《自动控制理论习题答案.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《自动控制理论习题答案.doc（65页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、习题参考答案2-1 已知R-L-C网络如图所示，试列写以ui为输入，uo为输出的微分方程模型。解：电感方程：.（1）电容方程：.（2）有6个变量，列出微分方程模型时保留2个，因此要消掉4个变量，还需要列出3个方程：由KVL：.（3）由KCL：.（4）在输出端：.（5）将（5）代入（1）（4）可消去，然后将（4）代入（1）（3）消去得到：用方程（2）消去：将（7）整理为后取时间的导数，再将（2）代入，得到：.（8）最后，将（6）整理为，代入得到经整理，可得到系统的微分方程模型为2-2 已知机械系统如图所示，其中位移为输入，位移为输出。试列写该系统的微分方程模型及其传递函数。解：在阻尼器1和2取辅
2、助点，设其位移为，由弹簧力和阻尼力平衡的原则，可得到消去中间变量，可得到系统的微分方程模型为则系统的传递函数为2-3 已知水箱系统如图所示，该系统为有自衡能力双容过程，其中 和分别为水箱1和水箱2的容量系数，、和分别为阀门1、阀门2和阀门3的液阻，Q1为输入，h2为输出。试列写该系统的微分方程模型及其传递函数。解：根据动态物料平衡，可列出下列增量方程：对水箱1：对水箱2：从以上四个式子中消去、和，并整理得上式中，令，则得对上式进行Laplace变换，并分解因式，得传递函数为2-4 试求下列函数的Laplace变换，假设时，函数。 解：2-5 已知某传递函数为 ，(1) 试将传递函数化为首1标准
3、型（零、极点形式）；(2) 求系统的静态增益； (3) 求系统的微分方程；(4) 求系统的零、极点。解：(1) (2)(3)由得到在零初始条件下进行Laplace反变换可得系统的微分方程(4)令分子多项式等于零，求出，令分母多项式等于零，求出，2-6 试用结构图等效化简求下图的传递函数。解：（1）将环节输出端的引出点后移，并将、反馈环节合并，得到图（1）；（2）将环节输出端的引出点后移，并将反馈环节合并，得到图（2）；（3）由图（2）可计算得系统的传递函数为2-7 已知系统方程组如下：试绘制系统结构图，并求闭环传递函数。解：由系统方程绘制系统结构图如下所示，该系统有4个独立环路：，有1条前向通
4、路，其前向通路的传递函数分别为。由Mason增益公式可直接写出系统的传递函数为2-8 试用Mason增益公式求下图中各系统的传递函数。解：（a）该系统有4个独立环路：，。有1条前向通路，其前向通路的传递函数分别为。由Mason增益公式可直接写出系统的传递函数为（b）该系统有3个独立环路：，。有2条前向通路，其前向通路的传递函数分别为：，有1组互不接触环路：和。由Mason增益公式可直接写出系统的传递函数为2-9 已知系统如图所示，试求系统的传递函数。解：该系统有3个独立环路：，。有2条前向通路，其前向通路的传递函数分别为由Mason增益公式可直接写出系统的传递函数为2-10 已知系统如图所示，
5、试求系统的输出。解：令，则令，则令，则令，则根据叠加原理，则有系统的输出3-1 已知系统的特征方程如下，判断系统的稳定性。（1）（2）（3）（4）解：用Routh判据。（1）稳定。（2）不稳定。（3）不稳定。（4）不稳定。3-2 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试确定使系统稳定的参数K的范围。（1）（2）解：用Routh判据。（1）系统闭环特征多项式为。列出Routh表因此系统稳定的充要条件是。（2）系统闭环特征多项式为。列出Routh表因此系统稳定的充要条件是。3-3 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试确定使系统稳定的参数K和T的范围。（1）（2）解：用Routh判据。（1）系统闭环
