三角函数的图像与性质练习题.doc

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1、三角函数的图像与性质练习题正弦函数、余弦函数的图象A组1.下列函数图象相同的是()A.y=sin x与y=sin(x+)B.y=cos x与y=sinC.y=sin x与y=sin(-x)D.y=-sin(2+x)与y=sin x解析:由诱导公式易知y=sin=cos x,故选B.答案:B2.y=1+sin x,x0,2的图象与直线y=2交点的个数是()A.0B.1C.2D.3解析:作出y=1+sin x在0,2上的图象,可知只有一个交点.答案:B3.函数y=sin(-x),x0,2的简图是()解析:y=sin(-x)=-sin x,x0,2的图象可看作是由y=sin x,x0,2的图象关于x

2、轴对称得到的,故选B.答案:B4.已知cos x=-,且x0,2,则角x等于()A.B.C.D.解析:如图:由图象可知,x=.答案:A5.当x0,2时,满足sin-的x的取值范围是()A.B. C. D.解析:由sin-,得cos x-.画出y=cos x,x0,2,y=-的图象,如图所示.cos=cos=-,当x0,2时,由cos x-,可得x.答案:C6.函数y=2sin x与函数y=x图象的交点有个.解析:在同一坐标系中作出函数y=2sin x与y=x的图象可见有3个交点.答案:37.利用余弦曲线,写出满足cos x0,x0,2的x的区间是.解析:画出y=cos x,x0,2上的图象如图

4、S2,S3与S4是两个对称图形,有S1=S2,S3=S4,因此函数y=2cos x的图象与直线y=2所围成的图形面积可以转化为求矩形OABC的面积.因为|OA|=2,|OC|=2,所以S矩形OABC=22=4.故所求封闭图形的面积为4.10.作出函数y=-sin x,x-,的简图,并回答下列问题.(1)观察函数图象,写出满足下列条件的x的区间:y0;y0时,x(-,0);当ycos x成立的x的取值范围是()A.B.C.D.解析:如图所示(阴影部分)时满足sin xcos x.答案:C4.在0,2内,不等式sin x-的解集是.解析:画出y=sin x,x0,2的草图如下:因为sin,所以si

5、n=-,sin=-.即在0,2内,满足sin x=-的是x=或x=.可知不等式sin x-的解集是.答案:5.(2016河南南阳一中期末)函数y=的定义域是.解析:由题意,得2k+x2k+,kZ.故函数y=的定义域为,kZ.答案:,kZ6利用正弦曲线,写出函数y=2sin x的值域是.解析:y=2sin x的部分图象如图.当x=时,ymax=2,当x=时,ymin=1,故y1,2.答案:1,27.画出正弦函数y=sin x(xR)的简图,并根据图象写出:(1)y时x的集合;(2)-y时x的集合.解:(1)画出y=sin x的图象,如图,直线y=在0,2上与正弦曲线交于两点,在0,2区间内,y时

6、x的集合为.当xR时,若y,则x的集合为.(2)过两点分别作x轴的平行线,从图象可看出它们分别与正弦曲线交于点(kZ),(kZ)和点(kZ),(kZ),那么曲线上夹在对应两点之间的点的横坐标的集合即为所求,故当-y时x的集合为.8.作出函数y=2+sin x,x0,2的简图,并回答下列问题:(1)观察函数图象,写出y的取值范围;(2)若函数图象与y=在x0,上有两个交点,求a的取值范围.解:列表:x02sin x010-102+sin x23212描点、连线,如图.(1)由图知,y1,3.(2)由图知,当23时,函数图象与y=在0,上有两个交点,即-50)的最小正周期为,则=.解析:y=sin

7、的最小正周期为T=,=3.答案:38.若f(x)(xR)为奇函数,且f(x+2)=f(x),则f(4)=.解析:f(x+2)=f(x),f(x)的周期为T=2.f(4)=f(0).又f(x)(xR)为奇函数,f(0)=0.f(4)=0.答案:09.判断函数f(x)=cos(2-x)-x3sinx的奇偶性.解:因为f(x)=cos(2-x)-x3sinx=cos x-x3sinx的定义域为R,f(-x)=cos(-x)-(-x)3sin(-x)=cos x-x3sinx=f(x),所以f(x)为偶函数.10.若函数f(x)是以为周期的偶函数,且f=1,求f的值.解:f(x)的周期为,且为偶函数,

