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1、 研究生课程考核试卷（适用于课程论文、提交报告）科 目： 齿轮啮合原理 教 师： 林超 姓 名： 张清亮 学 号： 20150713090 专 业： 车辆工程 类 别： 车辆工程领域 上课时间： 2015 年 9 月至2015 年 11 月 考 生 成 绩：卷面成绩平时成绩课程综合成绩阅卷评语： 阅卷教师 (签名) 重庆大学研究生院制一、 基本概念（每题2分，共计20分）1、解释齿廓渐屈线？答：一条给定齿廓曲线的渐屈线是该齿廓曲线曲率中心的轨迹，也是该齿廓曲线密切圆圆心的轨迹（图1.1）。齿廓曲线每一点的法线都和其渐屈线相切，因此，齿廓渐屈线也是齿廓法线族的包络。 在齿轮的瞬心线给出的情况下（
2、图1.2），齿轮齿廓的渐屈线可由确定，式中为齿廓渐屈线的径矢，为瞬心线的径矢。的模由下式确定： 式中。在图1.10的直角坐标系中，齿廓的渐屈线方程为： 图1.1 齿廓的渐屈线 图1.2 齿廓渐屈线坐标系 本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论M. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008. 2、解释平面曲线的曲率？ 答：在图1.3中，用表示曲线的弧长。考察曲线上分别与和对应的两个相邻的点和，图1.3(a)。点和之间的弧长，而是点和处的两条切线之间的夹角。当点趋近于点时，比值的极限称为曲线在点处的曲率（标记为），即。在存在的条件下，。比值称为曲线在点处的曲率
3、半径（标记为），即，且。这里的是极限（密切）圆的半径，极限圆是当两个相邻点和趋近于点时通过点和该两个相邻点画出的，图1.3(b)。圆心称为曲率中心。图1.3 齿轮的瞬时回转轴 本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论M. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008. 3、解释齿轮的瞬时回转轴？ 答：在平行轴或相交轴的齿轮副中，两齿轮作相对的瞬时回转运动的轴线，称为瞬时回转轴。在交错轴齿轮副中，两齿轮作相对的瞬时螺旋运动的轴线，也称为瞬时回转轴。如图1.4。图1.4 齿轮的瞬时回转轴 本题参考文献：减速机信息网. 齿轮基本术语一般定义（GB/T3374-92）E
4、B/OL. 4、解释齿轮的瞬轴面？ 答：图1.5表示回转运动在两个相交轴之间进行传递，两轴线和构成夹角。两齿轮朝相反的方向转动，瞬时回转轴线是齿轮1对齿轮2（或齿轮2对齿轮1）相对运动中的角速度的作用线，相对于两齿轮轴线的方向用角和来确定。瞬时回转轴在与回转齿轮刚性固接的动参考标架中的轨迹构成瞬轴面。在两相交轴之间的回转运动进行传递的情况下，瞬轴面是两个顶角为和的圆锥。 图1.6中，两个构件分别以角速度和绕两个相错轴转动，转动轴线构成相错角，两轴线之间的最短距离为。当构件1和2转动时，螺旋运动的瞬时轴线在参考标架1和2中将形成两个曲面回转双曲面。这样的曲面是在两相错轴之间传递回转运动情况下的瞬
5、轴面，此时的瞬轴面是螺旋运动瞬时轴线在坐标系中形成的轨迹。 图1.5 瞬轴面：两相交轴之间的回转运动 图1.6 瞬轴面：两相错轴之间的回转运动 本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论M. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.5、解释共轭齿形？答：在图1.7中、是两齿轮的瞬心线，1、2则是相应的一对齿形。齿轮传动过程中，两瞬心线作相对的纯滚动，两齿形则应时时保持相切接触（有相对滑动），它们常称为互相共轭的齿形或共轭齿形。 共轭齿形在传动的任一瞬时，它们在接触点的公法线必然通过该瞬时的瞬心点P。P点在联心线上，而。当传动比是常值时，P点在联心线上的位置是
