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1、 2019中考数学专题练习-圆的垂径定理的应用（含解析）一、单选题1.如图，把一个宽度为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么光盘的直径是（）A.5cmB.8cmC.10cmD.12cm2.下列命题：三点确定一个圆，弦的平分线过圆心，弦所对的两条弧的中点的连线是圆的直径，平分弦的直线平分弦所对的弧，其中正确的命题有（ ） A.3个B.2个C.1个D.0个3.如图，O的半径为5，AB为弦，半径OCAB，垂足为点E，若CE=2，则AB的长是( )A.4B.6C.8D.104.一根水平放置的圆柱形输水管道
2、横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（）A.0.5B.1C.2D.45.如图，O的弦AB=8，C是AB的中点，且OC=3，则O的半径等于( ) A.8B.5C.10D.46.如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为5cm，水面宽AB为8cm，则水的最大深度CD为（ ） A.4cmB.3cmC.2cmD.1cm7.如图，以O为圆心的两个同心圆中，半径分别为3和5，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦AB的长的取值范围是（）A.8AB10B.8AB10C.8AB10D.6AB108.如图，ABC内接于O，D为线段AB的中点，延
3、长OD交O于点E，连接AE，BE，则下列五个结论ABDE，AE=BE，OD=DE，AEO=C，弧AE=弧AEB，正确结论的个数是（）A.2B.3C.4D.59.如图，O的直径AB的长为10，弦AC长为6，ACB的平分线交O于D，则AD长为（ ）A.8B.5C.D.二、填空题10.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为_厘米 11.如图，已知O的半径为5，点P是弦AB上的一动点，且弦AB的长为8则OP的取值范围为_12.“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作九章算术中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问
4、径几何”此问题的实质就是解决下面的问题：“如图，CD为O的直径，弦ABCD于点E，CE=1，AB=10，求CD的长”根据题意可得CD的长为_ 三、解答题13.如图是某校存放学生自行车的车棚的示意图(尺寸如图所示,单位:m),车棚顶部是圆柱侧面的一部分,其展开图是矩形;如图是车棚顶部截面的示意图, 所在圆的圆心为点O,车棚顶部是用一种帆布覆盖的,求覆盖棚顶的帆布的面积.(不考虑接缝等因素,计算结果保留)14.如图，在破残的圆形残片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D，已知AB=8 cm，CD=2 cm求破残的圆形残片的半径15.如图，某公司的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度AB
5、为24m，拱高CD为8m，求石拱桥拱的半径 四、综合题16.如图，C、D两点在以AB为直径的半圆O上，AD平分BAC，AB=20，AD=4 ，DEAB于E（1）求DE的长 （2）求证：AC=2OE 17.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC四个顶点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（4，2），C（1，2）将四边形OABC绕点O顺时针旋转90后，点A，B，C分别落在点A，B，C处 （1）请你在所给的直角坐标系中画出旋转后的四边形OABC； （2）点C旋转到点C所经过的弧的半径是_，点C经过的路线长是_ 答案解析部分一、单选题1.【答案】C 【考点】垂径定理的应用 【解析】【解答】解：