8、f=f=f=f.而f=f=f=f=1,f=1.B组1.下列是定义在R上的四个函数图象的一部分,其中不是周期函数的是()解析:显然D中函数图象不是经过相同单位长度图象重复出现.而A,C中每经过一个单位长度,图象重复出现.B中图象每经过2个单位,图象重复出现.所以A,B,C中函数是周期函数,D中函数不是周期函数.答案:D2.函数y=cos(k0)的最小正周期不大于2,则正整数k的最小值应是()A.10B.11C.12D.13解析:T=2,k4.又kZ,正整数k的最小值为13.答案:D3.将函数y=sin x的图象向左平移个单位,得到函数y=f(x)的图象,则下列说法正确的是()A.y=f(x)是奇

9、函数B.y=f(x)的周期为C.y=f(x)的图象关于直线x=对称D.y=f(x)的图象关于点对称解析:y=sin x的图象向左平移个单位,得y=f(x)=sin=cos x的图象,所以f(x)是偶函数,A不正确;f(x)的周期为2,B不正确;f(x)的图象关于直线x=k(kZ)对称,C不正确;f(x)的图象关于点(kZ)对称,当k=-1时,点为,故D正确.综上可知选D.答案:D4.若函数f(x)是以为周期的奇函数,且当x时,f(x)=cos x,则f=()A.B.C.-D.-解析:f(x)的最小正周期是,f=f=f.又f(x)是奇函数,f=-f=-cos=-.答案:C5.定义在R上的偶函数f

10、(x)满足f(x)=f(x+2),当x3,4时,f(x)=x-2,则有下面三个式子:ff;ff;f(sin 1)sincos0,1sin 1cos 10,1cossin0,ff,f(sin 1)f.答案:6.已知函数y=sin x+|sin x|.(1)画出这个函数的简图;(2)这个函数是周期函数吗?如果是,求出它的最小正周期.解:(1)y=sin x+|sin x|=函数图象如图所示.(2)由图象知该函数是周期函数,其图象每隔2重复一次,故函数的最小正周期是2.7.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是,且当x时,f(x)=sin x.(1)求当x-,0时,

11、f(x)的解析式;(2)画出函数f(x)在-,上的简图;(3)求当f(x)时x的取值范围.解:(1)f(x)是偶函数,f(-x)=f(x).当x时,f(x)=sin x,当x时,f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sin x.又当x时,x+,f(x)的周期为,f(x)=f(+x)=sin(+x)=-sin x.当x-,0时,f(x)=-sin x.(2)如图.(3)在0,内,当f(x)=时,x=,在0,内,f(x)时,x.又f(x)的周期为,当f(x)时,x,kZ. 正弦函数、余弦函数的性质(二)A组1.函数y=|sin x|的一个单调增区间是()A.B.C.D.解析:画出y=|sin x

12、|的图象即可求解.故选C.答案:C2.(2016福建三明一中月考)y=cos(-x)的值域为()A.B.-1,1 C.D.解析:因为-x,所以-.所以-cos1,y=cos(-x)的值域为.答案:C3.函数f(x)=3sin在下列区间内递减的是()A.B.-,0C.D.解析:令2k+x+2k+,kZ可得2k+x2k+,kZ,函数f(x)的递减区间为,kZ.从而可判断,在x时,f(x)单调递减.答案:D4.函数f(x)=2sin(0)的最小正周期为4,当f(x)取得最小值时,x的取值集合为()A.B.C.D.解析:T=4,=.f(x)=2sin.由x-=2k-(kZ),得x=4k-(kZ).答案

13、:A5.已知函数f(x)=sin,xR,下列结论错误的是()A.函数f(x)的最小正周期为2B.函数f(x)在区间上是增函数C.函数f(x)的图象关于y轴对称D.函数f(x)是奇函数解析:f(x)=sin=-sin=-cos x,周期T=2,选项A正确;f(x)在上是增函数,选项B正确;定义域是R,f(-x)=-cos(-x)=-cos x=f(x),f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,选项C正确,选项D错误.答案:D6.函数y=sin |x|+sin x的值域是.解析:y=sin |x|+sin x=-2y2.答案:-2,27.函数y=cos x在区间-,a上为增函数,则a的取值范围是.解

14、析:y=cos x在-,0上为增函数,又在-,a上递增,-,a-,0.a0.又a-,-a0.答案:(-,08.若函数f(x)=sin x(02)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则=.解析:由题意知函数f(x)在x=处取得最大值,=2k+,=6k+,kZ.又00)的最小正周期为.(1)求f(x)在上的值域,并求出取最小值时的x值;(2)求f(x)的单调递增区间.解:由已知得=,=1,f(x)=sin.(1)当x时,2x+.-sin1.f(x)值域为.当2x+时,f(x)取最小值-,x=时,f(x)取最小值.(2)令2k-2x+2k+(kZ),得k-xk+(kZ).f(x)的递增区间为(kZ)

