意】本题考查导数
3、的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容。【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线的斜率，然后求得切线方程，再由，即可求得切线与x轴交点的横坐标。【规范解答】由y=x2(x0)得，所以函数y=x2(x0)在点(ak,ak2)处的切线方程为：当时，解得，所以.【答案】215.（2010江苏高考4）将边长为1m正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是_ _。【命题立意】 本题考查函数中的建模在实际问题中的应用，以及等价转化思想。【思路点拨】可设剪成的小正三角形的边长为，然后用分别表示梯形的周长和面积，从而将
4、S用x表示，利用函数的观点解决.【规范解答】设剪成的小正三角形的边长为，则：方法一：利用导数的方法求最小值。，当时，递减；当时，递增；故当时，S的最小值是。方法二：利用函数的方法求最小值令，则：故当时，S的最小值是。【答案】【方法技巧】函数的最值是函数最重要的性质之一，高考不但在填空题中考查，还会在应用题、函数导数的的综合解答题中考察。高中阶段，常见的求函数的最值的常用方法有：换元法、有界性法、数形结合法、导数法和基本不等式法。6.（2010北京高考理科8）已知函数()当时，求曲线在点处的切线方程；()求的单调区间【命题立意】本题考查了导数的应用，考查利用导数求切线方程及单调区间。解决本题时一
5、个易错点是忽视定义域。【思路点拨】（1）求出，再代入点斜式方程即可得到切线方程；（2）由讨论的正负，从而确定单调区间。【规范解答】（I）当时， 由于， 所以曲线在点处的切线方程为 即 （II），.当时，.所以，在区间上，；在区间上，.故的单调递增区间是，单调递减区间是.当时，由，得，所以，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是.当时，故的单调递增区间是.当时，得，.所以在区间和上，；在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是7.（2010安徽高考文科20）设函数，求函数的单调区间与极值【命题立意】本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查考生运
6、算能力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力。【思路点拨】对函数求导，分析导数的符号情况，从而确定的单调区间和极值。【规范解答】+-0+极大值极小值8.（2010北京高考文科8） 设定函数，且方程的两个根分别为1，4（）当a=3且曲线过原点时，求的解析式；（）若在无极值点，求a的取值范围。【命题立意】本题考查了导数的求法，函数的极值，二次函数等知识。【思路点拨】(1)由的两个根及过原点，列出三个方程可解出；（2）是开口向上的二次函数，无极值点，则恒成立。【规范解答】由 得 因为的两个根分别为1,4，所以 （*）（）当时，（*）式为解得又因为曲线过原点，所以故（）由于a0,所以“在（-，+）内无
7、极值点”等价于“在（-，+）内恒成立”。由（*）式得。又解 得即的取值范围【方法技巧】（1）当在的左侧为正，右侧为负时，为极大值点；当在的左侧为负，右侧为正时，为极小值点（2）二次函数恒成立问题可利用开口方向与判别式来解决。恒大于0，则；恒小于0，则；9.（2010天津高考文科20）已知函数f（x）=，其中a0. （）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（）若在区间上，f（x）0恒成立，求a的取值范围.【命题立意】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。【思路点拨】应用导数知识求解曲线的切线方程
8、及函数最值。【规范解答】（）当a=1时，f（x）=，f（2）=3；f(x)=, f(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.（）f(x)=.令f(x)=0，解得x=0或x=.以下分两种情况讨论：若，当x变化时，f(x)，f（x）的变化情况如下表：X0f(x)+0-f(x)极大值 当等价于 解不等式组得-5a2，则.当x变化时，f(x),f（x）的变化情况如下表：X0f(x)+0-0+f(x)极大值极小值当时，f（x）0等价于即解不等式组得或.因此2a5. 综合（1）和（2），可知a的取值范围为0a5.10.（2010辽宁高考文科21）
