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1、概率论与数理统计（经管类） 柳金甫、王义东 主编， 武汉大学出版社 2006年版第一章 随机事件与概率 第二章 随机变量及其概率分布 第三章 多维随机变量及其概率分布 第四章 随机变量的数字特征 第五章 大数定律及中心极限定理 第六章 统计量及其抽样分布 第七章 参数估计 第八章 假设检验 第九章 回归分析前言本课程包括两大部分：第一部分为概率论部分：第一章至第五章，第五章为承前启后章，第二部分为数理统计部分：第六章至第九章。第一章随机事件与概率本章概述.内容简介本章是概率论的基础部分，所有内容围绕随机事件和概率展开，重点内容包括：随机事件的概念、关系及运算，概率的性质，条件概率与乘法公式，事
2、件的独立性。本章内容1.1 随机事件 1.随机现象：确定现象：太阳从东方升起，重感冒会发烧等；不确定现象：随机现象：相同条件下掷骰子出现的点数：在装有红、白球的口袋里摸某种球出现的可能性等；其他不确定现象：在某人群中找到的一个人是否漂亮等。结论：随机现象是不确定现象之一。2.随机试验和样本空间随机试验举例：E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。E2：掷一枚骰子，观察出现的点数。E3：记录110报警台一天接到的报警次数。E4：在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命。E5：记录某物理量（长度、直径等）的测量误差。E6：在区间0，1上任取一点，记录它的坐标。随机试验的特点：试验的可重复性；
3、全部结果的可知性；一次试验结果的随机性，满足这些条件的试验称为随机试验，简称试验。样本空间：试验中出现的每一个不可分的结果，称为一个样本点，记作。所有样本点的集合称为样本空间，记作。举例：掷骰子：1，2，3，4，5，6,1，2，3，4，5，6；非样本点：“大于2点”，“小于4点”等。3.随机事件：样本空间的子集，称为随机事件，简称事件，用A,B,C,表示。只包含一个样本点的单点子集称为基本事件。必然事件：一定发生的事件，记作不可能事件：永远不能发生的事件，记作4.随机事件的关系和运算由于随机事件是样本空间的子集，所以，随机事件及其运算自然可以用集合的有关运算来处理，并且可以用表示集合的文氏图来
4、直观描述。（1）事件的包含和相等包含：设A，B为二事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含事件A，或事A包含于事件B，记作，或。性质：例：掷骰子，A：“出现3点”，B：“出现奇数点”，则。注：与集合包含的区别。 相等：若且，则称事件A与事件B相等，记作AB。（2）和事件概念：称事件“A与B至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件，或称为事件A与事件B的并，记作或AB。解释：包括三种情况A发生，但B不发生，A不发生，但B发生，A与B都发生。性质：，；若；则。推广：可推广到有限个和无限可列个，分别记作和举例：A：“掷骰子出现的点数小于3”与B：“掷骰子点数大于4”则AB1，2，5，6（3）积事
5、件概念：称“事件A与事件B同时发生”为事件A与事件B的积事件，或称为事件A与B的交，记作AB或AB。如需精美完整排版，请QQ: 1273114568解释：AB只表示一种情况，即A与B同时发生。性质：，； 若，则ABA。推广：可推广到有限个和无限可列个，分别记作和。举例：A：“掷骰子出现的点数小于5”与B：“掷骰子点数大于2”则AB3, 4 （4）差事件概念：称“事件A发生而事件B不发生”为事件A与事件B的差事件，记作AB. 性质： A； 若，则AB。举例：A：“掷骰子出现的点数小于5”与B：“掷骰子点数大于2”则AB1，2（5）互不相容事件概念：若事件A与事件B不能同时发生，即AB，则称事件A
6、与事件B互不相容。推广：n个事件A1，A2，An两两互不相容，即AiAj，ij，i，j1，2，n。举例：A：“掷骰子出现的点数小于3”与B：“掷骰子点数大于5”则A与B互不相容。（6）对立事件：概念：称事件“A不发生”为事件A的对立事件，记做.解释：事件A与B互为对立事件，满足：AB；AB举例：A：“掷骰子出现的点数小于3”与B：“掷骰子点数大于2”则A与B相互对立性质：；，；ABAAB；如需精美完整排版，请QQ: 1273114568 注意：教材第5页的第三条性质有误。A与B相互对立A与B互不相容.小结：关系：包含，相等，互不相容，互为对立；运算：和，积，差，对立.（7）事件的运算性质（和、
7、积）交换律ABBA，ABBA；（和、积）结合律（AB）CA（BC），（AB）CA（BC）；（和、积）分配律A（BC）（AB）（AC）；A（BC）（AB）（AC）对偶律；.例1习题1.1，5（1）（2）设A，B为两个随机事件，试利用事件的关系与运算证明：证明：证明：例2.习题1.1，6请用语言描述下列事件的对立事件：（1）A表示“抛两枚硬币，都出现正面”；答案：“抛两枚硬币，至少有一枚出现反面”。（2）B表示“生产4个零件，至少有1个合格”。答案：“生产4个零件，没有1个是合格的”。1.2概率 1.频率与概率（1）频数与频率：在相同条件下进行n次试验，事件A发生nA次，则称nA为事件A发生的频数
