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1、第一章（函数）之内容方法函数是数学中最重要的基本概念之一。它是现实世界中量与量之间的依赖关系在数学中的反映，也是高等数学的主要研究对象。本章主要阐明函数的概念，函数的几个简单性态，反函数，复合函数，初等函数及函数关系的建立等。重点是函数的概念与初等函数，难点是复合函数。12函数的概念函数的定义：y=f(x)(xD),其中x是自变量，f为对应法则，y为因变量，D是定义域。（对任意）xD,$!(有唯一)y与x对应。y所对应的取值范围称为函数的值域。当自变量x取平面的点时，即x=(x1,x2)时，f(x)是二元函数；当x取空间中的点x=(x1,x2,x3)时，f(x)是三元函数。函数的表示法主要有两
2、种。其一是解析法，即用代数式表达函数的方法。例如y=f(x)=ex,符号函数，其中后者是分段函数。其二是图示法。如一元函数可表示为平面上的一条曲线，二元函数可表示为空间中的一张曲面等。给定一个函数y=f(x)，则会求函数的定义域，值域，特殊点的函数值等是最基本的要求。应综合考虑分母不能为0，偶次根式中的表达式应大于等于0，对数函数的真数应大于0等情形。13函数的简单性态1单调性：称函数f(x)在区间I（含于定义域内）单调增，若x1,x2I,当x1x2时f(x1)f(x2);称函数在区间I（含于定义域内）单调减，若x1,x2I,当x11,a1),定义域为（-,+）,值域为(0,+).当a1时，函
3、数为单调增；当0a1,a1), 它是指数函数的反函数。其定义域为(0,+),值域为(-,+),图像始终经过点（1,0）。当a1时，函数为单调增；当0a1时，函数为单调减。特别地，以e为底的对数函数称为自然对数，记为y=lnx.自然对数在高等数学的学习中占有很重要的地位。3幂函数：y=xa(a为任意实数)。其定义域、值域、单调性等应视a的取值而定。注意，一般地有或。所以y=ealnx.可见，幂函数是指数函数y=eu和对数函数u=alnx的复合函数。4三角函数正弦函数：y=sinx, -x+, 值域为-1,1,它是周期为2p的奇函数。余弦函数：y=cosx, -x+, 值域为-1,1,它是周期为2
4、p的奇函数。正切函数：y=tgx, x(2k+1)p/2,k=0,1, 值域为（-,+）, 周期为p，它在内单调增，它为奇函数。余切函数：y=ctgx,xkp,k=0,1, 周期为p的奇函数。它在（0,p）内单调减。正割函数：y=secx,x(2k+1)p/2, k=0,1,其周期为2p。余割函数：y=cscx, xkp,k=0,1, 周期为2p。5反三角函数反正弦函数：y=arcsinx, x-1,1, 值域为-p/2,p/2,它为单调增的奇函数。反余弦函数：y=arccosx, x-1,1, 值域为0,p, 它为单调减的偶函数。反正切函数：y=arctgx, x(-,+),值域为-p/2,
5、p/2,它为单调增的奇函数。反余切函数：y=arcctgx, x(-,+),值域为0,p,它为单调减的奇函数。1-7 函数关系的建立运用数学工具解决实际问题时，往往需要先找出问题中变量之间的函数，然后对它进行研究，这是解决实际问题重要的一步。至于如何建立函数关系，并无一定的法则可循，只能根据具体问题作具体处理。第一章（函数）之例题解析例1.1已知函数。求f(x)的定义域及f(-x2).解：由x0 及1-x20得，其定义域为-1,0)(0,1;例1.2证明：f (x)=sinx在(-p/2,p/2)内单调增。证明：设x1,x2(-p/2,p/2),x1m内可导（对而言）且。（2）为型或型未定式。
6、（3）（为实数或=）则。此方法称为罗彼塔法则。应用此法求极限时应特别注意三点：（1）先判断所求极限是型或型未定式。（2）若用此法一次后仍然为未定式，则可以连续使用，直到求出为止。（3）对型未定式，由可化为型；对于0 型未定式，由或可化为型或型未定式；对于型，型及型未定式，由可化为0 型。4-3 函数的单调性与极值判断函数的单调性时，以前只会用其定义。学习微积分后，可以使用导数这一工具来判断。其理论依据还是拉格朗日中值定理。函数增减性的判定：设在上连续，在内可导。(1)在上f(x)单调增在内；(2)在上f(x)单调减在内；(3)在上f(x)为常数在内；这样，在求函数的单调性区间时，应求出的点（称
7、为驻点）。驻点将定义域分成若干区间，在每个区间上判断的符号。与单调性紧密相关的是函数的极值。极值的定义：如果在的某邻域内恒有，则称在取得极大值，称为极大值点；类似地，若很有，则称在取得极小值，称为极小值点。该定义是非常直观的。而且由导数的定义可得出为极值点的一个必要条件。极值必要条件：如果函数在可导，且在取得极值，那么。只是可导函数在取极值的必要条件，而非充分条件。如立方抛物线在处，但0不是极值点。另外，在导数不存在的点也可能取得极值。例如在处导数不存在，但是极小值点。驻点和导数不存在的点统称为临界点。对于临界点，有两个用来判断其是否为极值的充分条件。极值充分条件一：设函数在连续，且在的去心邻
