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1、有关天体运动题型的归纳与研究一、 基本问题例题：某人造卫星距地面h，地球半径为R，质量为M，地面重力加速度为g，引力常量为G。（1） 分别用h,R,M,G表示卫星周期T，线速度v，角速度w （2） 分别用h,R,g表示卫星周期T，线速度v，角速度w解：（1）根据向心力来自万有引力得： 得，（2） 卫星在地球表面上受的万有引力近似等于mg，由得到代入得： ， 二、 密度问题例题：宇宙中某星体每隔4.410-4s就向地球发出一次电磁波脉冲。有人曾经乐观地认为，这是外星人向我们地球人发出的联络信号，而天文学家否定了这种观点，认为该星体上有一个能连续发出电磁波的发射源，由于星体围绕自转轴高速旋转，才使
2、得地球上接收到的电磁波是不连续的。试估算该星体的最小密度（结果保留两位有效数字）解：接受电磁波脉冲的间隔时间即是该星体自转的最大周期，星体表面物体不脱离星体时满足： 而 求得 代入已知数据得：三、 双星问题例题：现根据对某一双星系统的光学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动。万有引力常量为G。求： （1）试计算该双星系统的运动周期T。 （2）若实验上观测到运动周期为T，且，为了解释两者的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的物质暗物质，作为一种简化的模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗
3、物质，而不考虑其他暗物质的影响，试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。解：（1）由万有引力提供向心力有： （2）设暗物的密度为，质量为m，则 由万有引力提供向心力有： 由 又代入上式解得：四、 神州问题ABr2例题：随着我国“神舟五号”宇宙飞船的发射和回收成功。标志着我国的航天技术已达到世界先进水平。如图所示，质量为m的飞船绕地球在圆轨道上运行时，半径为r1，要进入半径为r2的更高的圆轨道，必须先加速进入一个椭圆轨道，然后再进入圆轨道。已知飞船在圆轨道上运动速度大小为，在A点通过发动机向后以速度大小为u（对地）喷出一定质量气体，使飞船速度增加到v进入椭圆轨道。（已知量为：m
4、、r1、r2、vu）求：飞船在轨道I上的速度和加速度大小。发动机喷出气体的质量m。 解：（1）在轨道I上，有 解得： 同理在轨道II上 由此得： 在轨道I上向心加速度为a1,则有 同理在轨道II上向心加速度a=,则有 由此得 (2)设喷出气体的质量为,由动量守恒得 得: 五、 自转问题例题：假设某星体是一个半径为R的均匀球体，已知星体的自转周期为T，在两极地表面自由落体加速度为g。求：（1）用弹簧秤在星球表面“两极”与“赤道”不同地点测同一物体的“重量”之比。（2）设想星体自转角速度加快到某一值时，在赤道上的物体会恰好自动飘起来，则此时角速度为多少？解：设质量为m的物体在星体表面受万有引力为F
5、，两极和赤道重量分别为F1,F2 （1）在两极：F=mg F1=F F1=mg 在赤道： （2）得六、 追赶问题例题：科学家在地球轨道外侧发现了一颗绕太阳运行的小行星，经过观测该小行星每隔时间t与地球相遇一次，已知地球绕太阳公转半径是R，周期是T，设地球和小行星都是圆轨道，求小行星与地球的最近距离。解：设小行星绕太阳周期为T/，T/T,地球和小行星每隔时间t相遇一次，则有 ， 设小行星绕太阳轨道半径为R/,万有引力提供向心力有 同理对于地球绕太阳运动也有 由上面两式有 所以当地球和小行星最近时 七、 科技信息类问题例题：2004年，我国现代版的“嫦娥奔月”正式开演，力争2006年12月正式发射
6、。媒体曾报道从卫星图片和美、苏（原苏联）两国勘测结果证明，在月球的永暗面存在着大量常年以固态形式蕴藏的水冰。但根据天文观测，月球半径为R=1738km，月球表面的重力加速度约为地球表面的重力加速度的1/6，月球表面在阳光照射下的温度可达127，此时水蒸气分子的平均速度达到v0=2000m/s。试分析月球表面没有水的原因。（取地球表面的重力加速度g=9.8m/s2）（要求至少两种方法） 解法1：假定月球表面有水，则这些水在127时达到的平均速度v0=2000m/s必须小于月球表面的第一宇宙速度，否则这些水将不会降落回月球表面，导致月球表面无水。取质量为m的某水分子，因为GMm/R2=mv12/R