6、特征多项式为。列出Routh表因此系统稳定的充要条件是。（2）系统闭环特征多项式为。列出Routh表不妨设，则系统稳定的充要条件是即。3-4某典型二阶系统单位阶跃响应曲线如图所示。求（1）调节时间（5%）；（2）超调量%；（3）峰值时间；（4）阻尼振荡频率；（5）系统的极点位置。3-4题图解：(1)过渡过程时间 (2)超调量 (3)峰值时间(4)阻尼振荡频率(5) ，极点为。3-5已知单位反馈系统结构图如图所示。求（1）K50时系统单位阶跃响应的超调量；（2）K取何值才能使系统单位阶跃响应的超调量。3-5题图解：（1）闭环系统特征多项式，。代入得到。（2）由得到。令得到。将代入得到。因此。闭环
7、系统特征多项式，。因此有，得到。3-6根据以下二阶系统的技术指标要求，画出系统极点在s平面上的分布。（1）（2）（3）（4）解：3-7某速度反馈系统结构图如右图所示。求（1）K0时，闭环系统的阻尼系数、超调量和调整时间。（2）K取何值闭环系统的阻尼系数？（3）K取何值使得闭环系统为过阻尼系统？3-7题图解：闭环系统传递函数为。因此有，。（1）K0时，因此，（2）时，要求K0.207。（3）要使闭环系统为过阻尼系统，要求K0.5。3-8已知系统结构图如图所示。求（1）T0时，闭环系统的超调量和调整时间。（2）T2时，闭环系统的超调量和调整时间。（3）T取何值使得系统的超调量为零？3-8题图解：闭
8、环系统传递函数为。因此有，。（1）T0时，因此，（2）T2时，对于典型二阶系统，但实际闭环系统传递函数为，含有零点。可用计算机辅助计算得到实际，。（3）要使系统的超调量为零，要求T4。3-9 某一阶系统结构图如图所示。要求系统闭环增益为2，调节时间。试确定参数T和K的值。3-9题图解：闭环系统传递函数为。闭环增益得到K0.5。调节时间得到。3-10给定典型二阶系统的设计指标：超调量，调节时间，峰值时间。试确定系统极点配置的区域，以获得预期的响应特性。解：系统为欠阻尼二阶系统。根据设计指标确定系统参数（1）若令，前面已经得到。因此。（2）由得到。（3）调节时间比较复杂。如果设，则，得到。事实上，
9、越大，调节时间越短。系统极点配置的区域如图阴影部分所示。3-11 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，求系统单位阶跃响应和单位斜坡响应的稳态误差。（1）（2）（3）（4）解：单位阶跃响应的稳态误差为。单位斜坡响应的稳态误差为。（1）闭环系统稳定，（2）闭环系统不稳定。（3）闭环系统稳定，（4）闭环系统不稳定。 3-12 已知温度计的传递函数为。用其测量容器内的水温，1分钟才能显示出该温度的98%的数值。若加热容器使水温按每分钟5C的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大？解：依题意，温度计的时间常数。输入信号为斜坡信号，。输出稳态误差为3-13 已知如图系统的输入和扰动均为。求（1）系统输
10、出的稳态误差。（2）调整哪个环节可以使稳态误差为零？如何调整？解：（1）系统输出为。输出稳态值为。稳态误差。（2）在扰动输入之前，即处，串联一个比例积分环节就可以消除稳态误差。只增加纯积分环节不能保持系统稳定性。3-13题图3-14题图3-14 如图是船舶横摇镇定系统结构图，引入内环速度反馈是为了增加船只的阻尼。（1）求海浪扰动力矩对船只倾斜角的传递函数；（2）为保证为单位阶跃输入时倾斜角的值不超过0.1，且系统的阻尼比为0.5，求、和应满足的方程；（3）=1时，确定满足（2）中指标的和值。解：（1）由Mason公式得到（2）扰动。由Laplace变换的终值定理，倾斜角的稳态值，得到。系统的阻
11、尼比为0.5，即，可简化为。即应满足，。（3）=1时，。3-15 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试绘制系统的常规根轨迹。（1）（2）解：根轨迹如图。步骤略。3-15（1）根轨迹3-15（2）根轨迹3-16 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试绘制以a为变量的参数根轨迹。（1）（2）解：（1）闭环系统特征方程为解出a得到变换为实际上就是绘制的常规根轨迹。系统有2条根轨迹分支，起始于极点，一条趋向零点，另一条趋向实轴负无穷。起始角满足相角条件可得到起始角为。分离点满足方程，经整理得，解出。根轨迹如图。（2）闭环系统特征方程为解出a得到变换为实际上就是绘制的常规根轨迹。系统有2条根轨迹分支，