6、固定的，因此，共轭齿形在接触点的公法线是通过一个定点（节点）P的。图1.7 共轭齿形 本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论M. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008. 6、解释短程线和曲面挠率？答：如果曲线在其任一点M的主法线与曲面在点M的法线重合，或者曲面上的线是直线，则曲面上这样的线是短程。从这个定义得出，短程线在其任一点处的短程曲率等于零。 曲面的挠率可以解释为当一点沿短程线运动时，曲面的法面（该法面是通过短程线的切线引出的）进行扭转的程度。曲面的挠率对于在曲面的点M彼此处于相切的整个曲线集合都是相同的。这些曲线中的一条是短程线，该线对于所考察
7、的公共单位切线矢量是唯一的。这样，短程线的曲线挠率和任意一条与短程线相切的曲面曲线的曲面挠率是相同的。 本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论M. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008. 7、解释啮合面？ 答：配对曲面和（图1.8）在每一个瞬时彼此沿着一条线相接触，该线称作瞬时接触线或者特征线。齿轮齿面上瞬时接触线的位置决定于运动参数。而啮合面是表示在与机架刚性固定坐标系中的瞬时接触线族。啮合面用如下方程表示：。式中，这里，矩阵描述到的坐标变换。图1.8 齿面上的瞬时接触线 本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论M. 国楷, 叶凌云, 范琳等,
8、译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008. 8、解释不产生根切条件？ 答：假定曲面1是用来加工齿轮齿面2的刀具齿面。曲面2上出现奇异点是齿面在加工过程中可能产生根切的一种警告。在加工过程中所出现的曲面2上的奇异性的数学解释，可以用方程来说明，从该式可导出方程 和啮合方程的微分式 从而使我们在曲面1上确定出这样一条曲线L，该线将形成曲面2上的奇异点。我们用曲线L限定曲面1，可以避免在曲面2上出现奇异点，从而不产生根切。 本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论M. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008. 9、解释曲面族的包络存在的必要条件？ 答：微分几
9、何中提出的解法是用下列方程 给出包络面2存在的必要条件。 该方程将曲面1的曲线坐标和广义运动参数加以联系。该方程是曲面族包络存在的必要条件。如果这个方程得到满足，并且包络确实存在的话，则包络在中可以用联立方程和方程来表示。这两个方程用三个相关的曲面参数来表示包络。 本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论M. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008. 10、写出Euler的方程式？ 答：Euler方程建立了曲面的法曲率和主曲率之间的关系，并且表示为。式中是由矢量和单位矢量构成的夹角（图1.9）。矢量表示在曲面的切面上选取的方向，而是曲面在这个方向上的法曲率
10、。单位矢量和沿着两个主方向，而和是主曲率。图1.9 矢量的分解 本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论M. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008. 二、 分析曲线和曲面（16分）要求：自选曲线及曲面公式，采用微分几何理论，结合数学软件的方法；1） 自选曲线，并对曲线进行分析（建立坐标系、详细说明、作图分析及列出程序）。答：对外摆线进行绘制。 外摆线是所有形式为的曲线，其中n为正实数。Matlab程序：t=0:pi/100:2*pi;a=20;b=2;x=(a+b)*cos(t)-b*cos(a+b)*t/b);y=(a+b)*sin(t)-b*sin(