8、域内可导，(1)当x时，那么在取得极大值；(2)当x时，那么在取得极小值；(3)当x时不变号，则在不取得极值；极值充分条件二：设函数在有二阶导数，且但，则(1)当时，在取得极小值；(2)当时，在取得极大值。4-4 函数的最大、最小值及其应用问题函数在区间内的最大值的求法：求函数的各临界点，计算各临界点得函数值并两端点的函数值比较即可得出其最大、最小值。对于许多实际应用问题，根据经验知它必有最值，而在其定义域区间又只有一个极值，则该极值必是最值。4-5 曲线的凹凸与拐点从曲线上凹和下凹的直观图形可给出其数学定义。凹向：一个可导函数的图形，如果在区间I的曲线都位于该曲线某一点处切线的上方（下方），
9、那么称在区间I上凹（下凹）。判定曲线凹向的方法：(1)在使的区间，曲线上凹；(2)在使的区间，曲线下凹。拐点：一条处处具有切线的连续曲线的上凹与下凹部分的分界点称为曲线拐点。拐点判定法：设连续函数在的某邻域内二阶可导，且或不存在，而在的左、右邻域内分别有确定的符号，如果在这邻域内(1)当x时异号，那么(,)是曲线的拐点。(2)当x时同号，那么(,)不是曲线的拐点。4-6 函数作图基于前几节对函数性态的讨论，可以画出函数的略图。具体步骤如下：(1)确定函数的定义域，间断点，奇偶性，周期性，对称性等；(2)求出的一、二阶导数，并求出使，的点和和不存在的点以及，用作分点将的定义域分成若干区间；(3)
10、根据，的正负号，列表讨论函数在上述各区间的单调性、凹向，从而确定出极值点和拐点；(4)讨论函数是否有渐近线。若则是一条水平渐近线；若则是一条垂直渐近线。(5)必要时再确定图形上的几个其它特殊点。并描述出的大致图形。第4章(微分学应用)之例题解析例4.1. 写出函数在区间1，2上的柯西公式，并求出的值。解：在1,2上可导且，由柯西定理得，在(1,2)中至少必有一点使得，即，得。例4.2. 证明当时。证明：设，则在0,x上满足拉格朗日中值定理的条件，根据该定理得，由于f(0) = 0，因此上式即为，又由，有，故成立。例4.3. 求下列极限：12. 3.4.解：使用罗彼塔法则。1234=1例4.4.
11、 已知，试讨论函数的性态。解：1 函数的定义域为2。的根为;的根为;不存在的点为把定义域分成四个区间：。3 在各部分区间内的符号、相应曲线的单调性、凹向、以及极值点和拐点等列表如下：-33-+0-0+单调减下凹单调增下凹极大单调减下凹拐点单调减上凹4 由于，所以有一条水平渐近线和一条铅直渐近线。例4.5. 把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁。问矩形截面的高h和宽b应如何选择才能使得梁的抗弯截面模量最大？解：由力学分析知：矩形梁的抗弯截面模量为.而所以。解得由于梁的最大抗弯截面模量一定存在，而且在（0，d）内部取得；现在，在（0，d）内只有一个根所以当时w的值最大。这时。即。第4章(微分学应
12、用)之自我检测题测4.1单项选择题1.函数在闭区间上满足罗尔定理的全部条件，则使该定理成的=ABCD2.设在点的某邻域内二阶可导，且=0，则0是为的极小值的A必要条件B充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件3.=AeB1CD04.函数在区间内A单调增B单调减C 不增不减D有增有减5.曲线A没有拐点B有一个拐点C有二个拐点D有三个拐点6.若直线是曲线的铅垂渐近线，则ABC D答案1. A2.B3.B4.A5.C6.C测4.2用拉格朗日公式证明:当时，。测4.3求下列极限：12 34答案1.2.13.4. 1测4.4已知，讨论其单调性、极值、凹向及拐点。答案在内单调减，在内单调增；极小值为；在，
13、内是上凹的，在-1，1上是下凹的，拐点是测4.5平面上通过一个已知点引一条直线，要使它在两个坐标轴上的截距都为正，且它们的和为最小，求此直线的方程。答案第5章(不定积分)之内容方法不定积分是微分的逆运算，它是积分学的基础，对不定积分的各种基本计算方法应熟练准确地掌握。本章主要介绍原函数与不定积分的概念及不定积分的各种计算方法。重点是：原函数与不定积分的概念；基本积分方法、换元积分法与分部积分法。难点是：换元积分法。原函数：如果在区间I上有可导函数满足或者，则称为在I上的一个原函数。由定义知，若有一个原函数，则对任意常数C，+C都是的原函数。反之，的任意两个原函数之差都是一个常数。因此的原函数的
14、一般形式为+C。不定积分：设为在区间I的一个原函数，那么在I的原函数的一般表达式+C称为在I的不定积分，记作：。即其中：为积分符号，为被积函数，为被积表达式，x为积分变量，C为积分常数。不定积分的性质：（1）（2）（3）=基本积分公式：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)换元积分法一（凑微分法）：设均连续，那么。凑微分法的关键是要选择一个适当的函数作为新的积分变量。把所求的积分变形成为基本积分公式中已有的形式或便于求出的积分。一定要注意，不定积分在变量替换后的最后结果一定要以原积分变量表达。一些可用凑微分法来探求的不定积分的类型：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)换元法二：设连续，有连续
