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1、中考数学(一元二次方程组提高练习题)压轴题训练附答案一、一元二次方程1如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB16cm，BC6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm？(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？(3)若点P沿着ABBCCD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过
2、多长时间PBQ的面积为12cm2？【答案】（1）PQ=6cm；（2）s或s；（3）经过4秒或6秒PBQ的面积为 12cm2【解析】试题分析：（1）作PECD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm在RtPEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；（3）分类讨论：当点P在AB上时；当点P在BC边上；当点P在CD边上时试题解析：（1）过点P作PECD于E则根据题意，得EQ=16-23-22=6（cm），PE=AD=6cm；在RtPEQ中，根据勾股定理，得PE2+EQ2=PQ2，即36+
3、36=PQ2，PQ=6cm；经过2s时P、Q两点之间的距离是6cm；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，16-5x=8，x1=，x2=；经过s或sP、Q两点之间的距离是10cm；（3）连接BQ设经过ys后PBQ的面积为12cm2当0y时，则PB=16-3y，PBBC=12，即（16-3y）6=12，解得y=4；当x时，BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则BPCQ=（3y-16）2y=12，解得y1=6，y2=-（舍去）；x8时，QP=CQ-PQ=22-y，则QPCB=（22-y）6=12，解得y=18（舍去）综上所述
4、，经过4秒或6秒PBQ的面积为 12cm2考点：一元二次方程的应用2解方程：x22x2x1.【答案】x12 ，x22.【解析】试题分析：根据方程，求出系数a、b、c，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据求根公式求解即可.试题解析：方程化为x24x10.b24ac(4)241(1)20，x2 ，x12 ，x22.3已知：关于的方程有两个不相等实数根（1） 用含的式子表示方程的两实数根；（2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值【答案】（I）kx2+（2k3)x+k3 = 0是关于x的一元二次方程由求根公式，得 或（II），而，由题意，有即（）解之，得经检验是方程（）的根，但，【解析】
5、（1）计算=（2k-3）2-4k（k-3）=90，再利用求根公式即可求出方程的两根即可；（2）有（1）可知方程的两根，再有条件x1x2，可知道x1和x2的数值，代入计算即可一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措施，其中规定每月用水量超过（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费元.下图反映了每月收取的水费（元）与每月用水量（吨）之间的函数关系.请你解答下列问题：4从图象来看，该函数是一个分段函数，当0xm时，是正比例函数，当xm时是一次函数【小题1】只需把x代入函数表达式，计算出y
6、的值，若与表格中的水费相等，则知收取方案5关于的方程有两个不相等的实数根求实数的取值范围；是否存在实数，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【答案】（1）且；（2）不存在符合条件的实数，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根【解析】【分析】由于方程有两个不相等的实数根，所以它的判别式，由此可以得到关于的不等式，解不等式即可求出的取值范围.首先利用根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再由方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，可以得出关于的等式，解出值，然后判断值是否在中的取值范围内.【详解】解：依题意得，又，的取值范
7、围是且；解：不存在符合条件的实数，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，理由是：设方程的两根分别为，由根与系数的关系有：，又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，由知，且，不符合题意，因此不存在符合条件的实数，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根【点睛】本题重点考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。6解方程：(x1)(x1)2x.【答案】x1，x2.【解析】试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.试题解析：(x1)(x1)2xx2-2x-1=0a=1，b=-，c=-1=b2-4ac=8+4=120x=x
8、1，x2.7已知关于x的方程x22x+m20有两个不相等的实数根(1)求m的取值范围；(2)如果m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值【答案】(1)m3；(2)m2【解析】【分析】（1）根据题意得出0，代入求出即可；（2）求出m=1或2，代入后求出方程的解，即可得出答案【详解】（1）方程有两个不相等的实数根44(m2)0m3；（2）m3 且 m为正整数，m1或2当 m1时，原方程为 x22x10它的根不是整数，不符合题意，舍去；当 m2时，原方程为 x22x0x(x2)0x10，x22符合题意综上所述，m2【点睛】本题考查了根的判别式和解一元二次方程，能根据题意求出m的值和m的范围是解此题
9、的关键8关于x的一元二次方程x22x(n1)0有两个不相等的实数根(1)求n的取值范围；(2)若n为取值范围内的最小整数，求此方程的根【答案】(1)n0；(2)x10，x22【解析】【分析】(1)根据方程有两个不相等的实数根可知 ，即可求出 的取值范围；（2）根据题意得出 的值，将其代入方程，即可求得答案.【详解】(1)根据题意知， 解之得：；(2) 且为取值范围内的最小整数，则方程为，即，解得【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，明确和掌握一元二次方程 的根与的关系（当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根）是解题关键.9淘宝网举办“双十一
10、”购物活动许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动甲网店销售的A商品的成本为30元/件，网上标价为80元/件（1）“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售A商品吸引顾客，问该店平均每次降价率为多少时，才能使A商品的售价为39.2元/件？（2）据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天先提高商品的网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为“双十一”活动之前，乙网店销售A商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出1000件A商品在“双十一”购物活动当天，乙网店先将A商品的网上标价提高a%，再推出五折促销活动，吸引了大量顾客，乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A商品数量相比原来一
11、周增加了2a%，“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3万元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价【答案】（1）平均每次降价率为30%，才能使这件A商品的售价为39.2元；（2）乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元【解析】【分析】（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品的售价为39.2元，根据原标价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）根据总利润每件的利润销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出a的值，再将其代入80（1+a%）中即可求出结论【详解】（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品的售价为3
12、9.2元，根据题意得：80（1x）239.2，解得：x10.330%，x21.7（不合题意，舍去）答：平均每次降价率为30%，才能使这件A商品的售价为39.2元（2）根据题意得：0.580（1+a%）301000（1+2a%）30000，整理得：a2+75a25000，解得：a125，a2100（不合题意，舍去），80（1+a%）80（1+25%）100答：乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键10已知关于x的一元二次方程x2mx20（1）若x1是方程的一个根，求m的值和方程的另一根；（2）对于任意实
