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1、2006年普通高等数学招生全国统一考试（全国）理科数学 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分参考公式：如果事件、互斥，那么 球是表面积公式 如果事件、相互独立，那么 其中R表示球的半径 球的体积公式如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 次独立重复试验中恰好发生次的概率： 其中R表示球的半径 第卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则A B C D2函数的最小正周期是A B C D3A B C D4过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为A B C D5
2、已知的顶点、在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在上，则周长是A B6 C D126函数的反函数为ABABA B C D7如图，平面平面，与两平面、所成的角分别为和，过、分别作两平面交线的垂线，垂足为、，则A21 B31 C32 D438函数的图像与函数的图像关于原点对称，则的表达式为A B C D9已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为A B C D10若，则A B C D11设是等差数列的前项和，若，则A B C D12函数的最小值为A190 B171 C90 D45第卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上二、填空题：本大题共4小题，每小题
3、4分，共16分，把答案填在题中横线上13在的展开式中常数项是 （用数字作答）14已知的三个内角、成等差数列，且，则边上的中线的长为 15过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率 16一个社会调查机构就某地居民的月收调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（元）月收入段应抽出 人0.00010.00020.00030.00040.00051000 1500 2000 2500 3000 3500 4000月收入(元)频率/组距三、解
4、答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）已知向量，（1）若，求；（2）求的最大值18（本小题满分12分）某批产品成箱包装，每箱5件一用户在购进该 批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品（1）用表示抽检的6件产品中二等品的件数，求的分布列及的数学期望；（2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率ABCDEA1B1C119（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点（1）证明：为异面直线与的公垂线；
5、（2）设，求二面角的大小20（本小题满分12分）设函数，若对所有的0，都有成立，求实数的取值范围21（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，、是抛物线上的两动点，且过、两点分别作抛物线的切线，设其交点为（1）证明：为定值；（2）设的面积为，写出的表达式，并求的最小值22（本小题满分14分）设数列的前项和为，且方程有一根为，（1）求，；（2）求的通项公式数学试题参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力题号23456789101112答案DDAACBADACAC二、填空题本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧1345 14 15 1625三、解答题17解：（）若ab，则sin
6、cos0，2分由此得 tan1()，所以 ；4分（）由a(sin，1)，b(1，cos)得ab，10分当sin()1时，|ab|取得最大值，即当时，|ab|最大值为112分18解：（）可能的取值为0，1，2，3P(0)P(1)P(2)P(3) 8分的分布列为0123P数学期望为E1.2()所求的概率为pP(2)P(2)P(3) 12分19解法一：ABCDEA1B1C1OF（）设O为AC中点，连接EO，BO，则EOC1C，又C1CB1B，所以EODB，EOBD为平行四边形，EDOB 2分ABBC，BOAC，又平面ABC平面ACC1A1，BO面ABC，故BO平面ACC1A1，ED平面ACC1A1，
7、BDAC1，EDCC1，EDBB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线6分（）连接A1E，由AA1ACAB可知，A1ACC1为正方形，A1EAC1，又由ED平面ACC1A1和ED平面ADC1知平面ADC1平面A1ACC1，A1E平面ADC1作EFAD，垂足为F，连接A1F，则A1FAD，A1FE为二面角A1ADC1的平面角不妨设AA12，则AC2，ABEDOB1，EF，tanA1FE，A1FE60所以二面角A1ADC1为60 12分解法二：（）如图，建立直角坐标系Oxyz，其中原点O为AC的中点设A(a，0，0)，B(0，b，0)，B1(0，b，2c)则C(a，0，0)，C1(a，0，2c)
8、，E(0，0，c)，D(0，b，c) 3分ABCDEA1B1C1Ozxy（0，b，0），(0，0，2c)0，EDBB1又(2a，0，2c)，0，EDAC1， 6分所以ED是异面直线BB1与AC1的公垂线（）不妨设A(1，0，0)，则B(0，1，0)，C(1，0，0)，A1(1，0，2)，(1，1，0)，(1，1，0)，(0，0，2)，0，0，即BCAB，BCAA1，又ABAA1A，BC平面A1AD又E(0，0，1)，D(0，1，1)，C(1，0，1)，(1，0，1)，(1，0，1)，(0，1，0)，0，0，即ECAE，ECED，又AEEDE，EC面C1AD10分cos，即得和的夹角为60所以二
