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1、计算机等级考试二级公共基础知识第1章 数据结构与算法1.1 算法1.1.1 算法的基本概念算法是指对解题方案的准确而完整的描述。简单地说，就是解决问题的操作步骤。值得注意的是，算法不等于数学上的计算方法，也不等于程序。在用计算机解决实际问题时，往往先设计算法，用某种表达方式（如流程图）描述，然后再用具体的程序设计语言描述此算法（即编程）。在编程时由于要受到计算机系统运行环境的限制，因此，程序的编制通常不可能优于算法的设计。1.1.1.1 算法的基本特征一般来说，一个算法应具有以下4个基本特征。（1）可行性（Effectiveness）：算法在特定的执行环境中执行，应当能够得出满意的结果，即必须
2、有一个或多个输出。（2）确定性（Definiteness）：算法中的每一个步骤都必须有明确的定义，不允许有模棱两可的解释和多义性。（3）有穷性（Finiteness）：算法必需在有限时间内做完，即算法必需能在执行有限个步骤之后终止。（4）拥有足够的情报：要使算法有效必需为算法提供足够的情报。当算法拥有足够的情报时，此算法才是有效的；而当提供的情报不够时，算法可能无效。1.1.1.2 算法的基本要素通常，一个算法由两种基本要素组成。l对数据对象的运算和操作；l算法的控制结构，即运算或操作时间的顺序。（1）算法中对数据的运算和操作在一般的计算机系统中，基本的运算和操作有以下4类，如表1-1所示。
3、表1-1 4类基本的运算和操作运算类型 操作实 例算术运算、ab、31逻辑运算与（&）、或（）、非（！）！1、10、1&1关系运算ab、a=c 、bc数据传输赋值、输入、输出a=0、b=3（2）算法的控制结构一个算法的功能不仅仅取决于所选用的操作，而且还与各操作之间的执行顺序有关。算法中各操作之间的执行顺序称为算法的控制结构。算法的控制结构给出了算法的基本框架，它不仅决定了算法中各操作的执行顺序，而且也直接反映了算法的设计是否符合结构化原则。描述算法的工具通常有传统流程图、N-S结构化流程图、算法描述语言等。一个算法一般都可以用顺序、选择、循环3种基本控制结构组合而成。1.1.1.3 算法设计
4、的基本方法虽然设计算法是一件非常困难的工作，但是算法设计也不是无章可循，人们经过实践，总结和积累了许多行之有效的方法。常用的几种算法设计方法有列举法、归纳法、递推法、递归法、减半递推技术和回溯法。1.1.1.4 算法设计的要求通常一个好的算法应达到如下目标：（1）正确性（Correctness）正确性大体可以分为以下4个层次：程序不含语法错误；程序对于几组输入数据能够得出满足规格说明要求的结果；程序对于精心选择的典型、苛刻而带有刁难性的几组输入数据能够得出满足规格说明要求的结果；程序对于一切合法的输入数据都能产生满足规格说明要求的结果。（2）可读性（Readability）算法主要是为了方便人
5、的阅读与交流，其次才是其执行。可读性好有助于用户对算法的理解；晦涩难懂的程序易于隐藏较多错误，难以调试和修改。（3）健壮性（Robustness）当输入数据非法时，算法也能适当地做出反应或进行处理，而不会产生莫名其妙的输出结果。（4）效率与低存储量需求效率指的是程序执行时，对于同一个问题如果有多个算法可以解决，执行时间短的算法效率高；存储量需求指算法执行过程中所需要的最大存储空间。1.1.2 算法的复杂度算法的复杂度是算法效率的度量，是评价算法优劣的重要依据。算法复杂度包括算法的时间复杂度和算法的空间复杂的。1.1.2.1 算法的时间复杂度算法的时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量。为了能
6、够比较客观地反映出一个算法的效率，在度量一个算法的工作量时，不仅应该与所使用的计算机、程序设计语言以及程序编制者无关，而且还应该与算法实现过程中的许多细节无关。算法的计算工作量是用算法所执行的基本运算次数来度量的，而算法所执行的基本运算次数是问题规模（通常用整数n表示）的函数。即算法的工作量=f（n）例如，在NN矩阵相乘的算法中，整个算法的执行时间与该基本操作（乘法）重复执行的次数n3成正比，也就是时间复杂度为n3，即f（n）=O（n3）在有的情况下，算法中的基本操作重复执行的次数还随问题的输入数据集不同而不同。例如在起泡排序的算法中，当要排序的数组a初始序列为自小至大有序时，基本操作的执行次