12、起始于极点，一条趋向零点，另一条趋向实轴负无穷。起始角满足相角条件可得到起始角为。分离点满足方程，解出。根轨迹如图。3-17 已知单位反馈系统的开环传递函数为。希望系统的所有特征根位于s平面上s2的左侧区域，且阻尼比。求K和a的取值范围。解：先画出根轨迹。如图所示。分别做出和的等阻尼线，它们与负实轴夹角分别为和。它们与根轨迹的交点分别为闭环系统特征多项式为。时特征根为，可得到时特征根为，可得到因此K的取值范围是为了使所有特征根位于s平面上s2的左侧区域，应使。即a的取值范围是。3-18 已知单位反馈系统的开环传递函数为。试确定系统在阻尼比时对应的值以及相应的闭环极点，估算此时系统的动态性能指标
13、。解：先画出根轨迹。做出的等阻尼线，它与负实轴夹角为。如图所示。等阻尼线与根轨迹的交点即为相应的闭环极点，可设相应两个复数闭环极点分别为闭环特征多项式为同时比较系数有解得故时在所求得的3个闭环极点中，至虚轴的距离与或至虚轴的距离之比为倍。可见，、是系统的主导闭环极点。于是，可由、所构成的二阶系统来估算原三阶系统的动态性能指标。将代入二阶系统动态性能指标的公式得原系统为型系统，系统的静态速度误差系数计算如下系统在单位阶跃信号作用下的稳态误差为0，在单位斜坡信号作用下的稳态误差为。3-19在正反馈条件下，系统特征方程为时，此时根轨迹方程为，相角条件为，；或者，将负反馈条件下非最小相位系统化为标准形
14、式时，会出现增益为负的情形，根轨迹的相角条件也为。以相角条件为相应绘制的根轨迹称为零度根轨迹。在绘制零度根轨迹时，仅与幅值有关的性质都与相角条件为的常规根轨迹的性质相同，而所有跟相位有关的性质则与常规根轨迹的性质不同，请你列举零度根轨迹这些不同的性质，并加以说明。法则3 实轴上的根轨迹：实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为偶数，则该区域必是根轨迹。法则4 根轨迹的渐近线与实轴夹角应改为 （=0，1，2，）法则6 根轨迹的出射角和入射角用可直接利用相角条件4-1已知单位反馈系统的开环传递函数为试求：使系统增益裕度为10的K值；使系统相角裕度为的K值。解: 系统开环频率特性为(1)
15、 求的K值：令为相角交越频率，有，由可解得K=1。(2) 求的K值：由定义求得系统幅值交越频率由将代入上式可求得。4-2试由幅相频率计算式确定最小相位系统的传递函数。解:由相频计算式可得出传递函数的形式为由幅频计算式有求得，所求最小相位系统的传递函数为4-3已知单位反馈系统开环传递函数若希望系统闭环极点都具有小于-1的实部，试用Nyquist判据确定增益K的最大值。解：令，则“平面所有极点均处于负平面”等价于“平面所有闭环极点均具有小于-1的实部”，并且可见并无右半平面的开环极点，所以的Nyquist轨线不能包围点。只要满足：轨线与负实轴的交点在-1点右侧（大于-1）即可，令的相频为，得到求得
16、的相角交越频率 即若希望系统闭环极点都具有小于-1的实部，增益K的最大值为。4-4设某系统结构图如下图所示，其中K 0。（1）试求系统稳态误差；（2）若=1时,要求稳态误差幅值，试选择K值。解：(1)求系统稳态误差，系统开环传递函数为，闭环系统的误差传递函数为其幅值与相位为因输入，系统的稳态误差为(2)因，令有解得 (舍去).故满足题意要求的K值范围为4-5已知系统型次（含有个积分环节），Nyquist曲线起始于实轴（），试问什么情况下起始于负实轴，什么情况下起始于正实轴。答：当开环增益时，起始点位于正实轴；当开环增益时，起始点位于负实轴。4-6 设系统的开环传递函数为 其中。（1）已知，试概
17、略绘制该系统的Nyquist图。（2）若，请概略绘制该系统的Nyquist图。解：（1），而且对于小正数，有， 概略绘制的Nyquist图如下 （2），而且对于小正数，有，概略绘制的Nyquist图如下 4-7 设系统的开环频率特性函数的极坐标图如图所示。试用Nyquist稳定性判据判定闭环系统的稳定性。 开环系统稳定 开环系统稳定 开环系统有2个RHP极点解：（1）P=0，2，N= P+=2，闭环系统不稳定，有2个RHP极点。（2）P=0，1，故N= P+=1，闭环系统不稳定，有1个RHP极点。（3）P=2，-2，故N= P+=0，闭环系统稳定。4-8已知系统开环传递函数把虚轴上的开环极点视
