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1、中考常见最值问题归纳总结微专题七：二次函数最值公式法2020WORKING PLAN REPORTLOGO微专题七：二次函数最值公式法考法指导二次函数（a、b、c为常数且）其性质中有若当时，y有最小值。；若当时，y有最大值。利用二次函数的这个性质，将具有二次函数关系的两个变量建立二次函数，再利用二次函数性质进行计算，从而达到解决实际问题之目的。 【典例精析】 例题1（2020黑龙江中考真题）二次函数的最大值是_【答案】8【详解】解：，有最大值，当时，有最大值8故答案为8 例题2（2019安徽中考真题）一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图像的一个交点坐标为（1,2），另一个交点是该二
2、次函数图像的顶点（1）求k，a，c的值；（2）过点A（0，m）（0m4）且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图像相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W=OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值.【答案】（1）k=-2，a=-2，c=4；（2）, W取得最小值7.【详解】解：（1）由题意得，k+4=-2，解得k=-2，一次函数解析式为：y=-2x+4又二次函数顶点横坐标为0，顶点坐标为（0,4）c=4把（1,2）带入二次函数表达式得a+c=2，解得a=-2（2）由（1）得二次函数解析式为y=-2x2+4，令y=m，得2x2+m-4=0，设B，C两点的坐标分别为（x1，m）（
3、x2，m），则，W=OA2+BC2=当m=1时，W取得最小值7【针对训练】1（2017四川中考真题）已知二次函数（m为常数），当1x2时，函数值y的最小值为2，则m的值是（ ）ABC或D或【答案】D【详解】=，若m1，当x=1时，y=1+2m=2，解得：m=；若m2，当x=2时，y=44m=2，解得：m=2（舍）；若1m2，当x=m时，y=2，解得：m=或m=1（舍），m的值为或，故选D2（2017四川中考真题）若一次函数y=（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，则二次函数（ ）A有最大值B有最大值C有最小值D有最小值【答案】B【详解】一次函数y=（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，
4、a+10且a0，1a0，二次函数由有最小值，故选D考点：二次函数的最值；最值问题；一次函数图象与系数的关系3（2019云南中考真题）某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍.经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)的函数关系如下图所示：(1)求y与x的函数解析式(也称关系式)；(2)求这一天销售西瓜获得的利润的最大值.【答案】(1)y与x的函数解析式为；(2)这一天销售西瓜获得利润的最大值为1250元.【详解】(1)当6x10时，由题意设ykxb(k0)，它的图象经过点(6，1
5、000)与点(10，200)， ，解得 ，当6x10时， y-200x+2200，当10x12时，y200，综上，y与x的函数解析式为；(2)设利润为w元，当6x10时，y200x2200，w(x6)y(x6)(200x200)2001250，2000，6x10，当x时，w有最大值，此时w=1250；当10x12时，y200，w(x6)y200(x6)200x1200，2000，w200x1200随x增大而增大，又10x12，当x12时，w最大，此时w=1200，12501200，w的最大值为1250，答：这一天销售西瓜获得利润的最大值为1250元.4（2019辽宁中考真题）我市某化工材料经销
6、商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？【答案】（1）；（2）每千克60元，最大获利为1950元【详解】解：（1）设一次函数关系式为由图象可得，当时，；时，解得与之间的关系式为（2）设该公司日获利为元，由题意得；抛物线开口向下；对称轴；当时，随着的增大而增大；，时，有最大值；即，销售单价为每千克6
7、0元时，日获利最大，最大获利为1950元5（2019辽宁中考真题）把函数的图象绕点旋转，得到新函数的图象，我们称是关于点的相关函数的图象的对称轴与轴交点坐标为（1）填空：的值为 （用含的代数式表示）（2）若，当时，函数的最大值为，最小值为，且，求的解析式；（3）当时，的图象与轴相交于两点（点在点的右侧）与轴相交于点把线段原点逆时针旋转，得到它的对应线段，若线与的图象有公共点，结合函数图象，求的取值范围【答案】（1）；（2）；（3）或或【详解】解：（1）顶点围绕点旋转180的对称点为，函数的对称轴为：，故答案为：；（2）时，当时，时，有最小值，时，有最大值，则，无解；时，时，有最大值，时，有最小
8、值，（舍去）；当时，时，有最大值，时，有最小值，解得：或2（舍去0），故；（3），点的坐标分别为，当时，越大，则越大，则点越靠左，当过点时，解得：，当过点时，同理可得：，故：或；当时，当过点时，解得：，故：；综上，故：或或6（2017浙江中考真题）湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售已知每天放养的费用相同，放养天的总成本为万元；放养天的总成本为万元（总成本=放养总费用+收购成本）（1）设每天的放养费用是万元，收购成本为万元，求和的值；（2）设这批淡水鱼放养天后的质量为（），销售单价为元/根据以往经验可知：与的函数关系为；与的函
9、数关系如图所示分别求出当和时，与的函数关系式；设将这批淡水鱼放养天后一次性出售所得利润为元，求当为何值时，最大？并求出最大值（利润=销售总额-总成本）【答案】（1）a的值为0.04，b的值为30（2）y=t+15，y=t+30当t为55天时，W最大，最大值为180250元【详解】（1）由题意得解得答：a的值为0.04，b的值为30.（2）当0t50时，设y与t的函数关系式为y=k1t+n1把点（0，15）和（50，25）的坐标分别代入y=k1t+n1，得解得y与t的函数关系式为y=t+15当50t100时，设y与t的函数关系式为y=k2t+n2把点（50，25）和（100，20）的坐标分别代入
