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1、非线性目标函数的最值问题一、单选题1若实数x,y满足不等式组x-2y+10yxx0，则x2+y2的取值范围为A 12,2 B 0,2C 14,2 D 0,2【答案】D画出不等式组表示的平面区域如图2中阴影部分所示，x2+y2的几何意义是阴影部分内的点到原点(0,0)的距离的平方，显然(x2+y2)min=0，由x-2y+1=0y=x可得A(1,1)，则(x2+y2)max=12+ 12=2，故x2+y2的取值范围为0,2故选D【点睛】2已知变量x,y满足x-2y+20x+y-20x0,y0,x+2y2,则z=x2+y2的取值范围是（ ）A 4,16 B 45,4 C 2,16 D 45,16【
2、答案】D由约束条件x0,y0,x+2y2,作出可行域如图，z=x2+y2=(x-0)2+(y-0)2)2 表示原点（0，0）到阴影区域的距离的平方，zmin是原点（0，0）到x+2y-2=0 的距离的平方，则zmin(25)245 ，zma x是原点（0，0）到点（4，0）的距离的平方，则zmax4216 ，z的取值范围是45,16，故选：D7若实数x,y满足不等式组x+y-10x-y+102x+y-40，则目标函数z=x-y+2x-3的最大值是（ ）A 1 B -13 C -12 D 35【答案】B【、详解：画出约束条件x+y-10x-y+102x+y-40表示的可行域，如图，由x-y+1=
3、0x+y-1=0可得x=0y=1，即P0,1，将z=x-y+2x-3形为z=1-y-5x-3，y-5x-3表示可行域内的点与A3,5连线的斜率，由图知kPA最小，z最大最大值为z=0-1+20-3=-13，故答案为-13.故选B.8已知实数x，y满足2x-y+20x-2y+10x+y-20，则z=(x-1)2+(y+1)2的取值范围为（ ）A 2,10 B 455,10 C 165,10 D 4,10【答案】C画出不等式组2x-y+20x-2y+10x+y-20表示的可行域，如图阴影部分所示由题意得，目标函数z=x-12+y-12，可看作可行域内的点x,y与P1,-1的距离的平方结合图形可得，
4、点P1,-1到直线x-2y+1=0的距离的平方，就是可行域内的点与P1,-1的距离的平方的最小值，且为-1-2-11+222=165，点P1,-1到C0,2距离的平方，就是可行域内的点与P1,-1的距离的平方的最大值，为1+32=10，所以z=(x-1)2+(y+1)2的取值范围为165,10故选C9已知动点Px,y满足：2x+y4x02x+3y2-y+3-x，则x2+y2+4y的最小值为（ ）A 2 B 2-4 C 1 D 2【答案】D根据指数函数的性质，由2x+3y2-y+3-x可得x-y，即x+y0，动点Px,y满足：2x+y4x0x+y0，该不等式组表示的平面区域如图：设x2+y2+4
5、y=z， x2+y+22=z+4，z+4表示以0,-2为圆心的圆的半径，由图形可以看出，当圆与直线x+y=0相切时半径最小，则r=|0-2|2=2，z+4=2，解得z=-2，即x2+y2+4y的最小值为-2.故选：D.10若x，y满足x3，x+y2，yx，则y+1x的最大值为（）A 0 B 2 C 43 D 1【答案】B画出目标函数可行域如上图所示，目标函数y+1x即为（x，y）点（0，-1）连线斜率的取值，所以在点B处取得最优解联立直线方程解得B（1，1）所以y+1x=1+11=2 所以选B11若变量x，y满足约束条件y2xx+y1x1，则x+yx+1的取值范围是（ ）A -12,12 B
6、12,32C (-,-1212,+) D (-,1232,+)【答案】B详解：x+yx+1=x+1+y-1x+1=1+y-1x+1 ，原式表示可行域内的点x,y 与-1,1 连线的斜率加1。由不等式组成的可行域可表示为：由图可知，斜率最小值为kAQ=1-0-1-1=-12 斜率最大值为kAP=1-2-1-1=12 所以斜率的取值范围为-12,12 所以x+yx+112,32所以选B12若实数x、y满足(x+2)2+y2=3，则yx的最大值为（ ）A 3 B -3 C 33 D -33【答案】A实数x、y满足(x+2)2+y2=3圆心为(-2,0)，半径为3令yx=k，即kx-y=0.圆心到直线
7、的距离为d=-2kk2+13-3k3k的最大值为3故选A.13已知实数x,y满足x+y-40y-30x-y0，则z=log13yx的取值范围是（ ）A 0,1 B -1,0 C 13,1 D -13,0【答案】A yx表示区域中的动点Dx,y与O0,0连线的斜率，故13yx1，故0log13yx1，故选A14已知实数x，y满足x-2y-40y+10y-lnx0，则z=x+y+1x的最大值是（ ）A 1 B 2 C 3 D 4【答案】B详解：作出可行域，如图阴影部分（含边界），z=x+y+1x=1+y+1x，其中y+1x表示可行域内的点(x,y)与定点P(0,-1)连线的斜率，由y=lnx得y=
8、1x，设切点为(x0,y0)，则切线1x0=y0+1x0，解得y0=0，x0=1，即切点为(1,0)，这P点的切线斜率为1，即y+1x的最大值为1，z的最大值为1+1=2故选B15已知x,y满足约束条件x-20x+y62x-y6，则目标函数z=4y+4x+2的最大值为( )A 2 B 6 C 5 D 1【答案】C详解：由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数z=4y+4x+2=4y+1x+2，目标函数的几何意义是可行域内的点与(-2,-1)斜率的4倍，由题意可知D的斜率最大，由x-2=0x+y=6，可得A(2,4)，则目标函数z=4y+4x+2的最大值为44+44+2=5，故选