9、已知函数f(x)=(a+1)lnx+1.()讨论函数f(x)的单调性；()设a-2，证明：对任意(0,+)，|f()-f()|4|.【命题立意】本题考查了函数的单调性与导数，求参数的取值范围，考查了分类讨论、转化等思想方法以及运算推理能力。【思路点拨】（I）求导数，对参数分类，讨论导数的符号，判断单调性， （II）转化为等价命题，构造新函数g(x)=f(x)+4x,通过g(x)r的单调性证明。【规范解答】【方法技巧】讨论函数的单调性首先要明确函数的定义域，一般用导数的方法，对参数分类做到不重不漏。2、直接证明一个命题，不好证时可考虑证明它的等价命题。变式:（2010辽宁高考理科21）已知函数（
10、I）讨论函数的单调性；（II）设.如果对任意，求的取值范围。【命题立意】本题考查了函数的单调性与导数，求参数的取值范围，考查了分类讨论、转化等思想方法以及运算能力。【思路点拨】（I）求导数，对参数分类，讨论导数的符号，判断单调性， （II）转化为等价命题，构造新函数g(x)=f(x)+4x,分离参数，求a的范围。【规范解答】【方法技巧】讨论函数的单调性首先要明确函数的定义域，一般用导数的方法，对参数分类做到不重不漏。求参数的取值范围往往要分离变量，分离时一定要使分离后的式子有意义，如分母不为0等。直接证明一个命题，不好证时可考虑证明它的等价命题。11.（2010浙江高考文科21）已知函数（-b
11、）b)。（I）当a=1，b=2时，求曲线在点（2，）处的切线方程。（II）设是的两个极值点，是的一个零点，且，证明：存在实数，使得 按某种顺序排列后的等差数列，并求【命题立意】本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、切线方程、导数应用、等差数列等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力和创新意识。【思路点拨】（1）先求出再代入点斜式方程；（2）先找到，观察它们之间的关系，从而确定在等差数列中的位置。【规范解答】()当a=1,b=2时，,因为(x)=(x-1)(3x-5)，故 (2)=1，f(2)=0,所以f(x)在点（2,0）处的切线方程为y=x-2（）因为（x）3（xa）（x），由于ab。
12、故a.所以f（x）的两个极值点为xa,x.不妨设x1a，x2，因为x3x1，x3x2，且x3是f（x）的零点，故x3b.又因为a2（b），所以成等差数列。所以4（a），所以存在实数x4满足题意，且x4.【方法技巧】（1）函数在处的切线方程为；（2）在函数的极值点处。12.（2010山东高考文科21）已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论的单调性.【命题立意】本题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力.考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想.【思路点拨】(1)根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线的斜率；（2）直接利用函数与导数的关系讨论函数的
13、单调性,同时应注意分类标准的选择.变式:（2010山东高考理科22）已知函数.(1)当时，讨论的单调性；（2）设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.【命题立意】本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。【思路点拨】（1）直接利用函数单调性与导数的关系讨论函数的单调性,同时应注意分类标准的选择；（2）利用导数求出的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出在闭区间1,2上的最大值，然后解不等式求参数.【方法技
14、巧】1、分类讨论的原因(1)某些概念、性质、法则、公式分类定义或分类给出；(2)数的运算：如除法运算中除式不为零，在实数集内偶次方根的被开方数为非负数，对数中真数与底数的要求，不等式两边同乘以一个正数还是负数等；(3)含参数的函数、方程、不等式等问题，由参数值的不同而导致结果发生改变；(4)在研究几何问题时，由于图形的变化(图形位置不确定或形状不确定)，引起问题的结果有多种可能.2、分类讨论的原则(1)要有明确的分类标准；(2)对讨论对象分类时要不重复、不遗漏；(3)当讨论的对象不止一种时，应分层次进行.3、分类讨论的一般步骤(1)明确讨论对象，确定对象的范围；(2)确定统一的分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；(3)逐段逐类讨论，获得阶段性结果；(4)归纳总结，得出结论.