6、设光盘的圆心为O，如图所示：过点O作OA垂直直尺于点A，连接OB，设OB=r，一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”，AB=（102）=4，刻度尺宽2cm，OA=r2，在RtOAB中，OA2+AB2=OB2 ， 即（r2）2+42=r2 ， 解得：r=5该光盘的直径是10cm故选：C【分析】设光盘的圆心为O，过点O作OA垂直直尺于点A，连接OB，再设OB=r，利用勾股定理求出r的值即可2.【答案】C 【考点】垂径定理的应用，三角形的外接圆与外心，命题与定理 【解析】【解答】解：不在同一直线上的3个点确定一个圆，故错误； 弦的垂直平分线经过圆心，故错误；根据圆的轴对称性可得，正确；
7、平分弦（非直径）的直径平分弦所对的弧，故错误；正确的有1个，故选C【分析】根据垂径定理的知识及过3点圆的知识可得正确选项3.【答案】C 【考点】垂径定理的应用 【解析】【分析】由于半径OCAB，利用垂径定理可知AB=2AE，又CE=2，OC=5，易求OE，在RtAOE中利用勾股定理易求AE，进而可求AB【解答】如右图，连接OA，半径OCAB，AE=BE=AB，OC=5，CE=2，OE=3，在RtAOE中，AB=2AE=8，故选C【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是利用勾股定理先求出AE4.【答案】B 【考点】垂径定理的应用 【解析】【解答】解：设半径为r，过O作OEAB交AB于点
8、D，连接OA、OB，则AD=AB=0.8=0.4米，设OA=r，则OD=rDE=r0.2，在RtOAD中，OA2=AD2+OD2 ， 即r2=0.42+（r0.2）2 ， 解得r=0.5米，故此输水管道的直径=2r=20.5=1米故选B【分析】根据题意知，已知弦长和弓形高，求半径（直径）根据垂径定理和勾股定理求解5.【答案】B 【考点】垂径定理的应用 【解析】【分析】连接OA，即可证得OAM是直角三角形，根据垂径定理即可求得AM，根据勾股定理即可求得OA的长【解答】连接OA，M是AB的中点，OMAB，且AM=4在直角OAM中，OA=5故选B【点评】本题主要考查了垂径定理，以及勾股定理，根据垂径
9、定理求得AM的长，证明OAM是直角三角形是解题的关键6.【答案】C 【考点】勾股定理，垂径定理的应用 【解析】【解答】解：如图所示：输水管的半径为5cm，水面宽AB为8cm，水的最大深度为CD， DOAB，AO=5cm，AC=4cm，CO= =3（cm），水的最大深度CD为：2cm故选：C【分析】根据题意可得出AO=5cm，AC=4cm，进而得出CO的长，即可得出答案7.【答案】C 【考点】勾股定理，垂径定理的应用 【解析】【分析】此题可以首先计算出当AB与小圆相切的时候的弦长连接过切点的半径和大圆的一条半径，根据勾股定理和垂径定理，得AB=8若大圆的弦AB与小圆有两个公共点，即相交，此时AB
10、8；又因为大圆最长的弦是直径10，则8AB10【解答】当AB与小圆相切，大圆半径为5，小圆的半径为3，大圆的弦AB与小圆有两个公共点，即相交，8AB10故选C【点评】本题综合运用了切线的性质、勾股定理和垂径定理此题可以首先计算出和小圆相切时的弦长，再进一步分析相交时的弦长8.【答案】B 【考点】垂径定理的应用，圆周角定理 【解析】【分析】已知OE是O的半径，D是弦AB的中点，可根据垂径定理的推论来判断所给出的结论是否正确【解答】OE是O的半径，且D是AB的中点，OEAB，弧AE=弧BE=弧AEB；（故正确)AE=BE；（故正确)由于没有条件能够证明一定成立，所以一定正确的结论是；故选B9.【答
11、案】D 【考点】垂径定理的应用，圆周角定理 【解析】【分析】首先连接BD，易得ABD是等腰直角三角形，然后由特殊角的三角函数值，求得AD的长【解答】连接BD，AB是O的直径，ACB=ADB=90，CD是ACB的平分线，ACD=ACB=45，ABD=ACD=45，AD=BD，AB=10，AD=ABsin45=故选D【点评】此题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用二、填空题10.【答案】10 【考点】勾股定理，垂径定理的应用 【解析】【解答】解：EF的中点M，作MNAD于点M，取MN上的球心O，连接OF， 设OF=x，则OM=16x，MF