18、为不稳定的开环极点，重新确定Nyquist路径，并绘制L(s)的Nyquist图，据此判定闭环系统的稳定性。解：s平面小圆弧顺时针的路径映射为L(s)平面逆时针的大圆弧。 Nyquist路径 L(s)的Nyquist图wn =-1（逆时针）， P=1，N=0，闭环系统稳定。4-9已知最小相位（单位反馈）开环系统的渐近对数幅频特性如图所示。（1）试求取系统的开环传递函数；（2）要求系统具有的稳定裕度，求开环放大倍数应改变的倍数。解: (1) 由图可得出系统开环传递函数的基本形式为 将点(0.1，40)代入上式，因低频段幅值仅由比例环节和积分环节决定，即求得 K=10，所求系统开环传递函数为(2)
19、由相角裕度的定义导出 解出由交越频率的定义有解出K=0.335。即开环放大倍数衰减30倍。4-10 已知系统的开环传递函数为（1）用渐近线法绘制系统的开环Bode图；（2）由Bode图判断闭环系统的稳定性；（3）求出交越频率以及相角裕度的近似值；（4）由MATTAB作Bode图，求出交越频率和相角裕度，并与渐近线图解比较。解：（1）首先将化为尾1标准形式=知该系统为典型型系统，各环节转折频率为0.2、0.6 、12、50rad/s，20lgK=20lg10=20，过=1，|G(i)|dB=20的点，作斜率为-40的直线，遇到转折频率0.2、0.6 、12、50时，相应地直线斜率变化，如下图所示
20、。（2）P=0，故N= P+=0，闭环系统稳定。（3）由=1 ，解得5.56，（4）MATTAB程序校验num=400/3*25 15 9;den=conv(1 0.2 0 0,1 62 600);bode(num,den); grid on Gm,Pm,Wcg,Wcp = margin(num,den)Gm =10.7036；Pm =56.7919；Wcg =23.9829；Wcp =5.0533交越频率为5.05rad/s，相角裕度为，这与近似计算值非常接近。4-11 已知各最小相位系统的开环对数幅频特性曲线如图所示，（1）试确定各系统的开环传递函数；（2）求相角裕度；（3）概略画出对应的
21、相频特性曲线；（4）分析闭环系统的稳定性。解：I. 针对(a)图：(1)如图，转折频率为2、10、20。该系统为典型型系统，其开环传递函数形式为即20lgK=20，解得K=10。该系统的开环传递函数为(2)即20=20lg(2) ，解得=5，由此(3) (4)P=0，故N= P+=0，闭环系统稳定。II. 针对(b)图：(1)设未知转折频率从左至右依次为、，则其开环传递函数形式为， 解得K=10；，解得=1 =1；，解得=82.54， =0.0121，解得=46.42，=0.0215 解得=2.61 =0.383该系统的开环传递函数为(2)=100，由此(3) (4)P=0，故N= P+=2，
22、闭环系统不稳定，有2个RHP极点。4-12针对正反馈系统，Nyquist给出=0的幅相频率特性图如下，临界点为1，重新表述Nyquist稳定性定理。正反馈系统的Nyquist图，临界点为1答：若开环传递函数的RHP极点数为P, 则闭环系统稳定的充分必要条件是L(s) 的Nyquist 图 L(i) ，=顺时针环绕临界点L=1的圈数为P。4-13设系统的开环传递函数为，求交越频率和相角交越频率，并用MATLAB程序进行校核，你得到什么结论。解：（1）起点：（2）终点： （3）=与实轴的交点：令虚部为即=0 解得=0.2，=0.447，此时=-9。与虚轴的交点：令实部为即=0 解得=9.57 =3
23、.09，此时=4.43。使用理论计算值与nyquist(sys)的计算结果基本没差别，但相差较大。原因是变化范围为-+。若指定频率范围，采用命令nyquist(sys,w)，w=wmin,wmax，可使之与理论计算值吻合。num=6 -18 30;den=1 2 -3;sys=tf(num,den);w=0.1,100;nyquist(sys,w)margin(sys)5-1设一单位负反馈系统的开环传递函数为。设计串联校正环节，使校正后系统的相角裕度，交越频率。解 由MATLAB程序num=200;den=0.1 1 0;margin(num,den);grid on绘制未校正环节的幅频特性图