9、面角A1ADC1为60 12分20解法一：令g(x)(x1)ln(x1)ax，对函数g(x)求导数：g(x)ln(x1)1a令g(x)0，解得xea11， 5分(i)当a1时，对所有x0，g(x)0，所以g(x)在0，)上是增函数，又g(0)0，所以对x0，都有g(x)g(0)，即当a1时，对于所有x0，都有f(x)ax 9分(ii)当a1时，对于0xea11，g(x)0，所以g(x)在(0，ea11)是减函数，又g(0)0，所以对0xea11，都有g(x)g(0)，即当a1时，不是对所有的x0，都有f(x)ax成立综上，a的取值范围是（，1 12分解法二：令g(x)(x1)ln(x1)ax，
10、于是不等式f(x)ax成立即为g(x)g(0)成立3分对函数g(x)求导数：g(x)ln(x1)1a令g(x)0，解得xea11， 6分当x ea11时，g(x)0，g(x)为增函数，当1xea11，g(x)0，g(x)为减函数， 9分所以要对所有x0都有g(x)g(0)充要条件为ea110由此得a1，即a的取值范围是（，1 12分21解：()由已知条件，得F(0，1)，0设A(x1，y1)，B(x2，y2)由，即得(x1，1y)(x2，y21)， 将式两边平方并把y1x12，y2x22代入得y12y2 解、式得y1，y2，且有x1x2x224y24，抛物线方程为yx2，求导得yx所以过抛物线
11、上A、B两点的切线方程分别是yx1(xx1)y1，yx2(xx2)y2，即yx1xx12，yx2xx22解出两条切线的交点M的坐标为(，)(，1) 4分所以(，2)(x2x1，y2y1)(x22x12)2(x22x12)0所以为定值，其值为07分()由()知在ABM中，FMAB，因而S|AB|FM|FM|因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y1的距离，所以|AB|AF|BF|y1y222()2于是S|AB|FM|()3，由2知S4，且当1时，S取得最小值422解：()当n1时，x2a1xa10有一根为S11a11，于是(a11)2a1(a11)a10，解得a1当n2时，x2a2xa
12、20有一根为S21a2，于是(a2)2a2(a2)a20，解得a1()由题设(Sn1)2an(Sn1)an0，即Sn22Sn1anSn0当n2时，anSnSn1，代入上式得Sn1Sn2Sn10由()知S1a1，S2a1a2由可得S3由此猜想Sn，n1，2，3，8分下面用数学归纳法证明这个结论(i)n1时已知结论成立(ii)假设nk时结论成立，即Sk，当nk1时，由得Sk1，即Sk1，故nk1时结论也成立综上，由(i)、(ii)可知Sn对所有正整数n都成立10分于是当n2时，anSnSn1，又n1时，a1，所以an的通项公式an，n1，2，3， 12分2006高考数学试题全国II卷理科试题本试卷
13、分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷至页第卷至页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第卷注意事项：答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考号填写清楚，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效球的表面积公式其中表示球的半径球的体积公式其中表示球的半径本卷共小题，每小题分，共分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的参考公式如果事件、互斥，那么如果事件、相互独立，那么如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的
14、概率是一选择题（1）已知集合，则 (D)（A）（B）（C）（D）解析:,用数轴表示可得答案D考察知识点有对数函数的单调性,集合的交集 本题比较容易.（2）函数的最小正周期是(D)（A）（B）（C）（D）解析: 所以最小正周期为,故选D考察知识点有二倍角公式,最小正周期公式 本题比较容易.（3）(A)（A）（B）（C）（D）解析: 故选A本题考察的知识点复数的运算,(乘法和除法),比较简单（4）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为(A)（A）（B）（C）（D）解析:设球的半径为R, 过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面,由勾股定理可得一个半径为的圆
15、,所以,故选A本题主要考察截面的形状和球的表面积公式,难度中等（5）已知的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是 ( C)（A）（B）6（C）（D）12解析(数形结合)由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a,可得的周长为4a=,所以选C本题主要考察数形结合的思想和椭圆的基本性质,难度中等（6）函数的反函数为(B)（A）（B）（C）（D）解析:所以反函数为故选B本题主要考察反函数的求法和对数式与指数式的互化,难度中等（7）如图，平面平面，与两平面、所成的角分别为和过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为、则(A)（A）（B）（C）（D