10、y=k2t+n2，得解得y与t的函数关系式为y=t+30由题意得，当0t50时，W=20000（t+15）-（400t+300000）=3600t36000，当t=50时，W最大值=180000（元）当50t100时，W=（100t+15000）（t+30）-（400t+300000）=-10t2+1100t+150000=-10（t-55）2+180250-100，当t=55时，W最大值=180250综上所述，当t为55天时，W最大，最大值为180250元.7（2017浙江中考真题）某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长度为50m
11、设饲养室为长为x（m），占地面积为（1）如图，问饲养室为长x为多少时，占地面积y 最大？（2）如图，现要求在图中所示位置留2m的门，且仍使饲养室占地面积最大小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多2m就行了”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确【答案】（1）x=25；（2）小敏的说法不正确【详解】（1）=，当x=25时，占地面积y最大；（2）=，当x=26时，占地面积y最大即当饲养室长为26m时，占地面积最大26-25=12，小敏的说法不正确8（2017辽宁中考真题）铁岭“荷花节”举办了为期15天的“荷花美食”厨艺秀小张购进一批食材制作特色美食，每盒售价为50元，由于食材需要冷藏保存，导致成本逐
12、日增加，第x天（1x15且x为整数）时每盒成本为p元，已知p与x之间满足一次函数关系；第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，每天的销售量为y盒，y与x之间的关系如下表所示：第x天1x66x15每天的销售量y/盒10x+6（1）求p与x的函数关系式； （2）若每天的销售利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天时当天的销售利润最大，最大销售利润是多少元？ （3）在“荷花美食”厨艺秀期间，共有多少天小张每天的销售利润不低于325元？请直接写出结果【答案】（1）p=x+18；（2）第13天时当天的销售利润最大，最大销售利润是361元；（3）第7、8、9、10、11、12、13天
13、共7天销售利润不低于325元 【详解】（1）设p=kx+b（k0），第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，解得：，所以p=x+18；（2）1x6时，w=1050（x+18）=10x+320，6x15时，w=50（x+18）（x+6）=x2+26x+192，所以，w与x的函数关系式为，当1x6时，100，w随x的增大而减小，当x=1时，w最大为10+320=310，6x15时，w=x2+26x+192=（x13）2+361，当x=13时，w最大为361，综上所述，第13天时当天的销售利润最大，最大销售利润是361元；（3）w=325时，x2+26x+192=325，x226x+
14、133=0，解得x1=7，x2=19，所以，7x13时，即第7、8、9、10、11、12、13天共7天销售利润不低于325元9（2017贵州中考真题）2016年12月29日至31日，黔南州第十届旅游产业发展大会在“中国长寿之乡”罗甸县举行，从中寻找到商机的人不断涌现，促成了罗甸农民工返乡创业热潮，某“火龙果”经营户有A、B两种“火龙果”促销，若买2件A种“火龙果”和1件B种“火龙果”，共需120元；若买3件A种“火龙果”和2件B种“火龙果”，共需205元（1）设A，B两种“火龙果”每件售价分别为a元、b元，求a、b的值；（2）B种“火龙果”每件的成本是40元，根据市场调查：若按（1）中求出的单
15、价销售，该“火龙果”经营户每天销售B种“火龙果”100件；若销售单价每上涨1元，B种“火龙果”每天的销售量就减少5件求每天B种“火龙果”的销售利润y（元）与销售单价（x）元之间的函数关系？求销售单价为多少元时，B种“火龙果”每天的销售利润最大，最大利润是多少？【详解】（1）根据题意得： ，解得：a=35，b=50；（2）由题意得：y=（x40）1005（x50）y=5x2+550x14000；y=5x2+550x14000=5（x55）2+1125，当x=55时，y最大=1125，销售单价为55元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是1125元10（2017湖北中考真题）鄂州某个体商户购进某
16、种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售为y个（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式； （2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？ （3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？【答案】（1）y=10x+160；（2）5280元；（3）10000元.【详解】（1）依题意有：y=10x+160；（2）依题意有：W=（8050x）（10x+160）=10（x7）2+529
17、0，-100且x为偶数，故当x=6或x=8时，即故当销售单价定为74或72元时，每周销售利润最大，最大利润是5280元；（3）依题意有：10（x7）2+52905200，解得4x10，则200y260，20050=10000（元）答：他至少要准备10000元进货成本11（2017湖北中考真题）鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售为y个（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式； （2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少