24、，得到：，所需要的相角最大超前量为由于，可使用超前校正 校正装置在处增益。令，在交越频率处幅值为，由此得到，由此解出。校正装置的传递函数，校验否满足设计条件：校正后系统的开环传递函数为由MATLAB程序num=200*0.035 1;den=conv(0.1 1 0,0.006 1);margin(num,den);grid on校正后系统的Bode图为，满足设计要求。5-2 设单位反馈系统的开环传递函数要求校正后系统的静态速度误差系数，相角裕度，试设计串联校正装置。解（1）根据稳态误差要求，选取控制器的静态增益。(2)绘制未校正系统的Bode图。的Bode图及稳定裕度因为，可使用滞后校正，由
25、确定校正后系统的交越频率，从图中直接读出。在交越频率下的增益为11.8dB，由，解出，滞后校正为校正后系统的开环传递函数为MATLAB程序验证：num=100;den=0.04 1 0;numc=0.5 1;denc=1.9 1;G=tf(num,den);C=tf(numc,denc);L=G*C;margin(L)校正后系统的Bode图及稳定裕度，满足要求。5-3 已知单位反馈最小相位系统的固有部分对数幅频特性和串联校正装置的对数幅频特性如下图所示。（1）由图形写出传递函数和；（2）求校正前系统的相角裕度；（3）画出校正后系统的对数幅频特性。解 （1）未校正系统的开环传递函数为当时，其幅值
26、为80dB，即，故。（2）未校正系统的交越频率为，解得，未校正系统的相位裕度为（3）校正装置的传递函数为，校正后开环系统的传递函数为，由可以求得，在各转折频率处的幅值：当时，74dB；当时，21.9dB；当时，6dB；当时，46dB。由此可知，已校正系统的交越频率。故有，解出，校正后的对数幅频特性图。5-4 已知系统开环传递函数为试设计串联校正装置，使系统对斜坡输入的稳态误差为零，且，系统具有的高频滚降特性。解 依题意，校正装置需具有积分控制功能。由MATLAB程序：num=250;den=0.001 0.11 1 0;margin(num, den)作的Bode图，由此可知不能仅靠PI校正实
27、现系统的校正目标，应采用PID校正选择。使系统校正后的交越频率。的Bode图PD校正部分：，PI校正部分：rad/s，s，解出高频滚降部分：，s，所以，校正装置的传递函数：验算：校正后系统的开环传递函数为采用MATLAB来验证：numP=250;denP=conv(0.1 1 0,0.01 1);P=tf(numP,denP);numC=0.44*conv(0.1 1,0.316 1);denC=conv(0.01 1 0,0.003162 0.00316 1);C=tf(numC,denC);L=P*C;margin(L)由图直接读出以下数据：；高频具有滞后相角，对应于具有的高频滚降特性。满
28、足校正要求。的Bode图5-5设一单位反馈系统如下图所示，试设计一速度反馈校正装置，使系统校正后对单位阶跃响应的超调量不超过15%。解 采用如下图所示的局部速度反馈校正方案校正后系统的开环传递函数为闭环传递函数为由此得到， 由，得到，取5-6 对含有谐振环节的高阶系统，设其开环传递函数为试设计串联校正装置，使校正后的系统满足：模裕度，误差系数，交越频率。解：（1）由校正后系统的稳态误差要求，确定的静态增益为。绘制KP(s)的频率特性，由如下MATLAB程序numKP=500*0.2*1 0.1 0.5; denKP=conv(1 1 0,1 0.05 0.45); KP=tf(numKP,de
29、nKP); margin(KP)计算出KP(s)的交越频率。由如下MATLAB程序S0=feedback(1,KP ,-1); ninf,fpeak = norm(S0,inf)得到，模裕度。这些性能指标都不符合系统的设计要求。（2）确定校正装置采用超前校正显然不能满足交越频率要求；若使用滞后校正，可能使谐振频段的开环幅频特性靠近0dB线，对系统的鲁棒性不利。因此考虑采用滞后-超前校正。 取,计算校正后的相角裕度；取，由上图读出。取，。超前校正部分提供的相角补偿，s所以，超前装置部分的参数为确定滞后校正部分由图可以读出，滞后校正部分提供的高频衰减参数为， （3）验算写出校正后系统的开环传递函数
