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1、第四讲 行程和工程问题真题模考1 大小两辆汽车从一条公路的两端相对开出，小时后，小汽车到达这条公路的中点，大汽车距离中点千米。已行完全程要小时，求这条公路全长多少千米?【分析】 , (千米)。2 甲、乙两辆车分别同时从，两地相向而行，相遇后甲又经过分钟到达地，乙又经过小时到达地。甲车速度是乙车速度的几倍？【分析】 甲：乙=,:=, 3 杨平每天早晨按时从家出来步行上学，李大爷每天早晨也定时出门散步，两人相向而行。扬平步行速度是每分钟米，李大爷步行速度是每分钟米。他们每天都准时在途中相通。有一天杨平提前出门，因此比平时早分钟与李大爷相遇，那么杨平比平时早出门多少分钟？【分析】 杨平提前出门，因此
2、比平时早分钟与李大爷相遇，李大爷少走了米。 杨平多走了米，杨平多走了（分钟），分钟。4 一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是米，慢车的车长是米。坐在快车上看见慢车驶过的时间是秒，那么坐在慢车上看见快车驶过的时间是多少秒? 【分析】 坐在快车上的人看到的是慢车的长，相向而行则二车的速度和是：米/秒， 坐在慢车上的人看到的是快车的长，那么所用的时间是：秒。5 甲、乙二人分别从两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度比是，他们第一次相遇后，甲的速度提高了，乙的速度提高了，这样，当甲到达地时，乙离还有千米，那么，两地间的距离是多少千米? 【分析】 第一次相遇时甲乙二人的路程比是，则甲行了全程的乙行
3、了全程的 ，相遇后二人的速度比是（）：，则当甲到达时，甲乙的行程比是，甲行了，则乙行了，此时乙离地有 ，那么全程是（千米）。6 小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路。小芳上学走这两条路所用的时间一样多。已知下坡的速度是平路的倍，那么上坡的速度是平路的多少倍？ 【分析】 设小芳上学路上所用时间为，其中走一半平路所需时间是。如果下坡，走一半路所需时间是，因此，走另一半上坡路需要的时间是，那么，上坡速度：平路速度，所以，上坡速度是平路速度的倍。7 小刚，小强两人骑车的速度之比是，如果小刚，小强分别由甲、乙两地同时出发，相向而行，半小时后相遇，如果他们同向而行，那
4、么小刚追上小强需要几小时？ 【分析】 设小刚和小强的速度分别是， 相向而行半小时相遇，则二地的距离是：，同向而行，甲乙二人的距离差是：，所以，追上的时间是：（小时）。8 甲、乙、丙三人进行米赛跑，当甲到达终点时，乙离终点还有米，丙离终点还有米。如果甲、乙、丙赛跑时速度不变，那么，当乙到达终点时，丙离终点还有多少米？ 【分析】 甲跑到终点时乙跑的距离为，丙跑的距离为，乙、丙跑的速度不变，那就应该有，那么设乙到终点时，丙离终点米， ，。9 一件工程，甲单独做要小时，乙单独做要小时，如果接甲、乙、甲、乙顺序交替工作，每次小时，那么需要多长时间完成？ 【分析】 则甲小时完成整工程的，乙小时完成整工程的
5、，交替干活时两个小时完成整工程的，甲乙各干小时后完成整工程的,还剩下,甲再干小时完成整工程的，还剩下,乙花小时即分钟即可完成。所以需要小时分钟来完成整个工程。10 一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀，如果同时打开进水及一个排水阀，则分钟能把水池的水排完，如果同时打开进水阀及两个排水阀，则分钟把水池的水排完。问：关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要多少分钟才能排完水池的水？【分析】 由题意，进水阀打开分钟所注入水池的水量，等于个排水阀分钟的排水量与一满池水量之差；同时，它也等于个排水阀分钟的排水量与满池水量之差，从而个排水阀分钟的排水量等于满池的水量，换句话说，个排水阀每分钟
6、可排池的水，个排水阀每分钟可排池的水，从而可知，只需分钟便可在进水阀关闭的情形下排完满池水。考点拓展【例1】 搬运一个仓库的货物，甲需要小时，乙需要小时，丙需要小时。有同样的仓库和，甲在仓库、乙在仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运。最后两个仓库货物同时搬完。问丙帮助甲、乙各多少时间?【分析】 设搬运一个仓库的货物的工作量是现在相当于三人共同完成工作量，所需时间是 （小时），甲小时能完成，尚需要丙帮助搬运（小时），乙小时能完成，尚需要丙帮助搬运 （小时）。【例2】 制作一批零件，甲车间要天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要天就能完成。乙车间与丙车间一起做，需要天才能完成
7、。现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件个。问丙车间制作了多少个零件? 【分析】 甲、乙、丙三车间的工作效率和。乙车间的工作效率 。丙车间的工作效率。甲、乙二车间的工作效率差。所以三个车间一起做完成的工作总量为 。丙车间做零件（个）。【例3】 甲、乙二人分别从两地同时出发相向而行，小时后相遇在点。如果甲速度不变，乙每小时多行千米，且甲、乙还从两地同时出发相向而行。则相遇点距点千米，如果乙速度不变，甲每小时多行千米，且甲、乙还从两地同时出发相向而行，则相遇点距点千米。问：甲原来的速度是每小时多少千米？【分析】 设为间距离，、分别为甲乙第一次行程所走路程,分别为三次行程所花时间，分