11、a+b)*t/b);plot(x,y);axis equal;图形：图2.1 外摆线 本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论M. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.2） 自选曲面，并对曲面进行分析（建立坐标系、详细说明、作图分析及列出程序）。答：本题将对阿基米德螺旋面进行绘制 定义：动直线以恒定的角度与一条固定的直线（轴线）相交，并沿此轴线方向作等速移动时，又绕此轴线作等角速的旋转运动；此动直线在固定空间内的运动轨迹。 方程是：x=rcos; y=rsin; z=h/(2*pi); 化简计算，取r为1，h为2*pi。图2.2 阿基米德正螺旋面Mat
12、lab程序如下：h=2*pi;r,theta=meshgrid(linspace(0,1,50),linspace(0,2*pi,500);x=r.*cos(theta);y=r.*sin(theta);z=h*theta/2/pi;surf(x,y,z);shading interp结果图形如下：图2.3 阿基米德螺旋面 本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论M. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.三、 推导方程（1题10分，2题10分，共计20分）1. 假定两齿轮绕两个平行轴线以相同的方向传递回转运动下图（图1）。坐标系和刚性固接到两齿轮1和2
13、；和是固定坐标系；E是最短距离；和是齿轮两瞬心线的半径。图1推导：1) 确定矩阵。2) 从S2到S1的坐标变换方程。3) 从S1到S2的坐标变换方程。 解：1) 易知，从到的坐标系变换是基于如下的矩阵方程： (1) 式中和是转动矩阵，而是移动矩阵。这里 (2) (3) (4) 从方程（2）、（3）、（4）可导出 (5) 从到的坐标系变换是基于如下的矩阵方程： （6） 式中和是转动矩阵，而是移动矩阵。这里 （7） （8） （9） 从方程（7）、（8）、（9）可导出 (10) 则， 2）利用方程(5)，我们得到从S2到S1的坐标变换方程： （11） 3）利用方程(10)，我们得到从S1到S2的坐标
14、变换方程： （12） 本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论M. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.2. 坐标系 , 和 分别与齿条刀具、被加工的直齿外齿轮和机架刚性固接（图2）。齿条刀具的齿形是直线，该直线用方程 （ ）表示在 中。这里，a 是齿形角（压力角）；u 是变参数，该参数用来确定齿条刀具齿形上的流动点位置（对于点M， ；对于点，）。瞬时回转中心为 。齿轮的瞬心线是半径为r的圆，而齿条刀具的瞬心线与 轴重合（图2）。齿条刀具的位移 和齿轮的转角 有如下关系式 图2求： 1）确定矩阵。2）推导啮合方程。3）导出齿条刀具和被加工齿轮在啮合中的
15、啮合线方程。4）导出被加工齿轮的齿形方程。5）确定齿条刀具的极限安装位置，这种安装位置将使齿轮的被加工齿形避免根切，并作图说明。解：1) 易知，从到的坐标系变换是基于如下的矩阵方程： (1) 式中是转动矩阵，而是移动矩阵。这里 (2) (3) 从方程（2）、（3）可导出 (4) 从到的坐标系变换是基于如下的矩阵方程： （5） 式是转动矩阵，而是移动矩阵。这里 （6） （7） 从方程（6）、（7）可导出 (8) 则， 2) 啮合方程可写成如下形式： （9） 这里，是表示在中的I的坐标。 （10） 式中和是产生齿形的切线矢量和法线矢量，是轴的单位矢量。 从上述方程可以导出啮合方程的下列表达式 （1