9、C.式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义，着重考查了考生的数形结合思想和推理、计算能力. 二、填空题16已知实数x,y满足约束条件x-y0x+y-40y1 ，则z=12-2x+y 的最小值为_ 【答案】2作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，设z1=-2x+y，则y=2x+z，结合图象，把直线y=2x+z平移到点A时，目标函数z1=-2x+y取得最大值，又由x-y=0y=1，解得A(1,1)，所以目标函数z1=-2x+y的最大值z1=-1，此时函数z=(12)-2x+y的最小值为z=(12)-1=2.【
10、点睛】17已知实数x,y满足yxx+y1y-1,则函数z=4x2y的最大值为_。【答案】32先作可行域，则t=2x-y过点A(2,-1)时t取最大值5，也即z=22x-y取最大值32.【点睛】18已知实数x，y满足x-y+20x+y-402x-y-50，则（1）z=|x+2y-4|的最大值为_；（2）z=x2+y2-10y+25的最小值为_；（3）z=2y+1x+1的取值范围为_【答案】2192 34,72【分析】作出约束条件所表示的可行域，（1）可知可行域内各点均在直线x+2y-4=0的上方，把作出约束条件x-y+20x+y-402x-y-50表示的可行域，如下图中阴影部分所示：可求得顶点的
11、坐标为A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)（1）易知可行域内各点均在直线x+2y-4=0的上方，故x+2y-40，z=|x+2y-4|表示点(x,y)到直线x+2y-4=0的距离的5倍，将点C(7,9)代入可得z的最大值为21（2）z=x2+y2-10y+25=x2+(y-5)2表示可行域内任一点(x,y)到定点M(0,5)的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值是MN2=92（3）z=2y-(-12)x-(-1)表示可行域内任一点(x,y)与定点Q(-1,-12)连线的斜率的两倍，而kQA=74，kQB=38，故z的取值范围为34,72三、解答题19设实数
12、x、y满足约束条件x-y+20，x+y-40，2x-y-50.（1）求z1=x2+y2的最小值；（2）求z2=y+1x+1的取值范围。（1）可行域如图所示。Z1的几何意义是原点到可行域内点距离的平方，原点到直线x+y-4=0的距离d=0+0-412+12=22 ，由图可知，原点到可行域内点的距离的最小值即是原点到直线x+y-4=0的距离22，所以Z1的最小值是8 ，（2）Z2的几何意义是点（-1，-1）到可行域内点连线的斜率联立x+y-4=0x-y+1=0解得A(1,3)，联立x+y-4=02x-y-5=0解得B(3,1) ，如图，过A点时斜率Z2有最大值，Z2=3+11+1=2 ，如图，过B
13、点时斜率Z2有最小值，Z2=1+13+1=12 ，所以所求取值范围是12，2。20若变量x,y满足约束条件x+y-203x-y6x-y0，求：（1）z=x-2y+3 的最大值；（2）z=y+2x+3 的取值范围；（3）z=x2+y2-2x-y+1 的取值范围作出可行域，如图阴影部分所示 由 x+y-2=03x-y=6 x=2y=0 即A(2,0) 由 x+y-2=0x-y=0 x=1y=1 即B(1,1) 由 3x-y=6x-y=0 x=3y=3 即C(1,1) (1)如图可知 z=x-2y+3，在点A(2,0)处取得最优解，zmax=5； (2) z=y+2x+3，可看作(x,y)与(-3,
14、-2)取的斜率的范围， 在点A(2,0)，C(3,3)处取得最优解，zmin=0+22+3=5，zmax=3+23+3=56所以z25,56 (3)z=x2+y2-2x-y+1=(x-1)2+(y-12)2-14(x-1)2+(y-12)2 可看作(x,y)与(1,12)距离的平方，如图可知 dmin=1+12-22=122所以zmin=d2min-14=18-14=-18 在点C(3,3)处取得最大值，zmax=(3-1)2+(3-12)2-14=10所以z-18,1021若x，y满足约束条件x+y1x-y-12x-y2.（1）求目标函数z=x-2y+1的最值；（2）求目标函数z=x+12+y-522的最值.画出约束条件x+y1x-y-12x-y2表示的可行域如图所示，（1）z=x-2y+1=5x-2y+15的几何意义为可行域内的点到直线x-2y+1=0的距离的5倍.由x-y=-12x-y=2解得A3,4.由图可知，z的最大值为点A3,4到直线x-2y+1=0的距离的5倍，即为4；易知最小值为0.（2）z=x+12+y-522的几何意义为可行域内的点到点M-1,52的距离的平方.由图可知，点A3,4到点M-1,52的距离的平方即为最大值，为734；最小值是点M-1,52到直线x-y+1=0的距离的平方，为258.所以z的最大值为734，最小值为258.