15、.10.已知函数f(x)=2asin+a+b的定义域是,值域是-5,1,求a,b的值.解:0x,2x+.-sin1.a0时,解得a0时,解得因此a=2,b=-5或a=-2,b=1.B组1.若0,a=sin,b=sin,则()A.abC.ab解析:0,+.而正弦函数y=sin x在x上是增函数,sinsin.sinsin,即a1,0x2,则函数y=sin2x+2asin x的最大值为()A.2a+1B.2a-1C.-2a-1D.a2解析:令sin x=t,则-1t1,原函数变形为y=t2+2at=(t+a)2-a2.a1,当t=1时,ymax=12+2a1=2a+1,故选A.答案:A3.函数y=

16、cos的单调递增区间是()A.,kZB.,kZC.,kZD.,kZ解析:函数y=cos=cos,令2k-2x-2k,kZ,得k-xk+,kZ,故单调递增区间为,kZ.答案:B4.函数y=2sin-cos(xR)的最小值为.解析:,y=2sin-cos=2cos-cos=cos.ymin=-1.答案:-15.若函数f(x)=sin x(0)在区间上单调递增,则当取最大值时,函数f(x)=sin x的周期是.解析:令2k-x2k+可得x,k=0时,f(x)在上递增.又f(x)在上递增,解得0.的最大值为.周期T=.答案:6.对于函数f(x)=给出下列四个命题:该函数是以为最小正周期的周期函数;当且

17、仅当x=+k(kZ)时,该函数取得最小值-1;该函数的图象关于直线x=+2k(kZ)对称;当且仅当2kx+2k(kZ)时,0f(x).其中正确命题的序号是.解析:画出f(x)在一个周期0,2上的图象.由图象知,函数f(x)的最小正周期为2,在x=+2k(kZ)和x=+2k(kZ)时,该函数都取得最小值,为-1,故错误.由图象知,函数图象关于直线x=+2k(kZ)对称,在2kx+2k(kZ)时,00,|,若函数y=f(x)的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为,且直线x=是函数y=f(x)图象的一条对称轴.(1)求的值;(2)求y=f(x)的单调递增区间;(3)若x,求y=f(x)的值域.解:

18、(1)因为函数y=f(x)的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为,所以函数的周期T=,所以=2.(2)因为直线x=是函数y=f(x)图象的一条对称轴,所以2+=k+,kZ,=k+,kZ.又|0)的图象的相邻两支截直线y=所得线段长为2,则a的值为()A.B.C.D.1解析:由已知得f(x)的周期为2,=2.a=.答案:A4.函数f(x)=的奇偶性是()A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数解析:f(x)的定义域为,f(-x)=-f(x).f(x)是奇函数.答案:A5.下列图形分别是y=|tan x|;y=tan x;y=tan(-x);y=tan |x|

19、在x内的大致图象,那么由a到d对应的函数关系式应是()A.B.C.D.解析:y=tan(-x)=-tan x在上是减函数,只有图象d符合,即d对应.答案:D6.已知函数y=3tan的最小正周期是,则=.解析:由题意知,T=,=2.答案:27.函数y=3tan的对称中心的坐标是.解析:由x+,kZ,得x=,kZ,即对称中心坐标是(kZ).答案:(kZ)8.满足tan-的x的集合是.解析:把x+看作一个整体,利用正切函数的图象可得k-x+k+,kZ,解得k-xk+,kZ.故满足tan-的x的集合是.答案:9.求函数y=tan的定义域、值域,并指出它的周期性、奇偶性、单调性.解:由4x-k+,得x,

20、所求定义域为,值域为R,周期T=.又f没有意义,f=tan=0,f(x)是非奇非偶函数.令-+k4x-+k,kZ,解得x0),y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于2,求f(x)的单调递增区间.解:由题意知,函数f(x)的周期为2,则=2,由于0,故=.所以f(x)=2tan.再由k-x+k+,kZ,得2k-x2k+,kZ,即函数f(x)的单调递增区间为,kZ.11.求函数y=-tan2x+4tan x+1,x的值域.解:-x,-1tan x1.令tan x=t,则t-1,1.y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5.当t=-1,即x=-时,ymin=-4,当t=1,即x=时,

21、ymax=4.故所求函数的值域为-4,4.B组1.函数y=的定义域为()A.B.C.D.解析:由题意知即得故x(kZ).答案:A2.函数f(x)=tan与函数g(x)=sin的最小正周期相同,则=()A.1B.1C.2D.2解析:函数g(x)的周期为=,=,=1.答案:A3.设a=lotan 70,b=losin 25,c=,则有()A.abcB.bcaC.cbaD.actan 45=1,a=lotan 700.又0sin 25lo=1.而c=(0,1),bca.答案:D4.已知函数y=tan x在内是减函数,则的取值范围为.解析:由题意可知0,又.故-10.答案:-10,|,由可得答案:2-

