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1、第三章 中值定理与导数的应用一、 基本内容（一） 中值定理1.罗尔定理如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，那么在内存在一点，使得.For personal use only in study and research; not for commercial use2.拉格朗日中值定理如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在内至少有一点，使得其微分形式为这里.推论 如果函数在开区间内的导数恒为零，那么在内是一个常数.3.柯西中值定理如果函数及在闭区间上连续，在开区间内可导，且在内的每一点均不为零，那么在内至少有一点，使得中值定理是导数应用的理论基础，在应用中值定理证明题时，关键是构
2、造适当的辅助函数.（二） 洛必达法则1.法则1如果函数及满足条件：(1), ；(2)在点的某去心邻域内，及都存在且；(3)存在（或为无穷大），那么2.法则2如果函数及满足条件：(1), ；(2)当时，及都存在且；(3) 存在（或为无穷大）；那么以上两个法则是针对型未定式. 对型未定式，也有相应的两个法则.对、型未定式，可以通过变形将其转化成或型来求.（三） 泰勒公式1.带拉格朗日余项的泰勒公式设函数在的某邻域内有阶导数，那么在此邻域内有其中在和之间，是拉格朗日余项.（四） 函数的单调性函数单调性的判别法 设函数在上连续，在内可导.(1)如果在内，那么函数在上单调增加；(2) 如果在内，那么函数
3、在上单调减少. （五） 函数的极值与最值1.函数在一点取得极值的必要条件设函数在点取得极值，如果在点可导，那么.使的点称为函数的驻点.驻点不一定是极值点.驻点和不可导点是函数的所有可能的极值点.2.极值点的两个判别定理判别之一 设函数在点连续，在的某去心领域内可导，有(1) 如果在内，在内，那么在取得极小值；(2) 如果在内，在内，那么在取得极大值；(3) 如果在内符号保持不变，那么在没有极值.判别之二 设函数在点处有二阶导数，且，则有(1) 如果，那么在取得极小值；(2) 如果，那么在取得极大值.3.函数的最大值与最小值的求法(1) 求出在内的零点和不存在的点，计算出在这些点处的函数值；(2
4、) 计算出在的两个端点上的值(3) 是在上的最大值是在上的最小值.（六）曲线的凹凸与函数的作图1.凹凸的定义设函数在闭区间上连续，如果对于上任意两点，恒有那么称曲线在上是凹的；如果恒有那么称曲线在上是凸的.2.凹凸的判定设函数在上连续，在内具有二阶导数，那么(1) 如果在内，那么函数在上的图形是凹的；(2) 如果在内，那么函数在上的图形是凸的.3.拐点及其求法连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点.求出所有或不存在的点，拐点从中找.4.函数作图(1) 确定函数的定义域；(2) 求出函数的单调区间和极值点，曲线的凹凸区间和拐点；(3) 求函数图形的水平渐近线和铅直渐近线；(4) 求出函数在
5、特殊点（包括间断点及一阶导数、二阶导数为零或不存在的点）处的函数值，定出图形上相应的点，结合前面的结果，连结这些点画出函数图形的大概形状.（七）曲率1. 定义称为曲线在点处的曲率.其中是 的长度，是曲线在与处切线的夹角，与是曲线上两点.2. 计算公式若，则.3. 曲率与曲率半径的关系二、练习题3.1 设可导，求证：的两个零点之间一定有的零点.证明 设，ab，令，则，根据罗尔定理，存在使得，即.于是.3.2 设函数在上三次可导，且，设.证明；存在，使.证明 由条件可知 ，F(x)在上可导，根据罗尔定理，存在使得 又由知道这样，在可导.根据罗尔定理，存在使得又由知道根据罗尔定理，存在使得 3.3
6、设在闭区间a，b上连续，在开区间（a，b）内可导，.证明：在（a，b）内存在，使证明 由拉格朗日中值定理 .存在，使得根据柯西中值定理，存在使得由上面三个等式可知原结论成立 .3.4 设在0，1上连续，在(0，1)内可导，且.求证：在（0，1）内存在的两个不同的，使.证明 将0，1分成两部分分别在其上应用拉格朗日中值定理，得 又由条件，可知 3.5 已知 ，求的值 .解 因 ，由洛必达法则由可知再继续用洛必达法则于是 ，知 3.6用洛必达法则求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）解 （1） = = =1（2）= = = =（3） 令 = =同理 故 原式=（4） 令故 原式3.7 设与在存
7、在二阶导数，且满足条件：，.试分别用函数的单调性、拉格朗日中值定理和泰勒公式证明：时，.证明 （法一）令由条件 于是在单调递减又由存在，故在连续，即有在单调递减 .所以，当时，于是在单调递减，所以，当时， 即，.（法二）令由条件 由拉格朗日中值定理，得 故 ，.（法三）令由条件 根据泰勒公式 其中故 ，.3.8 利用泰勒公式计算极限：.解 原式= = = = = =3.9 设函数在0，1上具有连续的三阶导数，且，.证明 在（0，1）内至少存在一点，使.证明 将在点展开，并分别令和，得（2）（1）得： 取为和中三阶导数的绝对值较大的点，因故，且有 3.10 数列中哪一项最大解 令 ，则当时，f(
8、x)在单增；当时，f(x)在单减因为 ，故值最大的项只能为或，而由可知，,所以最大.3.11 证明：当时，有.证明 令则当时，在单增，而，故，在单增，而故，即当时,有3.12 在椭圆位于第一象限的部分上求一点，使该点处的切线、椭圆及两坐标所围图形的面积为最小.解 要使所述的面积最小，因椭圆在第一象限部分面积为定值，只要使切线与两坐标所围三角形面积最小即可 .设 .则由可知点处椭圆切线方程为 分别令y=0和x=0，可得两截距为 故此三角形面积为因在椭圆上，可令.代入上式，可得此面积为，因此当即时，此面积最小，此时 .综上，当点坐标为师，题中所述面积最小.测验题（三）1. 设和在a，b上连续，在(
9、a，b)内可导，且，证明：在（a，b）内有解证明 令，则F(x)在a，b满足罗尔定理的条件，存在使得，即在（a，b）内有解.2. 设在上连续，在内可导，且，证明：存在使.证明 欲证，只要 令，有得.在0，p满足罗尔定理的条件，故存在使得，即.3. 用洛必达法则求下列极限（1）；（2）.解 4. 已知在处有极值，试确定系数和，并求出的所有极值和曲线的拐点.解 因在处有极值，故解得，因此有.解，得.当时，；当时，；当时，所以在点处取得极大值,在处取得极小值.解，得.当时，当时，故（0，0）点是曲线的拐点.5. 证明：当时，有证明 考虑函数所以函数在单调递减，即当时有即再考虑函数，所以函数在单调递增
10、，即当时有即6. 若在严格单调递增，且，证明：在严格单调递增.证明 对任意的，在连续，在（0，x）可导，故存在使得因在严格单调递增，故，所以则在严格单调递增.7. 设在上处处有，且，证明：在内方程仅有一个实根.证明 由知在严格递减.由零阶泰勒公式，有由于，故由连续函数的介值定理，存在使得 又由于在严格递减.，可知对任意的有，故在严格递减.所以在内有唯一实根.仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fr den persnlichen fr Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l tude et la recherche uniquement des fins personnelles; pas des fins commerciales. , , . 以下无正文