30、绘制校正后系统的频率特性，得到，符合要求。numP=0.2*1 0.1 0.5; denP= conv(1 1 0,1 0.05 0.45) ;P=tf(numP,denP);numC=500*conv(0.48 1,2 1);denC=conv(0.083 1,13.4 1);C=tf(numC,denC);L=P*C;margin(L) 由MATLAB 程序S=feedback(1,L ,-1); ninf,fpeak = norm(S,inf)得到，模裕度，满足要求。5-7极点配置：已知图5-29中被控对象的传递函数为设参考输入uc指令至输出y的理想的闭环系统传递函数由指定，求控制器的多
31、项式，和。解：(1)，（2）取，令，得到多项式和 的Diophantine方程比较方程各次幂的系数，给出若，这些方程有解，有，控制器的多项式，和为6-1 已知线性系统的微分方程如下，试用等倾线法绘制其相轨迹。（1）（2）（3）（4）（5）（6）6-2 已知二阶非线性系统的微分方程如下，求其奇点并确定奇点类型。（1）（2）6-3 如图所示二阶系统，非线性部分输出M1。（1）输入时，试用等倾线法做出变量x的相平面图，分析极限环的形成情况。（1）输入时，试用等倾线法做出变量x的相平面图，并与（1）对比。题6-3图解：由图列出系统变量的方程：得到变量x的方程：（1）时，变量x的方程：在I区，等倾线方程
32、为。当时，当时，当时，因此相轨迹汇合到水平线并趋向无穷远处。在II区，等倾线方程为，即一簇平行线。在III区，等倾线方程为。当时，当时，当时，因此相轨迹汇合到水平线并趋向无穷远处。当a = 0时，不存在II区，可形成极限环。（2）时，变量x的方程：在I区，等倾线方程为。当时，当时，当时，因此相轨迹汇合到水平线并趋向无穷远处。在II区，等倾线方程为。当时，当时，当时，因此相轨迹汇合到水平线并趋向无穷远处。在III区，等倾线方程为。当时，当时，当时，因此相轨迹汇合到水平线并趋向无穷远处。可见相轨迹形成一个稳定的极限环。（1）（2）6-4 如图所示二阶系统，非线性部分k1，输入。试用等倾线法做出变量
33、x的相平面图，分析极限环的形成情况。题6-4图解：由图列出系统变量的方程：，即。再由得到变量x的微分方程：在I区，等倾线方程为。当时，当时，当时，因此相轨迹汇合到水平线并趋向无穷远处。在III区，等倾线方程为。当时，当时，当时，因此相轨迹汇合到水平线并趋向无穷远处。在II区，作变量替换，系统方程变为。奇点z0（xT）是稳定的焦点。当Ta时，I区和III区的相轨迹进入II区，但是II区的奇点xT在I区，因此相轨迹将在I区和II区循环，形成极限环。6-5 如图所示非线性系统中，继电特性输出幅值M=4.7。（1）如果继电器特性的a=0，求系统的自持振荡周期和振幅。（2）a为何值时，系统无自持振荡？题
34、6-5图解： 设正弦输入信号的幅值为A。死区继电器特性描述函数为：其负倒描述函数为实数。系统频率特性，产生自持振荡的条件是，即。因此分析系统自持振荡就是确定和的交点。线性部分的频率特性为画出其Nyquist图。当，即时，与实轴相交，交点为。（1）a=0时，当A从变化时，从。时，与相交，交点为实轴的2/3，即，得到。因此自持振荡周期，振幅。（2）a0时，当A从变化时，从，其中时达到最大值。如果，则和不相交。因此时，系统无自持振荡。6-6已知非线性系统结构图如图所示，其中Mh1，。当K取何值时，系统会产生自振？题6-6图解：输入为正弦信号时，非线性元件的描述函数与频率无关，可以看作常数。由梅森公式
35、写出闭环系统的传递函数为闭环系统特征方程为，即由Nyquist判据可知，当在右半平面没有零极点时，要使系统稳定，要求曲线与不相交。两位置滞环继电器特性的描述函数负倒描述函数为再由将代入得到作出s平面图如下。下面计算曲线与虚轴的交点。令实部为0，即，得到。此时就是曲线与虚轴的交点。当时，交点为0；当时，交点也为0。因此当K由变化时，交点由0向虚轴负无穷方向移动，达到最大值后又向0移动。当交点位于虚轴时，曲线与不相交，系统稳定。临界的K值满足即解得即，根据前面分析，当时，系统产生自振，频率。6-7已知非线性系统结构图如图所示，。当K取何值时，系统会产生自振？题6-7图解：前面已经得到饱和非线性特性