8、；而比值nA/n称为事件A发生的频率，记作fn（A）.（2）fn（A）的试验特性：随n的增大，fn（A）稳定地趋于一个数值，称这个数值为概率，记作P（A）.（3）由频率的性质推出概率的性质推出，推出P（）0，P（）1A，B互不相容，推出P（AB）=P（A）P（B），可推广到有限多个和无限可列多个. 如需精美完整排版，请QQ: 1273114568 2.古典概型概念：具有下面两个特点的随机试验的概率模型，称为古典概型：基本事件的总数是有限个，或样本空间含有有限个样本点；每个基本事件发生的可能性相同。计算公式：例3.P9例18。抛一枚均匀硬币3次，设事件A为“恰有1次出现正面”，B表示“3次均出现
9、正面”，C表示“至少一次出现正面”，试求P（A），P（B），P（C）。解法1设出现正面用H表示，出现反面用T表示，则样本空间=HHH，THH，HTH，HHT，TTH，THT，HTT，TTT，样本点总数n=8，又因为A=TTH，THT，HTT，B=HHH，C=HHH，THH，HTH，HHT，TTH，THT，HTT，所以A，B，C中样本点数分别为rA=3，rB=1，rc=7，则解法2抛一枚硬币3次，基本事件总数n=23，事件A包含了3个基本事件：“第i次是正面，其他两次都是反面”，i1，2，3，而且rA=3。显然B就是一个基本事件，它包含的基本事件数rB=1它包含的基本事件数rC=n-rB=23-
10、1=7，故例4.P10例112。一批产品共有100件，其中3件次品。现从这批产品中接连抽取两次，每次抽取一件，考虑两种情况：（1）不放回抽样，第一次取一件不放回，第二次再抽取一件；（2）放回抽样，第一次取一件检查后放回，第二次再抽取一件。试分别针对上述两种情况，求事件A“第一次抽到正品，第二次抽到次品”的概率。解：（1）（2）3.概率的定义与性质（1）定义：设是随机试验E的样本空间，对于E的每一个事件A赋予一个实数，记为P（A），称P（A）为事件A的概率，如果它满足下列条件：P（A）0；P（）1；设，是一列互不相容的事件，则有.（2）性质 ，；对于任意事件A，B有；.如需精美完整排版，请QQ:
11、 1273114568设P（A）=0.7，P（B）=0.6，P（AB）0.3，求解：（1）P（AB）P（A）P（AB）P（AB）P（A）P（AB）0.70.30.4例6.习题1.213设A，B，C为三个随机事件，且P（A）P（B）P（C），P（AB）P（BC），P（AC）0。求：（1）A，B，C中至少有一个发生的概率；（2）A，B，C全不发生的概率。解：（1）“A，B，C至少有一个发生”表示为ABC，则所求概率为P（ABC）P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）P（AC）P（BC）+P（ABC）1.3条件概率 1.条件概率与乘法公式条件概率定义：设A，B为两个事件，在已知事件B发生的条件下，
12、事件A发生的概率，称为事件B发生条件下事件A发生的条件概率，记做P（A|B）.例7P13例117.某工厂有职工400名，其中男女职工各占一半，男女职工中技术优秀的分别为20人与40人，从中任选一名职工，试问：（1）该职工技术优秀的概率是多少？（2）已知选出的是男职工，他技术优秀的概率是多少？解：设A表示“选出的职工技术优秀”，B表示“选出的职工为男职工”。按古典概型的计算方法得：（1）（2）计算公式：设AB为两个事件，且P（B）0，则。乘法公式：当P（A）0时，有P（AB）P（A）P（B|A）；当P（B）0时，有P（AB）P（B）P（A|B）.推广：设P（AB）0，则P（ABC）P（A）P（B
13、|A）P（C|AB）设，则例8P15例122.盒中有5个白球2个黑球，连续不放回地在其中取3次球，求第三次才取到黑球的概率。解：设Ai（i=1，2，3）表示“第i次取到黑球”，于是所求概率为2.全概率公式与贝叶斯公式（1）划分：设事件，满足如下两个条件：，互不相容，且，i1，2，n；，即，至少有一个发生，则称，为样本空间的一个划分。当，为样本空间的一个划分时，每次试验有且仅有其中一个发生。（2）全概公式：设随机试验的样本空间为，为样本空间的一个划分，B为如需精美完整排版，请QQ: 1273114568证明：注意：当0P（A）0，则，i1，2，n.注意：在使用贝叶斯公式时，往往先利用全概公式计算
14、P（B）；理解贝叶斯公式“后验概率”的意义.例题11P17例128【例1-28】在例1-25的假设下，若任取一件是废品，分别求它是由甲、乙、丙生产的概率。解：由贝叶斯公式，例题12P17例129【例1-29】针对某种疾病进行一种化验，患该病的人中有90%呈阳性反应，而未患该病的人中有5%呈阳性反应，设人群中有1%的人患这种病，若某人做这种化验呈阳性反应，则他患这种疾病的概率是多少？解：设A表示“某人患这种病”，B表示“化验呈阳性反应”，则P（A）=0.01，P（B|A）=0.9，由全概率公式得=0.010.9+0.990.55=0.0585再由贝叶斯公式得 1.4 事件的独立性 1.事件的独立