22、6.方程-tan x=0在x内的根的个数为.解析:分别画出y=与y=tan x在x内的图象,如图.易知y=与y=tan x在相应区间内有2个交点,原方程有2个根.答案:27.函数f(x)=tan(3x+)图象的一个对称中心是,其中0,试求函数f(x)的单调区间.解:由于函数y=tan x的对称中心为,其中kZ,则+=,即=.由于0,所以当k=2时,=.故函数解析式为f(x)=tan.由于正切函数y=tan x在区间(kZ)上为增函数,则令k-3x+k+,解得x,kZ,故函数的单调增区间为,kZ.没有单调减区间.8.设函数f(x)=tan.(1)求函数f(x)的定义域、周期和单调区间;(2)求不

23、等式-1f(x)的解集;(3)作出函数y=f(x)在一个周期内的简图.解:(1)由+k(kZ),得x+2k,f(x)的定义域是.=,周期T=2.由-+k+k(kZ),得-+2kx0,0)在一个周期内的简图时,列表如下:x+02xy020-20则有()A.A=0,=,=0B.A=2,=3,=C.A=2,=3,=-D.A=1,=2,=-解析:由表格得A=2,=3.x+=3x+.当x=时,3x+=+=0,=-.答案:C3.将函数f(x)=sin x(其中0)的图象向右平移个单位长度,所得图象经过点,则的最小值是()A.B.1C.D.2解析:把f(x)=sin x的图象向右平移个单位长度得y=sin的

24、图象.又所得图象过点,sin=0.sin=0,=k(kZ).=2k(kZ).0,的最小值为2.答案:D4.把函数y=sin的图象向左平移个单位,再把所得的函数图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍,横坐标不变,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)为()A.最大值为的偶函数B.周期为的偶函数C.周期为2,且最大值为2的函数D.最大值为2的奇函数解析:y=siny=sin=sin 2xy=2sin 2x,即g(x)=2sin 2x,故g(x)的最大值为2,周期T=,g(x)为奇函数,故选D.答案:D5.(2016四川成都石室中学期中)为了得到函数y=3cos 2x的图象,只需把函数y=3sin的图

25、象上所有的点()A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度解析:函数y=3cos 2x=3sin=3sin,把函数y=3sin的图象上所有的点向左平移个单位长度,可得函数y=3cos 2x的图象.答案:D6.把y=sin x的图象上所有点的横坐标和纵坐标都缩短到原来的倍,得到的图象.解析:将y=sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍得y=sin 3x的图象,纵坐标再缩短为原来的倍得到y=sin 3x的图象.答案:y=sin 3x7.已知函数f(x)=sin(0)的最小正周期为,为了得到g(x)=sin的图象,只需将y=f(x)的图象上.解析

26、:f(x)的最小正周期为,=.=2.f(x)=sin.又g(x)=sin=sin,只需将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到g(x)=sin的图象.答案:所有点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变8.设函数f(x)=cos x(0),将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则的最小值等于.解析:将f(x)的图象向右平移个单位长度得g(x)=f=cos=cos的图象,则-=2k(kZ),=-6k(kZ).又0,k0,|)的图象向左平移个单位,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的解析式为y=3sin x,则()

27、A.=2,=B.=2,=-C.=,=D.=,=-解析:y=3sin(x+)的图象向左平移个单位,得到y=3sin=3sin的图象,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=3sin=3sin x的图象,则答案:B4.函数y=sin x的图象上所有点的横坐标和纵坐标同时扩大到原来的3倍,再将图象向右平移3个单位长度,所得图象的函数解析式为.解析:y=sin xy=3sinxy=3sin(x-3)=3sin.答案:y=3sin5.先把函数y=2sin的图象上的所有点向左平移个单位长度,再把所有点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变,得到的图象对应的函数解析式是.解析:把y=2sin的图象上的

28、所有点向左平移个单位长度,得函数y=2sin=2sin=2cos 2x的图象,再把所有点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=2cos 4x的图象.答案:y=2cos 4x6.函数y=cos(2x+)(-)的图象向右平移个单位后,与函数y=sin的图象重合,则=.解析:函数y=cos(2x+)(-)的图象向右平移个单位,得平移后的图象对应的函数解析式为y=cos=cos(2x+-),而函数y=sin=cos,由函数y=cos(2x+)(-)的图象向右平移个单位后与函数y=sin的图象重合,得2x+-=2x+,解得=,符合-0)的最小正周期为.(1)求;(2)若f,且,求tan 的值;(3)完成下面列表,并画出函数y=f(x)在区间0,上的图象.列表:x0y-11描点连线:解:

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