7、数为0；当初始序列为自大至小有序时，基本操作的执行次数为n（n1）/2。对这类算法，可以采用平均性态和最坏情况复杂性两种方法来分析。1.1.2.2 算法的空间复杂度算法的空间复杂度是指执行这个算法所需要的内存空间。一个算法所占用的存储空间包括算法程序所占的空间、输入的初始数据所占的存储空间以及算法执行过程中所需要的额外空间。其中额外空间包括算法程序执行过程中的工作单元以及某种数据结构所需要的附加存储空间。如果额外空间量相对于问题规模来说是常数，则称该算法是原地（in place）工作的。在许多实际问题中，为了减少算法所占的存储空间，通常采用压缩存储技术，以便尽量减少不必要的额外空间。1.2.1
8、 数据结构的定义数据结构是计算机科学与技术领域广泛使用的一个基本术语，用来反映数据的内部构成。在给出数据结构的定义之前，我们先弄清楚几个概念。数据（data）：是对客观事物的符号表示，在计算机科学中是指所有能输入到计算机中并被计算机程序处理的符号的总称。数据元素（data element）：是数据的基本单位，在计算机程序中通常作为一个整体进行考虑和处理。数据对象（data object）：是性质相同的数据元素的集合，是数据的一个子集。简单地说， 数据结构是指相互关联的数据元素的集合，即数据的组织形式。所谓结构，就是指数据元素之间的前后件关系（或称直接前驱与直接后继关系）。例如，在考虑一日三餐的
9、时间顺序关系时，早餐是午餐的前件（或直接前驱），而午餐是早餐的后件（或直接后继）；同样，午餐是晚餐的前件，晚餐是午餐的后件。又例如，在考虑学历的顺序关系时，小学是初中的前件，而初中是小学的后件。同样，初中是高中的前件，高中是初中的后件。前后件关系是数据元素之间的一个基本关系，但前后件关系所表示的实际意义随具体对象的不同而不同。一般来说，数据元素之间的任何关系都可以用前后件关系来描述。数据结构的两个要素-数据和结构是紧密联系在一起的，数据是有结构的数据，而不是无关联的、松散的；而结构就是数据元素间的关系，是由数据的特性所决定的。数据结构作为计算机的一门学科，主要研究和讨论以下三个方面：（1）数据
10、集合中个数据元素之间所固有的逻辑关系，即数据的逻辑结构；（2）在对数据元素进行处理时，各数据元素在计算机中的存储关系，即数据的存储结构；（3）对各种数据结构进行的运算。讨论以上问题的目的是为了提高数据处理的效率，即提高数据处理的速度以及尽量节省在数据处理过程中所占用的计算机存储空间。1.2.1.1 数据的逻辑结构由数据结构的定义可知，一个数据结构应包含以下两方面信息：（1）表示数据元素的信息；（2）表示各数据元素之间的前后件关系。在此定义中，并没有考虑数据元素的存储，所以上述的数据结构实际上是数据的逻辑结构。数据的逻辑结构是对数据元素之间的逻辑关系的描述，它可以用一个数据元素的集合和定义在此集
11、合中的若干关系来表示。数据的逻辑结构有两个要素：一是数据元素的集合，通常记为D；二是D上的关系，它反映了数据元素之间的前后件关系，通常记为R。一个数据结构可以表示成B=（D，R）其中B表示数据结构。为了反映D中各数据元素之间的前后件关系，一般用二元组来表示。例如，如果把一日三餐看作一个数据结构，则可表示成B=（D，R）D=早餐，午餐，晚餐R=（早餐，午餐），（午餐，晚餐）数据的逻辑结构包括线性结构、树型结构图、网状结构图和集合图4种。1.2.1.2 数据的存储结构数据的逻辑结构在计算机存储空间中的存放形式称为数据的存储结构（也称数据的物理结构）。在进行数据处理时，被处理的各数据元素总是被存放在