16、）解析:连接,设AB=a,可得AB与平面所成的角为,在,同理可得AB与平面所成的角为,所以,因此在,所以,故选A本题主要考察直线与平面所成的角以及线面的垂直关系,要用到勾股定理及直角三角形中的边角关系.有一定的难度（8）函数的图像与函数的图像关于原点对称，则的表达式为(D)（A）（B）（C）（D）解析(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y),所以 故选D本题主要考察对称的性质和对数的相关性质,比较简单,但是容易把与搞混,其实（9）已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为(A)（A）（B）（C）（D）解析:双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得,故选A本题主要考察双曲线的渐近线方程和离心率
17、公式,涉及a,b,c间的关系,比较简单（10）若则 =(C)（A）（B）（C）（D）解析:所以,因此故选C本题主要考察函数解析式的变换和三角函数的二倍角公式,记忆的成分较重,难度一般（11）设是等差数列的前项和，若则(A)（A）（B）（C）（D）解析:由等差数列的求和公式可得且所以,故选A本题主要考察等比数列的求和公式,难度一般（12）函数的最小值为(C)（A）190（B）171（C）90（D）45解析:表示数轴上一点到1,2,319的距离之和,可知x在119最中间时f(x)取最小值.即x=10时f(x)有最小值90,故选C本题主要考察求和符号的意义和绝对值的几何意义,难度稍大,且求和符号不在
18、高中要求范围内,只在线性回归中简单提到过.理科数学第卷（非选择题，共90分）注意事项：本卷共2页，10小题，用黑碳素笔将答案答在答题卡上答在试卷上的答案无效二填空题：本大题共小题，每小题分，共分，把答案填在横线上（13）在的展开式中常数项为 45（用数字作答）解析: 要求常数项,即40-5r=0,可得r=8代入通项公式可得本题利用二项式的通项公式(让次数为0,求出r)就可求出答案,比较简单（14）已知的三个内角A、B、C成等差数列，且则边BC上的中线AD的长为 解析: 由的三个内角A、B、C成等差数列可得A+C=2B而A+B+C=可得AD为边BC上的中线可知BD=2,由余弦定理定理可得本题主要
19、考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等（15）过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率解析(数形结合)由图形可知点A在圆的内部, 圆心为O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线,所以本题主要考察数形结合思想和两条相互垂直的直线的斜率的关系,难度中等（16）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（元）月收入段应抽出 25 人解析:由直方图可得（元）月收入段共有人按分层抽
20、样应抽出人本题主要考察直方图和分层抽样,难度一般三解答题：本大题共小题，共分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分分）已知向量（I）若求（II）求的最大值解(1). 当=1时有最大值,此时最大值为本题主要考察以下知识点1.向量垂直转化为数量积为0 2.特殊角的三角函数值3.三角函数的基本关系以及三角函数的有界性 4.已知向量的坐标表示求模难度中等,计算量不大（18）（本小题满分分）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品（I）用表示抽检的6件产品中二等品
21、的件数，求的分布列及的数学期望；（II）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率解(1.) 所以的分布列为0123P的数学期望E()= (2)P()=本题主要考察分布列的求法以及利用分布列求期望和概率,难度对于民族地区学生较大（19）（本小题满分分）如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点（I）证明：ED为异面直线与的公垂线；（II）设求二面角的大小提示:1证明与两条异面直线都垂直相交 利用等腰三角形2 连,由可得为等腰直角三角形,因此在平面内的射影为点所以,所以二面角为(或)本题主要考察以下知识点1.异面直线的公垂线段的定义(与两条异面直线均垂
22、直切相交)2.直棱柱的性质(侧棱垂至于底面) 3.三角形的边的关系4.二面角的求法(可用射影面积或者直接作出二面角) 难度对于民族地区考生较大（20）（本小题分）设函数若对所有的都有成立，求实数的取值范围解析:令 对g(x)求导得令当时,对所有的x0都有,所以上为单调增函数又g(0)=0,所以对 即当所以成立当a1时,对于 所以g(x)在 所以对于即f(x)1时不一定成立综上所述可知a的取值范围是本题主要考察了函数的导数和利用导数判断函数的单调性,涉及分类讨论的数学思想难度较大（21）（本小题满分为分）已知抛物线的焦点为F，A、B是热线上的两动点，且过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M
23、（I）证明为定值；（II）设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值提示 F点的坐标为(0,1)设A点的坐标为 B点的坐标为由可得因此过A点的切线方程为 (1)过B点的切线方程为 (2)解(1)( 2)构成的方程组可得点M的坐标,从而得到=0 即为定值2. =0可得三角形面积 所以当且仅当时取等号本题主要考察共线向量的关系,曲线的切线方程,直线的交点以及向量的数量积等知识点涉及均值不等式,计算较复杂.难度很大（22）（本小题满分分）设数列的前项和为，且方程有一根为（I）求（II）求的通项公式提示:1 为方程的根,代入方程可得将n=1和n=2代入上式可得 2. 求出等,可猜想并用数学归纳法进行证明本题主要考察1.一般数列的通项公式 求和公式间的关系2.方程的根的意义(根代入方程成立)3.数学归纳法证明数列的通项公式(也可以把分开为,可得难道较大,不过计算较易,数列的前面一些项的关系也比较容易发现