8、别为甲乙第一次行程的速度。根据三次行程的情况可以列以下三条式子： /（）/，/（）（）/（） /（）（）/（） 由第一条式子可以看出，二、三式中的甲、乙、都可以被所替代，从而得出由二、三式组成的一个含有两个未知数的方程组： （）/（）（）/（） （）/（）（）/（） 这个方程组看似复杂，其实两三步就可以解出来了，答案是：，。【例4】 小轿车的速度比面包车速度每小时快千米,小轿车和面包车同时从学校开出,沿着同一路线行驶,小轿车比面包车早分钟到达城门,当面包车到达城门时,小轿车已离城门千米,问学校到城门的距离是多少千米?【分析】 先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少时间。此时，小轿车比面包
9、车多走了千米，而小轿车与面包车的速度差是千米/小时，因此所用时间：（小时）。小轿车比面包车早分钟到达城门，面包车到达时，小轿车离城门千米，说明小轿车的速度是（千米小时），面包车速度是（千米/小时）。城门离学校的距离是（千米）。【例5】 如图，一个圆周长厘米，个点把这个圆周分成三等分，只爬虫分别在这个点上。它们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行。的速度是厘米/秒，的速度是厘米/秒，的速度是厘米/秒，只爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置？【分析】 先考虑与这两只爬虫，什么时候能到达同一位置。开始时，它们相差厘米，每秒钟能追上厘米。（秒）。 因此秒后与到达同一位置。以后再要到达同一位置，要追上 一
10、圈，也就是追上厘米，需要（秒）。与到达同一位置，出发后的秒数是再看看与什么时候到达同一位置。第一次是出发后（秒），以后再要到达同一位置是追上一圈。需要（秒），与到达同一位置，出发后的秒数是对照两行列出的秒数，就知道出发后秒只爬虫到达同一位置。【例6】 如图,正方形是一条环形公路,已知汽车在上的速度是千米/小时,在上的速度是千米/小时,在上的速度是千米/小时,在上的速度是千米/小时,从上一点,同时反向各发出一辆汽车,它们将在中点相遇,如果从中点,同时反向各发出一辆汽车,它们将在上一点处相遇。求=?【分析】 两车同时出发至相遇，两车行驶的时间一样多。题中有两个“相遇”，解题过程就是时间的计算。要计
11、算方便，取什么作计算单位是很重要的,设汽车行驶所需时间是,根据“走同样距离，时间与速度成反比”，可得出汽车行驶所需的时间是, 汽车行驶所需的时间是,汽车行驶所需的时间是,分数计算总不太方便，把这些所需时间都乘以。这样，汽车行驶所需时间分别是。从点同时反向各发一辆车，它们在中点相遇。与所用时间相等。上所需时间上所需时间=所需时间所需时间=。而（上所需时间+上所需时间）是上所需时间。根据“和差”计算得上所需时间是，上所需时间是。现在两辆汽车从点同时出发反向而行，与所用时间相等。是中点。与时间相等，就有上所需时间-上所需时间=所需时间-所需时间=。上所需时间+上所需时间=上所需时间=。立即可求上所需
12、时间是。所需时间是。课后练习1 蓄水池由甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管。要灌满一池水，单开甲管需小时，单开丙管需要小时。要排光一池水，单开乙管需要小时，单开丙管需要小时。现在池内角池水，如果按甲、乙、丙、丁、甲、乙、的顺序轮流打开小时，问多少时间后水开始溢出水池？【分析】 甲乙丙丁顺序循环各开小时可进水：，循环次后水池还空：，的空位由甲管注水需要：（小时）几小时后水开始溢出水池：（小时），按甲、乙、丙、丁顺序各开一小时水池中进水。 这样个周期(即小时)后,池中有水,再开甲管注满水池需时(小时),故一共要(小时)开始溢出。2 一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工
13、作量的倍。上午去甲工地的人数是去乙工地人数的倍，下午这批工人中有的人去甲工地。其他工人到乙工地。到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需名工人再做天，那么这批工人有多少人？ 【分析】 下午的工人肯定是的倍数。的一倍就是乘得整数。上午是下午的倍，所以全部等于。 3 有一些水管，它们每分钟注水量都相等。现在打开其中若干根水管，经过预定时间的，再把打开的水管增加倍，就能按预定时间注满水池，如果开始时就打开根水管，。中途不增开水管，也能按预定时问注满水池。问开始时打开了几根水管?【分析】 设开始时打开了根水管，则题已知得下方程： ，。 4 轮船用同一速度往返于两码头之间,它顺流而下行了个小时；它逆流而上行了小时,如果水流速度是每小时千米,两码头之间的距离是多少千米?【分析】 设船在静水中速度为;，甲、乙两个港口之间的距离为：。