12、计算机的存储空间中，而且各数据元素在计算机存储空间中的位置关系与它们的逻辑关系可能不同。由于数据元素在计算机存储空间中的位置关系可能与逻辑关系不同，因此，为了表示存放在计算机存储空间中的各数据元素之间的逻辑关系（即前后件关系），在数据的存储结构中，不仅要存放各数据元素的信息，还需要存放各数据元素之间的前后件关系的信息。一种数据的逻辑结构根据需要可以表示成多种存储结构，常用的存储结构有顺序、链接、索引等存储结构。而采用不同的存储结构，其数据处理的效率是不同的。因此，在进行数据处理时，选择合适的存储结构是很重要的。1.2.3 线性结构与非线性结构如果在一个数据结构中一个数据元素都没有，则称该数据结
13、构为空的数据结构。在只有一个数据元素的数据结构中，删除该数据元素，就得到一个空的数据结构；在一个空的数据结构中插入一个新的元素后变成非空。根据数据结构中各数据元素之间前后件关系的复杂程度，一般将数据结构分为两大类型：线性结构与非线性结构。如果一个非空的数据结构满足下列两个条件：（1）有且只有一个根结点；（2）每一个结点最多有一个前件，也最多有一个后件。则称该数据结构为线性结构。线性结构又称为线性表。由此可见，在线性结构中，各数据元素之间的前后件关系是很简单的。需要特别说明的是，在一个线性表中插入或删除任何一个结点后还应是线性结构。如果一个数据结构不是线性结构，则称之为非线性结构。在非线性结构中
14、，各数据元素之间的前后件关系要比线性结构复杂。链式结构是总常用的非线性结构。线性结构与非线性结构都可以是空的数据结构。对于空的数据结构，如果对该数据结构的运算是按线性结构的规则来处理的，则属于线性结构；否则属于非线性结构。1.3.2 线性表的顺序存储结构通常，线性表可以采用顺序存储和链式存储，本小节主要讨论顺序存储结构。线性表的顺序存储指的是用一组地址连续的存储单元依次存储线性表的数据元素。线性表的顺序存储结构具备如下两个基本特征：（1）线性表中的所有元素所占的存储空间是连续的；（2）线性表中各数据元素在存储空间中是按逻辑顺序依次存放的。用顺序存储结构存储的线性表称为顺序表。在顺序表中，其前、
15、后件两个元素在存储空间中是紧邻的，且前件元素一定存储在后件元素的前面。如长度为n的线性表（a1，a2，ai，an）的顺序存储如图1-6所示。在顺序表中，如果每个元素占有K个存储单元，则下标为i+1的元素的存储位置与下标为i的元素的存储位置之间，满足下列关系：ADR（ai+1）=ADR（ai）+K通常把顺序表中第1个数据元素的存储地址ADR（a1）称为线性表的首地址，线性表中第i个元素ai的存储地址为：ADR（ai）=ADR（a1）+（i-1）K例如，在顺序表中存储数据（14，23，25，78，15，68，27），每个数据元素占有2个存储单元，第1个数据元素14的存储地址是200，则第3个数据元
16、素25的存储地址是：ADR（a3）=ADR（a1）+（3-1）2=200+4=204从这种表示方法可以看到，它是用元素在计算机内物理位置上的相邻关系来表示元素之间逻辑上的相邻关系。只要确定了首地址，线性表内任意元素的地址都可以方便地计算出来。1.4.1 栈及其基本运算1栈的定义栈（Stack）是一种特殊的线性表，它所有的插入与删除都限定在表的同一端进行。在栈中，一端是封闭的，既不允许进行插入元素，也不允许删除元素；另一端是开口的，允许插入和删除元素。例如，枪械的子弹匣就可以用来形象地表示栈结构。如图1-9(a)所示，子弹匣的一端是完全封闭的，最后被压入弹匣的子弹总是最先被弹出，而最先被压入的子
17、弹最后才能被弹出。在栈中，允许插入与删除的一端称为栈顶，不允许插入与删除的另一端称为栈底。当栈中没有元素时，称为空栈。例如，没有子弹的子弹匣为空栈。通常用指针top来指示栈顶的位置，用指针bottom来指向栈底。假设栈S=（a1，a2，an），则称a1 为栈底元素，an为栈顶元素。栈中元素按a1，a2，an的次序进栈，退栈的第一个元素应为栈顶元素an。图1-9(b)是栈的入栈、退栈示意图。2栈的特点根据栈的上述定义，栈具有以下特点。栈的修改原则是后进先出（Last In First Out，LIFO） 或先进后出（First In Last Out，FILO），因此，栈也称为后进先出表或先进后