13、数m，判断方程的根的情况，并说明理由【答案】（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析.【解析】试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式与0的关系进行判断(1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=12-2=0另一根是2；(2)，方程有两个不相等的实数根考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根11
14、已知关于x的方程（x-3）(x-2)-p2=0.（1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=3 x1x2，求实数p的值.【答案】（1）详见解析；（2）p=1.【解析】【分析】（1）先把方程化成一般形式，再计算根的判别式，判定0，即可得到总有两个不相等的实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得两根和与两根积，再把变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于p的一元二次方程，解方程即可求解【详解】证明：（1）（x3）（x2）p2=0，x25x+6p2=0，=（5）241（6p2）=2524+4p2=1+4p2，无论
15、p取何值时，总有4p20，1+4p20，无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）x1+x2=5，x1x2=6p2，（x1+x2）22x1x2=3x1x2，52=5（6p2），p=1考点：根的判别式；根与系数的关系12“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，按此规律，求图10、图n有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是61=6个；图2中黑点个数是62=12个：图3中黑点个数是63=18个；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是 、 请你参考以
16、上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：（1）第5个点阵中有 个圆圈；第n个点阵中有 个圆圈（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵【答案】60个，6n个；（1）61；3n23n+1，（2）小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵【解析】分析：根据规律求得图10中黑点个数是610=60个；图n中黑点个数是6n个；（1）第2个图中2为一块，分为3块，余1，第2个图中3为一块，分为6块，余1；按此规律得：第5个点阵中5为一块，分为12块，余1，得第n个点阵中有：n3（n1）+1=3n23n+1，（2）代入271，列方程，方程有解则存在这样的点
17、阵详解：图10中黑点个数是610=60个；图n中黑点个数是6n个，故答案为：60个，6n个；（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，第2个点阵中有：23+1=7个，第3个点阵中有：36+1=17个，第4个点阵中有：49+1=37个，第5个点阵中有：512+1=60个，第n个点阵中有：n3（n1）+1=3n23n+1，故答案为：60，3n23n+1；（2）3n23n+1=271，n2n90=0，（n10）（n+9）=0，n1=10，n2=9（舍），小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵点睛：本题是图形类的规律题，采用“分块计数”的方法解决问题，仔细观察图形，根据图形中圆圈的个数恰当地分块是关键
18、13已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2=0有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，当k=1时，求x12+x22的值【答案】（1）k；（2）7【解析】【分析】（1）由方程根的判别式可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围；（2）由根与系数的关系，可求x1+x2=-3，x1x2=1，代入求值即可【详解】（1）方程有两个不相等的实数根，即，解得；（2）当时，方程为，.【点睛】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键14某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售
19、量（单位：件）是关于时间（单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表：时间/天131020日销售量/件98948060这20天中，该产品每天的价格（单位：元/件）与时间的函数关系式为：（为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：（1）直接写出关于的函数关系式；（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠元（）给希望工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间的增大而增大，求的取值范围.【答案】（1）；（2）在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元；（3）.【解析】【分析】（1）从表格可看出每天
20、比前一天少销售2件，即可确定一次函数关系式；（2）根据日利润=日销售量每件利润列出函数解析式，然后根据函数性质求最大值，即可确定答案；（3）根据20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a的取值范围【详解】（1）设该函数的解析式为:m=kx+b由题意得: 解得:k=-2,b=100关于的函数关系式为:.（2）设前20天日销售利润为元，由题意可知，当时，.在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元.（3）由题意得：，对称轴为：，每天扣除捐赠后的日销利润随时间的增大而增大，且，.【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，掌握解决最值问题的方法是解答本题的
21、关键.15阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式。求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解：求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解。求解分式方程，把它转化为整式方程来解。各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想-转化，把未知转化为已知。用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程。例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解。（1）问题：方程的解是，_，_。（2）拓展：用“转化”思想求方程的解。（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长，宽，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿
22、草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C。求AP的长。【答案】（1）2，-1; （2）1，3 ; （3）3m.【解析】【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论；（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，验根即可；（3）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解即可.【详解】（1）x3-x2-2x=0，x（x2-x-2）=0，x（x-2）（x+1）=0所以x=0或x-2=0或x+1=0x1=0，x2=2，x3=-
23、1；故答案为： 2，-1；（2）方程的两边平方，得4x-3=x2即x2-4x+3=0（x-3）（x-1）=0x-3=0或x-1=0x1=3，x2=1，当x=3或1时,有意义，故是方程的解.（3）因为四边形ABCD是矩形，所以A=D=90，AB=CD=4m,设AP=xm，则PD=（6-x）m因为BP+CP=10，BP=,CP= ,所以=10-两边平方，得16+(6-x)2=100-20+x2+16整理，得3x+16=5,两边平方并整理，得x2-6x+9=0即（x-3）2=0所以x=3经检验，x=3是方程的解答：AP的长为3m【点睛】考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法解无理方程是注意到验根解决（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键