16、1） 3) 啮合线方程可以表示为：于是， 从而可以得到啮合线方程如下， （12） 4) 被加工齿轮的齿形用下列方程表示S1到S2的坐标变化： (13)啮合方程： (14) 式中 (15) 方程（13）、（14）、（15）可以导出被加工齿轮齿形的下列表达式： (16) 方程(16)用有联系的参数和以双参数形式表示被加工齿形（它是平面曲线）。 在这种特殊情况下，因为啮合方程对参数是线性的，所以能够从方程(16)中消去，并且以单参数形式将被加工齿形表示如下： (17) 方程(17)表示一条渐开线，它对应半径为的基圆。 5) 齿条刀具齿形的界限点是这样的点，它在齿轮的齿形上形成奇异点。齿条刀具的界限点
17、可以用啮合方程和根切方程确定，后一方程可以用下面的方程求出 联系和 式中 可以导出 这样，我们得到的界限值为，进而我们得到 考虑到啮合方程，我们得到与由方程给出的相同的界限值。图3.1 齿条刀具的极限安装位置 上图说明了齿条刀具的极限安装位置，此时点F形成齿轮齿形上的奇异点。点F的参数是负的，并由方程确定。 本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论M. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.四、 综述及分析？（30分）采用齿轮啮合原理的基本理论和方法，结合工程实际及自己所选的研究题目，建立坐标系、理论推导、综合分析及齿轮啮合原理的应用。（编程设计、实体建
18、模、运动分析、仿真分析等）等研究内容。注意：1）论文拟写：按照“重庆大学”期刊论文发表格式。2）引用的参考参考文献及资料需要注明。根据自己所选的题目及所研究内容部分拟写论文，课程论文要求：1. 文献的综述，选题研究的国内外现状分析，选题研究目的及意义；2. 研究内容部分；3. 结论；4. 参考文献。通过齿条刀具对齿轮廓形曲线方程的推导摘要：本文根据齿轮啮合原理的相关知识，提出来一种通过齿条刀具得到齿轮廓形曲线方程的新方法。关键词：齿轮啮合原理 齿条刀具 廓形曲线方程Abstract:This paper proposes a new method to get gear profile cur
19、ve equation according to the principle of gear meshing.Key words:Gear engagement principle Rack cutter Profile curve equation1、引言 随着机械工业的发展，对齿轮传动的强度、寿命、轻量化和可靠性等方面的要求越来越高，而对齿轮的分析方法也越来越多。在对齿轮的分析中，准确的建立模型占据着重要的位置。而建立精确的模型，首先我们要得到精确的齿轮廓形。本文就提出了一种得到齿轮廓形的新方法。2、齿条刀具廓形曲线方程2.1、齿条刀具廓形曲线方程的推导图1 建立如图1所示的坐标系，X轴在
20、节线上，查机械加工工艺手册可得： ，其中，为标准基本齿条轮齿齿顶高，为标准基本齿条轮齿齿根高，为标准基本齿条轮齿与相啮合标准齿条轮齿之间的顶隙，为齿距，为齿槽宽，为齿厚。由图1可知，线段AB与线段DE关于Y轴对称，圆弧BCD与直线AB切于B点,与直线DE切于D点,与齿根线切于C点，并且其圆心H在Y轴上。则F点坐标为，G点坐标为。令直线AB上点的坐标为，则，即直线AB的方程为： （1）将带入式（1），得，即A点坐标为。同理可得，直线DE的方程为： （2）E点坐标为。因为圆弧BCD与直线AB、直线DE和齿根线都相切，所以。而又因为圆弧BCD关于Y轴对称，则只需要。令圆心H的坐标为,则可以得到：，解
21、得，则半径令圆弧BCD上的点的坐标为，则显然，令圆弧BCD上的点y坐标都小于0，则上式可以变形为。即圆弧BCD的方程为： (3)解方程组得点B坐标为由于点B和点D关于Y轴对称，则点D坐标为又因为线段AB、线段DE、线段EI和圆弧BCD是齿条刀具的一个周期，则点I到点A的距离为，则点I坐标为。综上所述，齿条刀具的一个齿的廓形曲线方程为：（4）其中，。2.2、齿条刀具廓形曲线方程的验证假设，带入式（4）可得，齿条刀具的一个齿的廓形曲线方程为： （5）根据式（5），运用matlab编写了如下程序：x1=-62:1:-22;y1=-(x1+0.25*3.14*50)*cot(0.348);x2=-22