7、2，mg月=GMm/R2，g月=g/6，所以代入数据解得v1=1700m/s，v1v0，即这些水分子会象卫星一样绕月球转动而不落到月球表面，使月球表面无水。解法2：设v0=2000m/s为月球的第一宇宙速度，计算水分子绕月球的运行半径R1，如果R1R，则月球表面无水。取质量为m的某水分子，因为GMm/R12=mv02/R12，mg月=GMm/R12，g月=g/6，所以R1=v02/g月=2.449106m，R1R，即以2000m/s的速度运行的水分子不在月球表面，也即月球表面无水。解法3：假定月球表面有水，则这些水所受到的月球的引力必须足以提供水蒸气分子在月球表面所受到的向心力，即应满足：mg
8、月GMm/R2，当v=v0=2000m/s时，g月v02/R=2.30m/s2，而现在月球表面的重力加速度仅为g/6=1.63m/s2，所以水分子在月球表面所受的重力不足以提供2000m/s所对应的向心力，也即月球表面无水。解法4：假定有水，则这些水所受到的月球的引力必须足以提供水蒸气分子在月球表面所受到的向心力，即应满足：mg月GMm/R2，即应有g月Rv2而实际上：g月R=2.84106m2/s2，v02=4106m2/s2，所以v02g月R即以2000m/s的速度运行的水分子不能存在于月球表面，也即月球表面无水。八、 超重与失重问题例题：某物体在地面上的重力为160N，现将它放置在卫星中
9、，在卫星以加速度a=0.5g随火箭加速上升的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互挤压力为90N时，求此时卫星距地球表面有多远？（地球半径R=6400km,重力加速度g取10m/s2）解：因为卫星在加速上升的过程中，卫星内的物体与卫星的相互挤压力小于其地面上重力，故应该考虑由于高度的变化而引起的重力加速度的变化。 设此时火箭离地球表面的高度为h，火箭受到物体的压力为FN，物体受到的重力为mg，由牛顿第二定律得： FN- mg=ma 在h高处： 在地球表面处： 得：九、 卫星的发射与回收例题：发射地球同步卫星时，可认为先将卫星发射至距地面高度为h1的圆形近地轨道上，在卫星经过A点时点火（喷气发动机
10、工作）实施变轨进入椭圆轨道，椭圆轨道的近地点为A，远地点为B。在卫星沿椭圆轨道（远地点B在同步轨道上），如图14所示。两次点火过程都使卫星沿切向方向加速，并且点火时间很短。已知同步卫星的运动周期为T，地球的半径为R，地球表面重力加速度为g，求： （1）卫星在近地圆形轨道运行接近A点时的加速度大小； （2）卫星同步轨道距地面的高度。解：（1）设地球质量为M，卫星质量为m，万有引力常量为G、卫星在近地圆轨道运动接近A点时的加速度为，根据牛顿第二定律物体在地球表面上受到的万有引力等于重力解得（2）设同步轨道距地面高度h2，根据牛顿第二定律有由上式解得：十、 综合问题例题：宇宙员在月球表面完成下面实验
11、：在一固定的竖直光滑圆弧轨道内部最低点静止一质量为m的小球（可视为质点）如图所示，当施加给小球一瞬间水平冲量I时，刚好能使小球在竖直面内做完整圆周运动.已知圆弧轨道半径为，月球的半径为R，万有引力常量为G. 若在月球表面上发射一颗环月卫星，所需最小发射速度为多大？轨道半径为2R的环月卫星周期为多大？解：设月球表面重力加速度为g，月球质量为M.在圆孤最低点对小球有：I=mv0球刚好完成圆周运动，小球在最高点有从最低点至最高低点有：由可得在月球发射卫星的最小速度为月球第一宇宙速度当环月卫星轨道半径为2R时，有（2分）将黄金代换式GM=gR2代入式归纳与总结：基本思路：1、万有引力提供向心力设圆周中心的天体（中心天体）的质量为M，半径为R；作圆周运动的天体（卫星）的质量为m，轨道半径为r，线速度为v，角速度为w,周期为T，引力常量为G。则应有：（g表示轨道处的重力加速度）2、在中心天体表面或附近，万有引力近似等于重力 (g0表示天体表面的重力加速度)注意：在研究卫星的问题中，若已知中心天体表面的重力加速度g0时，常运用GM=g0R2作为桥梁，可以把“地上”和“天上”联系起来。由于这种代换的作用巨大，此时通常称为黄金代换式。天体的运动规律：1、 由可得： r越大，v越小2、 由可得：，r越大，w越小3、 由可得：，r越大，T越大4、 由可得：，r越大，a越小