18、出表。3栈的基本运算栈的基本运算包括入栈、退栈和读栈定元素。（1）入栈运算入栈运算是指在栈顶位置插入一个新元素。首先将栈顶指针加1（即top加1），然后将新元素插入到栈顶指针指向的位置。当栈顶指针已经指向存储空间的最后一个位置时，说明栈空间已满，不可能再进行入栈操作。这种情况称为栈上溢错误。（2）退栈运算退栈是指取出栈顶元素并赋给一个指定的变量。首先将栈顶元素（栈顶指针指向的元素）赋给一个指定的变量，然后将栈顶指针减1（即top减1）。当栈顶指针为0时，说明栈空，不可进行退栈操作。这种情况称为栈的下溢错误。（3）读栈顶元素读栈顶元素是指将栈顶元素赋给一个指定的变量。这个运算不删除栈顶元素，只是
19、将它赋给一个变量，因此栈顶指针不会改变。当栈顶指针为0时，说明栈空，读不到栈顶元素。图1-10所示是一个顺序表示的栈的动态示意图。随着元素的插入和删除，栈顶指针top反应了栈的状态不断地变化。1.4.2 队列及其基本运算 1.4.2.1 队列的定义及运算队列也是一种特殊的线性表。队列是指允许在一端进行插入，而在另一端进行删除的线性表。允许进行删除运算的一端称为队头（或排头），允许进行插入运算的一端称为队尾。若有队列：Q=（q1，q2，qn）那么，q1为队头元素（排头元素），qn为队尾元素。队列中的元素是按照q1，q2，qn的顺序进入的，退出队列也只能按照这个次序依次退出，也就是说，只有在q1，
20、q2，qn-1都退队之后，qn才能退出队列。因最先进入队列的元素将最先出队，所以队列具有先进先出的特性，体现先来先服务的原则。队头元素q1是最先被插入的元素，也是最先被删除的元素。队尾元素qn是最后被插入的元素，也是最后被删除的元素。因此，与栈相反，队列又称为先进先出（First In First Out，FIFO） 或后进后出（Last In Last Out，LILO）的线性表。例如，火车进隧道，最先进隧道的是火车头，最后进的是火车尾，而火车出隧道的时候也是火车头先出，火车尾后出。可以用顺序存储的线性表来表示队列，为了指示当前执行退队运算的队头位置，需要一个队头指针（排头指针）front，
21、为了指示当前执行入队运算的队尾位置，需要一个队尾指针rear。排头指针front总是指向队头元素的前一个位置，而队尾指针rear总是指向队尾元素。往队列的队尾插入一个元素称为入队运算，从队列的排头删除一个元素称为退队运算。1.4.2.2 循环队列及其运算在实际应用中，队列的顺序存储结构一般采用循环队列的形式。所谓循环队列，就是将队列存储空间的最后一个位置绕到第一个位置，形成逻辑上的环状空间。在循环队列中，用队尾指针rear指向队列中的队尾元素，用排头指针front指向排头元素的前一个位置。因此，从排头指针front指向的后一个位置直到队尾指针rear指向的位置之间所有的元素均为队列中的元素。一
22、维数组（1:m），最大存储空间为m，数组（1:m）作为循环队列的存储空间时，循环队列的初始状态为空，即front=rear=m，图1-13所示是循环队列初始状态的示意图。循环队列的初始状态为空，即front=rear=m。循环队列主要有两种基本运算：入队运算和退队运算。（1）入队运算入队运算是指在循环队列的队尾加入一个新元素。首先将队尾指针进1（即rear=rear+1），并当rear=m+1时置rear=1；然后将新元素插入到队尾指针指向的位置。例如，在图1-14(a)中进行入队运算，首先队尾指针进1，此时rear=m+1，置rear=1，则在第个位置上插入数据a，见图1-14(b)；当插入
23、第个数据b时，队尾指针进，rear=2，在第2个位置上插入数据b，依此类推，直到把所有的数据元素插入完成，见图1-14(c)所示。（2）退队运算退队运算是指在循环队列的队头位置退出一个元素并赋给指定的变量。首先将队头指针进1（即front=front+1），并当front=m+1时，置front=1；然后将排头指针指向的元素赋给指定的变量。例如，在图1-14(c)中进行退队运算时，排头指针进1（即front+1），此时front=m+1，置front=1，删除此位置的数据，即数据a。1.5.1.1 线性链表的基本概念 在链式存储结构中。存储数据结构的存储空间可以不连续，各数据结点的存储顺序与数