22、:1:22;y2=-38.9-sqrt(556.5-x2.2);x3=22:1:62;y3=(x3-0.25*3.14*50)*cot(0.348);x4=62:1:95;for i=1:34y4(i)=62.5;endplot(x1,y1,-k,x2,y2,-k,x3,y3,-k,x4,y4,-k,linewidth,2),axis(-70,100,-80,80)其运行结果图2所示：图2由于图2与图1大致吻合，证明关于齿条刀具的一个齿的廓形曲线方程没有推导错误。3、齿轮廓形曲线方程3.1齿轮廓形曲线方程的推导坐标系和刚性固接到相对于固定坐标系进行移动和转动的齿条刀具和齿轮上，坐标系中的点M用
23、位置矢量来表示，点M坐标系在中的位置矢量用表示，其中，如图3所示。图3从到的坐标变换基于矩阵方程：转动矩阵描述绕轴线的转动，轴的单位矢量为 从到的转动是沿顺时针方向完成的，且，可以得到下面的转动矩阵的表达式： 从图3可以得到，并且移动矩阵为：则，令，则可以得到 （6）其中，。这样，我们可以将有式（5）算出的一系列点记过是（6）的变换，就可以得到齿轮的一个齿上一系列点的坐标，将这些点用曲线连接起来，就可以得到齿轮一个齿的曲线。3.2、齿轮廓形曲线方程的验证假设，就可以根据式（5）、（6），运用matlab，编写出如下程序：x1=-62:1:-22;y1=-(x1+0.25*3.14*50)*co
24、t(0.348);x2=-22:1:22;y2=-38.9-sqrt(556.5-x2.2);x3=22:1:62;y3=(x3-0.25*3.14*50)*cot(0.348);x4=62:1:95;for i=1:34y4(i)=62.5;endx51=x1.*cos(x1/500)+y1.*sin(x1/500)-500*x1/500.*cos(x1/500)+500*sin(x1/500);y51=y1.*cos(x1/500)-x1.*sin(x1/500)+500*cos(x1/500)+500*x1/500.*sin(x1/500);x61=x2.*cos(x2/500)+y2.
25、*sin(x2/500)-500*x2/500.*cos(x2/500)+500*sin(x2/500);y61=y2.*cos(x2/500)-x2.*sin(x2/500)+500*cos(x2/500)+500*x2/500.*sin(x2/500);x71=x3.*cos(x3/500)+y3.*sin(x3/500)-500*x3/500.*cos(x3/500)+500*sin(x3/500);y71=y3.*cos(x3/500)-x3.*sin(x3/500)+500*cos(x3/500)+500*x3/500.*sin(x3/500);x81=x4.*cos(x4/500)
26、+y4.*sin(x4/500)-500*x4/500.*cos(x4/500)+500*sin(x4/500);y81=y4.*cos(x4/500)-x4.*sin(x4/500)+500*cos(x4/500)+500*x4/500.*sin(x4/500);h=plot(x51,y51,-k,x61,y61,-k,x71,y71,-k,x81,y81,-k,linewidth,2),axis(-600,600,-600,600);其运行结果如图4所示：图4 最后，我们只需将这个齿形曲线绕原点阵列20个就可以得到齿轮的廓形曲线，效果图5所示。图54、 结论 显然，我们通过这些公式，只要知
