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1、专题17 一线三等角模型破解策略在直线AB上有一点P，以A，B，P为顶点的1，2，3相等，1，2的一条边在直线AB上，另一条边在AB同侧，3两边所在的直线分别交1，2非公共边所在的直线于点C，D1当点P在线段AB上，且3两边在AB同侧时（1）如图，若1为直角，则有ACPBPD（2）如图，若1为锐角，则有ACPBPD证明：DPB1803CPA，C1801CPA，而13CDPB，12，ACPBPD（3）如图，若1为钝角，则有ACPBPD2当点P在AB或BA的延长线上，且3两边在AB同侧时如图，则有ACPBPD证明：DPB1803CPA，C1801CPA，而13CDPB，12PBD，ACPBPD3当
2、点P在AB或BA的延长线上，且3两边在AB异侧时如图，则有ACPBPD证明：C1CPB，BPD3CPB，而13CBPD12，PACDBPACPBPD例题讲解例1：已知：EDF的顶点D在ABC的边AB所在直线上（不与点A，B重合）DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N记ADM的面积为S1，BND的面积为S2（1）如图1，当ABC是等边三角形，EDFA时，若AB6，AD4，求S1S2的值；（2）当ABC是等腰三角形时，设BAEDF如图2，当点D在线段AB上运动时，设ADa，BDb，求S1S2的表达式（结果用a，b和a的三角函数表示）如图3，当点D在BA的延长线上运动时，设ADa，BDb
3、，直接写出S1S2的表达式图1 图2 图3解：（1）如图4，分别过点M，N作AB的垂线，垂足分别为G，H则S1S2MGADNHBDADAMsinABDBNsinB由题意可知AB60，所以sinAsinB由“一线三等角模型”可知AMDBDN，从而AMBNADBD8，S1S212（2）如图5，分别过点M，N作AB的垂线，垂足分别为G，H则S1S2MGADNHBDADAMsinABDBNsinB由“一线三等角模型”可得AMDBDN，所以，从而AMBNADBDab，所以S1S2absina；如图6，分别过点M，N作AB的垂线，垂足分别为G，H则S1S2MGADNHBDADAMsinABDBNsinB由
4、“一线三等角模型”可得AMDBDN，所以，从而AMBNADBDab，所以S1S2absina；例2：如图，在等腰三角形ABC中，BAC120，ABAC2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使ADE30（1）设BDx，AEy，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（2）当ADE是等腰三角形时，求AE的长解（1）ABC是等腰三角形，且BAC120，ABDACB30，ABDADE30，ADCADEEDCABDDAB，EDCDAB，ABDDCE；ABAC2，BAC120，过A作AFBC于F，AFB90，AB2，ABF30，AF1，BF，BC2BF，则DC，EC2y
5、ABDDCE，化简得：（2）当ADDE时，如图2，ABDDCE，则ABCD，即2，x，代入解得：y，即AE，当AEED时，如图，EADEDA30，AED120，所以DEC60，EDC 90则ED EC，即y （2y）解得y，即AE；当ADAE时，有AEDEDA30，EAD120此时点D和点B重合，与题目不符，此情况不存在所以当是ADE等腰三角形时，AE4或AE进阶训练1如图，在ABC中，ABAC，点E在BC边上移动（不与点B，C重台）满足DEFB，且点D，F分别在边AB，AC上当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分DFC1略【提示】由题意可得BDEFC由“一线三等角模型”可得BDECEF，可
6、得而BECE所以，从而DEFECF所以DEFEFC，即FE平分DFC2 如图，在等边ABC中，点D，E分别在AB，BC边上，AD2BE6将DE绕点E顺时针旋转60，得到EF取EF的中点G，连结AG延长CF交AG于点H若2AH5HG，求BD的长2BD9【提示】如图，过点F作FIAC交BC于点I则FIEACBABC易证DBEEIF，则IFBE ，IEBD，所以BCBEAD，即ICBEIF，则ACHBCH30延长CH变AB于点J，则CJAB，A BJ分别过点G，E作AB的垂线段，垂足为K，L，则KLKJ，所以AJ：JK：KL：BL5：2：2：l因为BE3，LEB 30，所以BL15AB15所以BD9