24、据元素之间的逻辑关系可以不一致，而数据元素之间的逻辑关系是由指针域来确定的。链式存储方式既可用于表示线性结构，也可以表示非线性结构。线性表的链式存储结构称为线性链表。由于这种链表中，每个结点只有一个指针域，故又称为单链表。在链式存储方式中，要求每个结点由两部分组成：一部分用于存放数据元素值，称为数据域；另一部分用于存放指针，称为指针域。其中指针用于指向该结点的前一个或后一个结点（即前件或后件）。如图1-15所示。从图1-14(a)和图1-14(c)可以看出，循环队列在队列满时，和队列空时都有front=rear，如何区分循环队列是空还是满的呢？在实际应用中，通常增加一个标志量S，S值的定义如下
25、：循环队列为空时S=0循环队列为非空时S=1由此可以判断队列空和队列满这两种情况。当S=0时，循环队列为空，此时不能再进行退队运算，否则会发生下溢错误。当S=1时，并且front=rear时，循环队列满。此时不能再进行入队运算，否则会发生上溢错误。在定义了S以后，循环队列初始状态为空，表示为：S=0，且front=rear=m。1.6.2.1 二叉树的定义二叉树是由n（n0）个结点的有限集合构成，此集合或者为空集，或者由一个根结点及两棵互不相交的左右子树组成，并且左右子树都是二叉树。二叉树可以是空集合，根可以有空的左子树或空的右子树。二叉树不是树的特殊情况，它们是两个概念。二叉树具有以下两个特
26、点：（1）非空二叉树只有一个根结点；（2）每一个结点最多有两棵子树，且分别称为该结点的左子树与右子树。二叉树的每个结点最多有两个孩子，或者说，在二叉树中，不存在度大于2的结点，并且二叉树是有序树（树为无序树），其子树的顺序不能颠倒，因此，二叉树有5种不同的形态，如图1-26所示。图1-26(a)表示空二叉树；图1-26(b)是仅有根结点的二叉树，即左子树和右子树都为空二叉树；图1-26(c)是左、右子树均非空的二叉树；图1-26(d)是左子树非空，右子树为空的 二叉树；图1-26(e)是右子树非空，左子树为空的二叉树。在二叉树中，当一个非根结点的结点，既没有右子树，也没有左子树时，该结点即是叶
27、子结点。1.6.2.2 二叉树的基本性质二叉树具有以下几个性质：性质1：在二叉树的第k层上至多有2k-1（k1）个结点。性质2：深度为m的二叉树至多有2m-1个结点。深度为m的二叉树表示该二叉树共有m层。根据性质1，只要将第1层到第m层上的最大的结点数相加，就可以得到整个二叉树中结点数的最大值，及21-1+22-1+2m-1=2m-1。性质3： 对任何一棵二叉树，度为0的结点（即叶子结点）总是比度为2的结点多一个。证明：设一棵非空二叉树中有n个结点，叶子结点个数为n0，度为1的结点个数为n1，度为2的结点个数为n2。所以：n=n0n1n2 （1）在二叉树中，除根结点外，其余每个结点都有且仅有一
28、个前件（直接前驱）和一条从其前件结点指向它的边。假设边的总数为B，则二叉树中总的结点数为：nB1 （2）由于二叉树中的边都是由度为1和度为2的结点发出的。所以有：B=n1n22 （3）综合（1）、（2）、（3）式，可得：n0=n2 +1性质4： 具有n个结点的完全二叉树的深度至少为log2n+1，其中log2n表示log2n的整数部分。1.6.2.3 满二叉树与完全二叉树满二叉树和完全二叉树是两种特殊形态的二叉树。（1）满二叉树满二叉树是指除最后一层外，每一层上的所有结点都有两个子结点。即在满二叉树的第k层上有2k-1个结点。从上面满二叉树定义可知，必须是二叉树每一层上的结点数都达到最大，否则
29、就不是满二叉树。深度为m的满二叉树有2m-1个结点。图1-23是两棵满二叉树。图1-23(a)是深度为3的满二叉树，图1-23(b)是深度为4的满二叉树。 图1-23 满二叉树在满二叉树中，只有度为2和度为0的结点，没有度为1的结点。所有度为0的结点即叶子结点都在同一层，即最后一层。（2）完全二叉树完全二叉树是指除最后一层外，每一层上的结点数均达到最大值；在最后一层上只缺少右边的若干结点。完全二叉树也可以这样来描述：如果对满二叉树的结点进行连续编号，从根结点开始，对二叉树的结点自上而下，自左至右用自然数进行连续编号，则深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中