18、元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？ （3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？【答案】（1）y=10x+160；（2）5280元；（3）10000元.【详解】（1）依题意有：y=10x+160；（2）依题意有：W=（8050x）（10x+160）=10（x7）2+5290，-100且x为偶数，故当x=6或x=8时，即故当销售单价定为74或72元时，每周销售利润最大，最大利润是5280元；（3）依题意有：10（x7）2+52905200，解得4x10，则200y260，20050=10000（元）答：他至少要准备10000元进货成本12（2017湖北中
19、考真题）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1x15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？【答案】（1）10%；（2），第10天时销售利润最大；（3）0.5【详解】解：（1）
20、设该种水果每次降价的百分率是x，10（1x）2=8.1，x=10%或x=190%（舍去）答：该种水果每次降价的百分率是10%；（2）当1x9时，第1次降价后的价格：10（110%）=9，y=（94.1）（803x）（40+3x）=17.7x+352，17.70，y随x的增大而减小，当x=1时，y有最大值，y大=17.71+352=334.3（元）；当9x15时，第2次降价后的价格：8.1元，y=（8.14.1）（120x）（3x264x+400）=3x2+60x+80=3（x10）2+380，30，当9x10时，y随x的增大而增大，当10x15时，y随x的增大而减小，当x=10时，y有最大值，
21、y大=380（元）综上所述，y与x（1x15）之间的函数关系式为： ，第10天时销售利润最大；（3）设第15天在第14天的价格基础上最多可降a元，由题意得：380127.5（4a）（12015）（31526415+400），2525105（4a）115，a0.5答：第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元13（2017江苏中考真题）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；（2）农经公司
22、应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a0）的相关费用，当40x45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值（日获利=日销售利润日支出费用）【答案】（1）p=30x+1500；（2）这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大；（3）a=2【详解】（1）假设P与的一次函数关系,设函数关系式,则,解得,检验:当,当当,均符合一次函数解析式所求的函数关系式,（2）设日销售利润,即,当时,有最大值为3000元,故这批农产口的销售价格定为40元,才能使日销售利润最大,（3）日获利,即,对称轴这,若,则当时,有最大值,
23、即（不合题意）,若,则当时,有最大值,把代入,可得,当时,解得,（舍去）,综上所述,的值为2.14（2017江苏中考真题）怡然美食店的A、B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元（1）该店每天卖出这两种菜品共多少份；（2）该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，售卖时发现，A种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利润最多是多少【答案】（1）60；（2）316【详解】解：(1)、设该店每天卖出A、B两种菜品分别
24、为x、y份，根据题意得：， 解得：，答：该店每天卖出这两种菜品共60份；(2)、设A种菜品售价降0.5a元，即每天卖（20+a）份，总利润为w元，因为两种菜品每天销售总份数不变，所以B种菜品卖（40a）份，每份售价提高0.5a元则w=（20140.5a）（20+a）+（1814+0.5a）（40a）=（60.5a）（20+a）+（4+0.5a）（40a）=（0.5a24a+120）+（0.5a2+16a+160）=a2+12a+280=（a6）2+316，当a=6，w最大，w=316答：这两种菜品每天的总利润最多是316元15（2017辽宁中考真题）“五一”期间，恒大影城隆重开业，影城每天运营
25、成本为1000元，试营业期间统计发现，影城每天售出的电影票张数y（张）与电影票售价x（元/张）之间满足一次函数：y=4x+220（10x50，且x是整数），设影城每天的利润为w（元）（利润=票房收入运营成本）（1）试求w与x之间的函数关系式；（2）影城将电影票售价定为多少元/张时，每天获利最大？最大利润是多少元？【答案】（1）w=4x2+220x1000；（2）影城将电影票售价定为27或28元/张时，每天获利最大，最大利润是2024元【详解】（1）根据题意，得：w=（4x+220）x1000=4x2+220x1000；（2）w=4x2+220x1000=4（x27.5）2+2025，当x=27
26、或28时，w取得最大值，最大值为2024，答：影城将电影票售价定为27或28元/张时，每天获利最大，最大利润是2024元16（2017辽宁中考真题）端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为80元的粽子礼盒的销售情况，请根据小梅提供的信息，解答小慧和小杰提出的问题（价格取正整数）【答案】小慧：定价为102元；小杰：8580元的销售利润不是最多，当定价为110元或111元时，销售利润最多，最多利润为9300元【详解】解：小慧：设定价为x元，利润为y元，则销售量为：41010（x100）=141010x，由题意得，y=（x80）（141010x）=10x2+2210x112800，当y=8580时，10x2+2210x112800=8580，整理，得：x2221x+12138=0，解得：x=102或x=119，当x=102时，销量为14101020=390，当x=119时，销量为14101190=220，若要达到8580元的利润，且薄利多销，此时的定价应为102元；小杰：y=10x2+2210x112800=，价格取整数，即x为整数，当x=110或x=111时，y取得最大值，最大值为9300答：8580元的销售利润不是最多，当定价为110元或111元时，销售利润最多，最多利润为9300元