36、的描述函数为当Aa时取最小值k，作出G(i)平面图如下。下面计算曲线与负实轴的交点。令虚部为0，即，得到。此时当时，交点为0；当时，交点为5/3。因此当K由变化时，交点由0向5/3移动。当交点位于实轴时，曲线与不相交。临界点的K值满足解出K6。根据前面分析，当K6时，系统产生自振。6-8 已知非线性速度反馈系统如图所示。利用MATLAB的辅助，求系统单位阶跃响应的解析表达式。题6-8图解：系统的闭环传递函数为（1）当时，系统为欠阻尼系统（），单位阶跃响应为借助MATLAB可知当t1.294时。此时（2）当，即tt01.294时，系统微分方程为作拉普拉斯变换得到得到系统响应总之，系统单位阶跃响应
37、为7-1 求如下信号的频谱。（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：控制系统中的信号都是指时函数。以下信号不考虑频谱中的奇异信号。（1）（2）（3）（4）（5）（6）7-2 对题7-1的信号进行采样，采样频率为T=0.1秒，（1）求采样信号的频谱。（2）求采样信号的z变换。解：（1）（2）（3）（4）（5），7-3 已知连续信号的拉普拉斯变换如下，对信号进行频率为T=0.1秒采样后，求采样信号的z变换。（1） （2）（3）（4）解：（1）（2）（3）（4）7-4 已知离散系统的差分方程如下，求系统在初始状态y(0)=2，y(1)=1和输入下的响应。（1）（2）解：（1）对差分方程的每一项进行z
38、变换得到：代入状态和输入得到作z反变换得到（2）对差分方程的每一项进行z变换得到：代入状态和输入得到作z反变换得到7-5 已知离散系统的闭环特征方程如下，验证闭环系统的稳定性。（1）（2）解：作双线性变换。用Routh判据判断稳定性。（1）方程变为即。由Routh判据知系统不稳定。（2）方程变为即。由Routh判据知系统不稳定。7-6 一个二阶采样系统的方块图如图，采样周期T0.1s。（1）求使系统稳定的放大系数K。（2）如果没有采样开关和零阶保持器，K的取值是否影响系统稳定性？题7-6图解：（1）按照以下步骤计算K的稳定范围。a. 计算系统开环脉冲传递函数。其中。（2）求出系统闭环特征多项式
39、。（3）作双线性变换，用Routh判据计算K的取值范围。T0.1s时，当0K23.9时系统稳定。（2）如果没有采样开关和零阶保持器，闭环系统为典型二阶系统，无论K取何值系统均稳定。7-7 已知采样系统的结构如图所示，所有采样周期均为T0.1s。求对输出 y(t) 进行采样后得到的信号的z变换式。 (a) (b)题7-7图解：（a）由图可列出因此。（b）记图中采样开关后的信号为。由图可列出得到因此7-8 典型采样系统如图所示，其中被控对象，采样时间T=0.1秒。（1）试设计单位阶跃输入下的最少拍控制器C(z)，并用Simulink仿真系统输出，观察输出的纹波。（2）试设计有限拍控制器C(z)，使
40、系统在单位阶跃输入下经过2拍后输出稳定且无纹波。题7-8图解：（1）将被控对象离散化在单位阶跃输入下，v=1，控制器为（2）设计有限拍控制器，先计算。控制器的传递函数为。用Simulink仿真的结构图如下。7-9极点配置：在5.7节所述的极点配置设计完全可以应用于离散系统的控制器设计。把图5-29中的传递函数改为脉冲传递函数，连续时间信号改为离散时间信号，设过程脉冲传递函数为参考输入uc指令至输出y的理想的闭环系统脉冲传递函数为考虑对消过程零点和不对消过程零点两种情况，分别求控制器多项式，和。解（一）对消过程零点(1)， （2）取，令，得到多项式和 的Diophantine方程比较方程各次幂的系数，给出若，方程有解，为，控制器的多项式，和为（二）不对消过程零点(1)， （2）取，令，得到多项式和 的Diophantine方程把z=-b1/b0代入，解出比较Diophantine方程z的2次和0次幂的系数，给出 控制器的多项式，和为