30、编号从1到n的结点一一对应时，称之完全二叉树。由完全二叉树可知，满二叉树一定是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树。图1-28(a)是深度为3的3棵完全二叉树，图1-28(b)是深度为4的一棵完全二叉树。 完全二叉树还具有以下两个性质：性质1：具有n个结点的完全二叉树深度为log2n+1。性质2： 如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号（从第1层到第log2n+1层，每层从左到右）,则对任一结点k（1kn），有： 如果k1，则结点k父结点，是二叉树的根；如果k1，则该结点的父结点编号为INT（k/2）； 如果2kn，则结点k的左子结点编号为2k；否则该结点没有左子结点（显然也没有右
31、子结点）； 如果2k+1n，则结点k的右子结点编号为2k+1；否则该结点没有右子结点。1.6.3 二叉树的遍历二叉树的遍历是指不重复地访问二叉树中的所有结点。在遍历二叉树的过程中，一般先遍历左子树，再遍历右子树。在先左后右的原则下，根据访问根结点的次序不同，二叉树的遍历可以分为3种：前序遍历、中序遍历、后序遍历。1前序遍历前序遍历中前的含义是：访问根结点在访问左子树和访问右子树之前。即首先访问根结点，然后遍历左子树，最后遍历右子树；并且在遍历左子树和右子树时，仍然先访问根结点，然后遍历左子树，最后遍历右子树。前序遍历可以描述为：若二叉树为空，则执行空操作；否则访问根结点，前序遍历左子树，前序遍
32、历右子树。例如，对图1-30中的二叉树进行前序遍历的结果（或称为该二叉树的前序序列）为：A，B，D，H，E，I，C，F，G。2中序遍历中序遍历中中的含义是：访问根结点在访问左子树和访问右子树两者之间。即首先遍历左子树，然后访问根结点，最后遍历右子树。并且在遍历左子树和右子树时，仍然首先遍历左子树，然后访问根结点，最后遍历右子树。中序遍历可以描述为：若二叉树为空，则执行空操作；否则中序遍历左子树，访问根结点，中序遍历右子树。例如，对图1-30中的二叉树进行中序遍历的结果（或称为该二叉树的中序序列）为：H，D，B，E，I，A，C，G，F。3后序遍历后序遍历中后的含义是：访问根结点在访问左子树和访问
33、右子树之后。即首先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根结点；并且在遍历左子树和右子树时，仍然首先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根结点。后序遍历可以描述为：若二叉树为空，则执行空操作；否则后序遍历左子树，后序遍历右子树，访问根结点。例如，对图1-30中的二叉树进行后序遍历的结果（或称为该二叉树的后序序列）为：H，D，I，E，B，G，F，C，A。1.7.1.1 顺序查找顺序查找（顺序搜索）是最简单的查找方法，它的基本思想是：从线性表的第一个元素开始，逐个将线性表中的元素与被查元素进行比较，如果相等，则查找成功，停止查找；若整个线性表扫描完毕，仍未找到与被查元素相等的元素，则表示线性表中没有
34、要查找的元素，查找失败。在进行顺序查找过程中，如果线性表中的第一个元素就是要查找的元素，则比较次数为1；如果最后一个元素才是要找的元素，或者在线性表中，没有要查找的元素，则需要与线性表中所有的元素比较，这是顺序查找的最坏情况。在平均情况下，利用顺序查找法在线性表中查找一个元素，大约要与线性表中一半的元素进行比较。由此可以看出，对于大的线性表来说，顺序查找的效率很低。虽然顺序查找的效率不高，但在下列两种情况下也只能采用顺序查找：（1）如果线性表是无序表（即表中的元素是无序的），则不管是顺序存储结构还是链式存储结构，都只能用顺序查找。（2）即使是有序线性表，如果采用链式存储结构，也只能用顺序查找。