15、性（1）概念：若P（AB）P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立，简称A，B独立。解释：事件A，B相互独立的含义是：尽管A，B同时发生，事件A发生的概率对事件B发生的概率没有影响，如“两个同时射击的射击员击中靶子的环数”，“两个病人服用同一种药物的疗效”等。因此，在实际应用中，往往根据实际情况来判断事件的独立性，而不是根据定义。（2）性质： 设P（A）0，则A与B相互独立的充分必要条件是。证明： 若A与B相互独立，则A与，与B，与都相互独立。证明： 只证，B相互独立则只需证=P（B）-P（AB）=P（B）-P（A）P（B）=P（B）1-P（A）从而得证。例题1.P19【例130】两射手彼
16、此独立地向同一目标射击。设甲射中目标的概率为0.9，乙射中目标的概率为0.8，求目标被击中的概率。解 设A表示“甲射中目标”，B表示“乙射中目标”，C表示“目标被击中”，则C=AB。P（C）=P（AB）如需精美完整排版，请QQ: 1273114568由题意，A，B相互独立P（AB）=P（A）P（B）=1-0.10.2=0.98注：A，B相互独立时，概率加法公式可以简化为。例题2.P19【例131】袋中有5个白球3个黑球，从中有放回地连续取两次，每次取一个球，求两次取出的都是白球的概率。 解：设A表示“第一次取球取到白球”，B表示“第二次取球取到白球”，由于是有放回抽取，A与B是相互独立的。所求
17、概率为P（AB）=P（A）P（B）=点评：有放回：第一次不管抽取的是什么球，对第二次抽取没影响。显然，两次抽取是相互独立的。不放回：第一次取到白球概率就是，第二次再取到白球的概率是。显然，两次抽取不是相互独立的。注：如果是“有放回”，则两次取球就不是相互独立的。（3）推广： 3个事件相互独立：设A，B，C为3个事件，若满足P（AB）P（A）P（B）， P（AC）P（A）P（C）， P（BC）P（B）P（C），P（ABC）P（A）P（B）P（C）则称A，B，C相互独立，简称A，B，C独立。 3个事件两两相互独立：设A，B，C为3个事件，若满足 P（AB）P（A）P（B）， P（AC）P（A）P（
18、C）， P（BC）P（B）P（C），则称A，B，C两两相互独立。显然，3事件相互独立必有3事件两两相互独立，反之未必。 n个事件相互独立：设A1，A2，An为n个事件，若对于任意整数k（1kn）和任意k个整数1i1 i2ikn满足则称A1，A2，An相互独立，简称A1，A2，An独立。例题3.P21【例134】3门高射炮同时对一架敌机各发一炮，它们的命中率分别为0.1，0.2，0.3，求敌机恰中一弹的概率。解：设Ai表示“第i门炮击中敌机”，i=1，2，3，B表示“敌机恰中一弹”。 其中，互不相容，且A1，A2，A3相互独立，则=0.10.80.7+0.90.20.7+0.90.80.3=0.
19、3982.n重贝努利试验 （1）概念：如果一次试验只有两个结果：事件A发生或不发生，且P（A）p（0p0，P（B）0，则下列各式中错误的是（）A.P（A）1P（）B.P（AB）P（A）P（B）C.P（）1D.P（AB）1答案：B 2.（402）设A，B为两个随机事件，且P（A）0，则（）A.P（AB）B.P（A）C.P（B）D.1答案：D 3.（701）从标号为1，2，101的101个灯泡中任取一个，则取得标号为偶数的概率是（）A.50/101B.51/101C.50/100 D.51/100答案：A4.（702）设事件A，B满足P（A）0.2，P（A）0.6， 则P（AB）（）A.0.12B
20、.0.4C.0.6 D.0.8答案：B 5.（704）设每次试验成功的概率为p（0P1），则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为（）A.1（1p）3B.p（1p）2 C.D.pp 2p 3答案：A 6.（411）设事件A， B相互独立，且P（A）=O.2， P（B）=0.4，则P（AB）_。答案：0.52 解析：P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）如需精美完整排版，请QQ: 12731145687.（414）一批产品，由甲厂生产的占，其次品率为5%，由乙厂生产的占，其次品率为10%，从这批产品中随机取一件，恰好取到次品的概率为_。如需精美完整排版，请QQ: 1273114568解析：设A1表示“甲厂生产”，A2表示“乙厂生产”B：“次品”8.（427）设P（A）0.4， P（B）0.5， 且P（）0.3， 求P（AB）。答案：0.05 解析：=0.059.（1014）20件产品中，有2件次品，不放回地从中连续取两次，每次取一件产品，则第二次取到正品的概率为_。答案： 解析：第二次取正品=一次且二正一正且二正P二正=P一次且二正+P一正且二正=第二章随机变量及其概率分布
