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1、高中数学相关定理、公式及结论证明 一、三角函数部分1.正弦定理证明内容：在中，分别为角的对边，则证明： abDABC1.利用三角形的高证明正弦定理（1）当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据锐角三角函数的定义，有。 由此，得 ，同理可得 ， 故有 .ABCDba从而这个结论在锐角三角形中成立.（2）当ABC是钝角三角形时，过点C作AB边上的高，交AB的延长线于点D，根据锐角三角函数的定义，有， 。由此，得 ，同理可得 故有 .（3）在中， 由(1)(2)（3）可知，在ABC中， 成立.2.外接圆证明正弦定理在ABC中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作ABC的外接圆,O为圆心,连
2、结BO并延长交圆于B,设BB=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到BAB=90，C =B，sinC=sinB=. 同理,可得.3.向量法证明正弦定理 同理 故有 .2.余弦定理证明内容：在中，分别为角的对边，则证明：如图在中， 同理可证： 所以3.两角和（差）的余弦公式证明如图在单位圆中设P（cos,sin）,Q（cos,sin）则： 在单位圆中设P（cos,sin）,Q（cos,-sin）则： （或）4.两角和（差）的正弦公式证明二、两角和（差）的正弦公式证明。内容：证明： 5两角和（差）的正切公式证明内容：，证明：6半角公式证明内容：证明：由二倍角公式用代替，
3、得，得，7.诱导公式公式： 如图：设的终边与单位圆（半径为单位长度1的园）交于点P(x，y)，则角-的终边与单位圆的交点必为P(x，-y)由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin=y， cos=x, sin(-)=-y, cos(-)=x, 所以：sin(-)= -sin, cos(-)= cos由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的-诱导公式。 公式： 它刻画了角180+与角的正弦值（或余弦值）之间的关系，这个关系是：以角终边的反向延长线 为终边的角的正弦值（或余弦值）与角的正弦值（或圆交于点P( x，y)，则角终边的反向延长线，即180+角的终边与单位圆的交点必为P(-x，-y)（如图4-
4、5-1）由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin=y，cos=x, sin(180+)=-y,cos(180+)=-x, 所以 :sin(180+)=-sin，cos(180+)=-cos由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的诱导公式。相应诱导公式公式一： 设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2k+）=sin kz cos（2k+）=cos kz tan（2k+）=tan kz 公式二：sin（+）=sin cos（+）=cos tan（+）=tan 公式三：sin（）=sin公式四： 利用公式二和公式三可以得到-与的三角函数值之间的关系： sin（）=sin cos（）
5、=cos tan（）=tan公式五： 利用公式一和公式三可以得到2-与的三角函数值之间的关系： sin（2）=sin cos（2）=cos tan（2）=tan 公式六： /2与的三角函数值之间的关系： sin（/2+）=cos cos（/2+）=sin tan（/2+）=cot sin（/2）=cos cos（/2）=sin tan（/2）=cot 二.数列部分1等差数列前项和公式证明内容：是等差数列，公差为，首项为，为其前项和，则证明：由题意， 反过来可写为：+得：2所以，把代入中，得2等比数列前项和公式证明内容：是等比数列，公比为，首项为，为其前项和，则=证明： 得：，当时，把代入中，得
6、当时。很明显所以，=三.立体几何部分1.三垂线定理及其逆定理内容：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 证明：已知：如图（9），直线与平面相交与点A，在上的射影OA垂直于 求证： 证明： 过P作PO垂直于PO PO 又OA ，POOA=O平面POA 2.求证：如果一条直线与一个平面平行,那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行. 3.求证：如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行. 4.求证：如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 5.求证：如果两条直线同垂直于一个平
7、面,那么这两条直线平行. 四、解析几何部分 1.点到直线距离公式证明内容：已知直线直线外一点则其到直线的距离为。向量法证明1：设直线直线外一点直线上一点可得直线的一个方向向量为设其法向量为则，可得直线一法向量为的单位向量为 由题意，点到直线的距离为在上的射影，所以，因为点在直线上，所以所以，把代入中，得证明2：设直线的一个法向量，Q直线上任意一点，证明3：根据定义，点P到直线 的距离是点P到直线 的垂线段的长，如图1，设点P到直线的垂线为 ，垂足为Q，由 可知 的斜率为 的方程：与联立方程组解得交点 五、平面向量部分1.平行向量定理内容：若两个向量（与坐标轴不平行）平行，则它们相应的坐标成比例
8、；若两个向量相对应的坐标成比例，则两向量平行。证明：设是非零向量，且若，则存在实数使，且由平面向量基本定理可知， 得：若（即向量不与坐标轴平行）则2.平面向量基本定理内容：如果是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意一向量，存在唯一一对实数，使得证明：如图过平面内一点O，作，过点C分别作直线OA和直线OB的平行线，交OA于点M，交OB于点N，有且只有一组实数，使得 即3.共线向量定理内容：如图A,B,C为平面内的三点，且A,B不重合，点P为平面内任一点，若C在直线AB上，则有证明：由题意，与共线， 化简为：六、柯西不等式若a、b、c、d为实数，则或 证法：（综合法） . 证法：（向量法）设向量，则，. ，且，则. 七、函数和导数部分换底公式证明内容：证明：设，则