35、1.7.1.2 二分法查找二分法查找也称拆半查找，是一种高效的查找方法。能使用二分法查找的线性表必须满足两个条件：用顺序存储结构；线性表是有序表。在本书中，为了简化问题，而更方便讨论，有序是特指元素按非递减排列，即从小到大排列，但允许相邻元素相等。下一节排序中，有序的含义也是如此。对于长度为n的有序线性表，利用二分法查找元素X的过程如下。将X与线性表的中间项比较：如果X的值与中间项的值相等，则查找成功，结束查找；如果X小于中间项的值，则在线性表的前半部分以二分法继续查找；如果X大于中间项的值，则在线性表的后半部分以二分法继续查找。例如，长度为8的线性表关键码序列为：5，12，26，29，37，
36、45，46，69，被查元素为37，首先将与线性表的中间项比较，即与第4个数据元素29相比较，37大于中间项29的值，则在线性表37，45，46，69继续查找；接着与中间项比较，即与第2个元素45相比较，37小于45，则在线性表37继续查找，最后一次比较相等，查找成功。顺序查找法每一次比较，只将查找范围减少1，而二分法查找，每比较一次，可将查找范围减少为原来的一半，效率大大提高。可以证明，对于长度为n的有序线性表，在最坏情况下，二分法查找只需比较log2n次，而顺序查找需要比较n次。1.8.1.1 冒泡排序法冒泡排序法是最简单的一种交换类排序方法。在数据元素的序列中，对于某个元素，如果其后存在一
37、个元素小于它，则称之为存在一个逆序。冒泡排序（Bubble Sort）的基本思想就是通过两两相邻数据元素之间的比较和交换，不断地消去逆序，直到所有数据元素有序为止。冒泡排序法的基本过程如下：第一遍，在线性表中，从前往后扫描，如果相邻的两个数据元素，前面的元素大于后面的元素，则将它们交换，并称为消去了一个逆序。在扫描过程中，线性表中最大的元素不断的往后移动，最后，被交换到了表的末端。此时，该元素就已经排好序了。然后对当前还未排好序的范围内的全部结点，从后往前扫描，如果相邻两个数据元素，后面的元素小于前面的元素，则将它们交换，也称为消去了一个逆序。在扫描过程中，最小的元素不断地往前移动，最后，被换
38、到了线性表的第一个位置，则认为该元素已经排好序了。对还未排好序的范围内的全部结点，继续第二遍，第三遍的扫描，这样，未排好序的范围逐渐减小，最后为空，则线性表已经变为有序了。图1-31是一个冒泡排序法的例子。 在最坏情况下，对长度为n的线性表排序，冒泡排序需要比较的次数为n（n-1）/2。1.8.1.2 快速排序法 在冒泡排序中，一次扫描只能确保最大的元素或最小的元素移到了正确位置，而未排序序列的长度可能只减少了1。快速排序（Quick Sort）是对冒泡排序方法的一种本质的改进。快速排序的基本思想是：在待排序的n个元素中取一个元素K（通常取第一个元素），以元素K作为分割标准，把所有小于K元素的
39、数据元素都移到K前面，把所有大于K元素的数据元素都移到K后面。这样，以K为分界线，把线性表分割为两个子表，这称为一趟排序。然后，对K前后的两个子表分别重复上述过程。继续下去，直到分割的子表的长度为1为止，这时，线性表已经是排好序的了。第一趟快速排序的具体做法是：附设两个指针low和high，它们的初值分别指向线性表的第一个元素（K元素）和最后一个元素。首先从high所指的位置向前扫描，找到第一个小于K元素的元素并与K元素互相交换。然后从low所指位置起向后扫描，找到第一个大于K元素的数据元素并与K元素交换。重复这两步，直到low=high为止。图1-32是一个快速排序法的例子。 快速排序的平均
40、时间效率最佳，为O（nlog2n），最坏情况下，即每次划分，只得到一个子序列，时间效率为O（n2）。1.8.2.1 简单选择排序法简单选择排序（Simple Selection Sort）的基本思想是：首先从所有n个待排序的数据元素中选择最小的元素，将该元素与第1个元素交换，再从剩下的n-1个元素中选出最小的元素与第2个元素交换。重复这样的操作直到所有的元素有序为止。对初始状态为（73，26，41，5，12，34）的序列进行简单选择排序过程如图1-33所示。图中方括号 内为有序的子表，方括号 外为无序的子表，每次从无序子表中取出最小的一个元素加入到有序子表的末尾。步骤如下：从这6个元素中选择最