27、道齿轮模数、齿数和压力角，就可以得到齿轮的准确廓形。参考文献1何晓华,陈兵奎. 齿条型刀具对齿轮弯曲疲劳强度的影响分析J. 机械传动,2011,07:58-61.2姜献峰,孙毅. 平面曲线的曲率表示及其应用J. 计算机辅助设计与图形学学报,1999,05:464-466.3陈汉军,廖文和,周儒荣. 任意平面曲线的圆弧逼近方法J. 南京航空航天大学学报,1995,06:773-777.4崔凤午. 空间曲线曲率中心轨迹的曲率与挠率J. 武汉科技学院学报,2010,02:41-43.5李特文. 齿轮几何学与应用理论M. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海科学技术出版社, 2008.五、 学习心得
28、体会？（14分）学习本门课程的具体详细收获及体会。答：当初齿轮啮合原理这门课时，感觉它比较前沿，能学到不少东西，经过32个学时的学习，我感觉获益匪浅。老师独到的讲课方法不仅使我们没有像以前学习的时候那样死记硬背，而且我们在课堂中间学到了做研究的方法。研究生不像以前那样死学书本上的东西，而是提出问题并加以解决，一个问题没有固定的答案。本门课程统一使用李特文教授编写的齿轮几何学与应用理论，不得不说该书是一部经典的齿轮啮合理论丛书，包含了齿轮啮合方方面面的只是，着实让我受益匪浅。具体来说，该书，也即是该课程的主要内容有：坐标变换、相对速度、瞬心线、瞬轴面、工作曲面、平面曲线、曲面、共轭曲面、共轭曲线
29、、曲率、接触椭圆、计算机模拟、各类型齿轮、各类型齿轮传动、螺旋面加工、飞刀设计等。初上这门课程的时候感觉挺简单的，因为坐标变换、相对速度等一些基础知识以前都有学习过，所以学起来很轻松，但越到后边，就越感觉到学习的吃力，因为内容太多，而课程的时间以及自己课外学习的时间有限，所以在课程的后面没有能够紧跟老师步伐，稳打稳扎，对此破表遗憾。但，总的来说，该门课对我齿轮方面相关知识的学习以及以后的科研进展都很有帮助。首先，不得不说，上课签到不失为一个获取良好上课氛围的好方法。林老师的课应该是所有课程当中到课学生最多的，学生学习态度最好的，这是我们必须承认的。如林老师所说，态度是第一步。人首先得端正了态度
30、，他才能最高效的去学习知识。虽然该课程很难，但我们能始终如一以一颗饱满的学习知识的态度修习完整个课程，这就是一种成功。最后，采取分组，然后以讲PPT的方式来锻炼学生自我学习、自我总结以及表现自我的能力，这也是值得大大称赞的。我做的是第四章平面曲线那一部分，主要包括参数表示、隐函数表示、平面曲线的切线、法线和曲率等内容。在该过程中，首先感觉是什么都不懂，然后把教材看了一遍，相关的知识梳理了一遍。但是教材感觉有些不够生动，条条框框的推理推导过程比较多，不利于学生的理解。直到百度了、google了更多相关方面的知识之后，才更加形象地明白了其确切含义，并能应用于实际中，与实际相结合，来理解它的物理意义
31、。从此，知识不在是死的，这方面的知识已经完全属于我，活生生的。并且，在该过程中，还深一步理解了曲率、坐标变化的相关概念，收获颇丰。大概来说，该门课程，第一章从数学的角度阐释了坐标变换的矩阵表示，如坐标的平移、坐标的转动，以用于导出曲线和曲面。第二章讲述了相对速度的矢量表示和矩阵表示，以及斜对称矩阵的应用。第三章，重点讲述了瞬心线的概念，节圆、工作节圆、绕相交轴和相错轴转动的瞬轴面等。第四章，重点讲述了平面曲线的参数表示，隐函数表示以及平面曲线的切线和法线。第五章主要是讲曲面的参数表示、隐函数表示，与第四章的曲线对应。在第六章，本书讲解了共轭曲面和共轭曲线，通过本章的学习，我理解了啮合轴和双参数
32、包络等齿轮的基础知识点。第七章讲解了曲面和曲线的曲率，而第八章则讲解了曲率关系式和接触椭圆。第九章介绍了啮合和接触的计算机模拟，让我更感官的认识了齿轮的啮合过程。后面的一些章节重点讲述了各类型齿轮以及各类型的齿轮传动。最后几章讲述了螺旋面的加工以及飞刀的设计等。简而言之，该门课博大精深，内容很多。要完全掌握的话，应该要花费较多时间。通过这门课程的学习，我更加深入的理解并掌握了齿轮啮合的基本原理，也更加深刻的了解到了几乎所有齿轮传动形式的几何问题和设计问题，为以后的齿轮相关知识的学习以及科研生涯奠定了牢固的基础。在此，再次特意感谢林老师，您深入实际的生动的教学形式以及严谨务实的教学态度，让我受益匪浅。