12、=8，在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2即：（16x）2+82=x2解得：x=10故答案为：10【分析】首先找到EF的中点M，作MNAD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，则OM是16x，MF=8，然后在直角三角形MOF中利用勾股定理求得OF的长即可11.【答案】3OP5 【考点】垂径定理的应用 【解析】【解答】解：过点O作OEAB，垂足为E，连结OA.则可得当点P与点E重合时，线段OP为最短距离.点O为圆心，OEAB，AB为圆的一条弦，AE=BE.AB=8，AE=BE=4.OEAB，AE=4，OA=5，OE=3.当点P落在点A或点B处时，OP的长度最长，等于圆的半径，即
13、为5.故OP的取值范围是3OP5.12.【答案】26 【考点】垂径定理的应用 【解析】【解答】解：连接OA，ABCD， 由垂径定理知，点E是AB的中点，AE= AB=5，OE=OCCE=OACE，设半径为r，由勾股定理得，OA2=AE2+OE2=AE2+（OACE）2 ， 即r2=52+（r1）2 ， 解得：r=13，所以CD=2r=26，即圆的直径为26【分析】根据垂径定理和勾股定理求解三、解答题13.【答案】解：如图，连结OB，过点O作OEAB，垂足为E，交 于F，由垂径定理知，E是AB的中点，F是 的中点，从而EF是弓形的高.AB=4，AE= AB=2 m，EF=2 m.设半径为Rm,则
14、OE=(R-2)m.在RtAOE中,R2=(R-2)2+(2 )2.R=4.在RtAEO中，AO=2OE，OAE=30，AOE=60，AOB=120.的长为=(m).覆盖棚顶的帆布的面积为60=160(m2). 【考点】含30度角的直角三角形，勾股定理，垂径定理的应用，弧长的计算 【解析】【分析】如图，连结OB，过点O作OEAB，垂足为E，交 于F，由垂径定理知：E是AB的中点，F是 AB 的中点，从而EF是弓形的高；设半径为Rm,则OE=(R-2)m.在RtAOE中,根据勾股定理计算出半径R，再由在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半，从而得出AOB的度数，根据弧长公式即可求出弧A
15、B的长度，最后得出覆盖棚顶的帆布的面积.14.【答案】解：在直线CD上取圆心O ， 连接OA ， 设半径为r cm. 弦AB的垂直平分线交弧AB于点C ， 交弦AB于点D 在RtADO中，OA2=AD2+OD2 ， r2=42+(r-2)2 ， r=5答：破残的圆形残片的半径为5 cm. 【考点】勾股定理，垂径定理的应用 【解析】【分析】设圆的半径为r cm，根据ABCD和已知条件求出AD=AB， 在RtADO中，利用勾股定理为等量关系列方程，求出半径即可.15.【答案】解：延长CD到O，使得OC=OA，则O为圆心， 拱桥的跨度AB=24cm，拱高CD=8cm，AD=12cm，AD2=OA2（
16、OCCD）2 ， 即122=AO2（AO8）2 ， 解得AO=13cm即圆弧半径为13米答：石拱桥拱的半径为13m【考点】勾股定理，垂径定理的应用 【解析】【分析】将拱形图进行补充，构造直角三角形，利用勾股定理和垂径定理解答四、综合题16.【答案】（1）解：连接BDAB为直径，ADB=90，在RtADB中，BD= = =4 ，SADB= ADBD= ABDEADBD=ABDE，DE= = =4 ，即DE=4 ；（2）解：证明：连接OD，作OFAC于点FOFAC，AC=2AF，AD平分BAC，BAC=2BAD又BOD=2BAD，BAC=BOD，RtOED和RtAFO中， AFOOED（AAS），
17、AF=OE，AC=2AF，AC=2OE 【考点】全等三角形的判定与性质，垂径定理的应用 【解析】【分析】（1）出现直径时，连接直径的端点和圆周上的一点，构成90度圆周角，利用勾股定理和面积法可以解决；（2）过圆心向弦引垂线，由垂径定理，得平分，构造出AC的一半，再证AFOOED，可证出结论.17.【答案】（1）解：如图所示，四边形OABC即为所求作的图形 （2）； 【考点】垂径定理的应用，弧长的计算，旋转的性质，作图-旋转变换 【解析】【解答】解：（2）根据勾股定理，OC= = ， C经过的路线长= = 【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C的对应点A、B、C的位置，然后顺次连接即可；（2）先利用勾股定理求出OC的长度，再根据弧长的计算公式列式进行计算即可得解