41、小的元素5，将5与第1个元素交换，得到有序序列 5 ；从剩下的5个元素中挑出最小的元素12，将12与第2个元素交换，得到有序列 5，12 ；从剩下的4个元素中挑出最小的元素26，将26与第3个元素交换，得到有序序列 5，12，26 ；依此类推，直到所以的元素都有序地排列到有序的子表中。 简单选择排序法在最坏的情况下需要比较n（n-1）/2次。1.8.2.2 堆排序法堆排序属于选择类的排序方法。（1）堆的定义若有n个元素的序列（h1，h2，hn），将元素按顺序组成一棵完全二叉树，当且仅当满足下列条件时称为堆。其中，i=1，2，3，n/2。（1）情况称为小根堆，所有结点的值小于或等于左右子结点的值
42、。（2）情况称为大根堆，所有结点的值大于或等于左右子结点的值。本节只讨论大根堆的情况。例如，序列（91，85，53，36，47，30，24，12）是一个堆，则它对应的完全二叉树如图1-36所示。（2）调整建堆在调整建堆的过程中，总是将根结点值与左、右子树的根结点进行比较，若不满足堆的条件，则将左、右子树根结点值中的大者与根结点值进行交换，这个调整过程从根节点开始一直延伸到所有叶子结点，直到所有子树均为堆为止。（3）堆排序首先将一个无序序列建成堆，然后将堆顶元素与堆中的最后一个元素交换。不考虑已经换到最后的那个元素，将剩下的n-1个元素重新调整为堆，重复执行此操作，直到所有元素有序为止。对于数据
43、元素较少的线性表来说，堆排序的优越性并不明显，但对于大量的数据元素来说，堆排序是很有效的。在最坏情况下，堆排序法需要比较的次数为O（nlog2n）。1.8.3.1 简单插入排序法简单插入排序是把n个待排序的元素看成是一个有序表和一个无序表，开始时，有序表只包含一个元素，而无序表包含另外n-1个元素，每次取无序表中的第一个元素插入到有序表中的正确位置，使之成为增加一个元素的新的有序表。插入元素时，插入位置及其后的记录依次向后移动。最后有序表的长度为n，而无序表为空，此时排序完成。简单插入排序过程如图1-33所示。 图中方括号 内为有序的子表，方括号 外为无序的子表，每次从无序子表中取出第一个元素
44、插入到有序子表中。 在最好情况下，即初始排序序列就是有序的情况下，简单插入排序的比较次数为n-1次，移动次数为0次。在最坏情况下，即初始排序序列是逆序的情况下，比较次数为n（n-1）/2，移动次数为n（n-1）/2。假设待排序的线性表中的各种排列出现的概率相同，可以证明，其平均比较次数和平均移动次数都约为n2/4，因此直接插入排序算法的时间复杂度为O（n2）。在简单插入排序中，每一次比较后最多移掉一个逆序，因此，这种排序方法的效率与冒泡排序法相同。第2章 程序设计基础2.1程序设计方法与风格2.1.2 良好的编程风格应注意的因素程序设计风格是指编写程序时所表现出来的特点、习惯和逻辑思路。良好的
45、程序设计风格可以使程序结构清晰合理，程序代码便于维护，因此，程序设计风格深深地影响着软件的质量和维护。要形成良好的程序设计风格，主要应注意和考虑下述一些因素。（1）源程序的文档化源程序文档化是指在源程序中可包含一些内部文档，以帮助阅读和理解源程序。符号名的命名规则：符号名的命名应具有一定的实际含义，以便理解程序功能。程序注释：在源程序中添加正确的注释可帮助人们理解程序。程序注释可分为序言性注释和功能性注释，以给出程序的整体说明和程序的主要功能。视觉组织：可以在程序中利用空格、空行、缩进等技巧使程序层次清晰。（2）数据说明的方法为使程序中的数据说明易于理解和维护，可采用下列数据说明的风格，见表2
46、-1。表2-1 数据说明风格数据说明风格详细说明次序应规范化使数据说明次序固定，使数据的属性容易查找，也有利于测试、排错和维护变量安排有序化当多个变量出现在同一个说明语句中时，变量名应按字母顺序排序，以便于查找使用注释在定义一个复杂的数据结构时，应通过注释来说明该数据结构的特点（3）语句的结构为使程序更简单易懂，语句构造应该简单直接，应注意如下原则：在一行内只写一条语句；程序编写应优先考虑清晰性；程序编写要做到清晰第一，效率第二；在保证程序正确的基础上再要求提高效率；避免使用临时变量而使程序的可读性下降；避免不必要的转移；尽量使用库函数；避免采用复杂的条件语句；尽量减少使用否定条件语句；数据结
