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1、勾股定理习题集一、选择题（本大题共13小题，共分）1. 下列命题中，是假命题的是A. 在中，若，则是直角三角形B. 在中，若，则是直角三角形C. 在中，若：4：5，则是直角三角形D. 在中，若a：b：4：5，则是直角三角形2. 已知中，a、b、c分别为、的对边，则下列条件中：；：3：2；：4：5；其中能判断是直角三角形的有个A. 1B. 2C. 3D. 43. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是A. B. C. D. 4. 如图，直线l上有三个正方形，若的面积分别为5和11，则b的面积为A. 4B. 6C. 16D. 555. 一位工人师傅测量一个等腰三角形工件的腰，底及底边上的高，并按顺
2、序记录下数据，量完后，不小心与其他记录的数据记混了，请你帮助这位师傅从下列数据中找出等腰三角形工件的数据A. B. C. D. 6. 直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为A. B. 5C. 25D. 77. 如图，在四边形ABCD中，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，则A. 136B. 64C. 50D. 818. 如图，在矩形ABCD中，将矩形沿AC折叠，点D落在处，则重叠部分的面积是A. 8B. 10C. 20D. 329. 如图，第1个正方形设边长为的边为第一个等腰直角三角形的斜边，第一个等腰直角三角形的直角边是第2个正方形的边，第2个正方形的边是第2个等腰三角形
3、的斜边依此不断连接下去通过观察与研究，写出第2016个正方形的边长为A. B. C. D. 10. 如果将长为6cm，宽为5cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是A. 8cmB. C. D. 1cm11. 中，高，则的周长为A. 42B. 32C. 42或32D. 37或3312. 如图，在中，是的平分线若分别是AD和AC上的动点，则的最小值是A. B. 4C. D. 513. 如图所示，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则BD的长为 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共15小题，共分）14. 如图，则阴影部分的面积 _ 15. 若一个三角形的三边之比
4、为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为_ 16. 如图，在中，是AB的中点，过点D作于点E，则DE的长是_17. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为3cm，则图中所有正方形的面积之和为_ 18. 如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是_ 19. 如图是由一系列直角三角形组成的螺旋形，则第n个直角三角形的面积为_ 20. 如图，在中，点M为BC中点，于点N，则MN的长是_ 21. 如图，点P是等边内一点，连接：PB：4：5，以
5、AC为边作，连接，则有以下结论：是等边三角形；是直角三角形；其中一定正确的是_ 把所有正确答案的序号都填在横线上22. 如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用表示直角三角形的两直角边，下列四个说法：其中说法正确的结论有_ 23. 已知，如图长方形ABCD中，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则的面积为_ 24. 若直角三角形的两条边长为，且满足，则该直角三角形的第三条边长为_ 25. 如图，矩形ABCD中，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积_ 26. 如果一架25分米长的梯子，斜边在一竖
6、直的墙上，这时梯足距离墙角7分米，若梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将向右滑_ 分米27. 如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将绕点B顺时针旋转到的位置若，则 _ 度28. 已知a是的整数部分，其中b是整数，且，那么以a、b为两边的直角三角形的第三边的长度是_ 三、计算题（本大题共2小题，共分）29. 如图，在中，垂足为，求AB的长30. 如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知，求EC的长四、解答题（本大题共8小题，共分）31. 如图，在笔直的铁路上A、B两点相距、D为两村庄，于于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等求E应建
7、在距A多远处？32. 如图，在中，求的面积某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程作于D，设，用含x的代数式表示CD，则 _ ；请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值；利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积33. 如图，一个长方体形的木柜放在墙角处与墙面和地面均没有缝隙，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角处 请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；当时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；求点到最短路径的距离34. 在中，、的对边长分别为a、b、c，设的面积为S，周长为l填表： 三边a、b、c3、4、525、12、1348、15
8、、176如果，观察上表猜想： _ ，用含有m的代数式表示；说出中结论成立的理由35. 点的位置如图，在网格上确定点C，使在网格内画出；直接写出的面积为_36. 如图，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处已知求：的长；阴影部分的面积37. 小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真的探索【思考题】如图，一架米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为米，如果梯子的顶端沿墙下滑米，那么点B将向外移动多少米？请你将小明对“思考题”的解答补充完整：解：设点B将向外移动x米，即，则而，在中，由得方程_，解方程得_，_，点B将向外移动_米
9、解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：【问题一】在“思考题”中，将“下滑米”改为“下滑米”，那么该题的答案会是米吗为什么？【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗为什么？请你解答小聪提出的这两个问题38. 如图，有一段15m长的旧围墙AB，现打算利用该围墙的一部分或全部为一边，再用32m长的篱笆围成一块长方形场地CDEF怎样围成一个面积为的长方形场地？长方形场地面积能达到吗如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由答案和解析【答案】1. C2. C3. C4. C5. B6. B7. B8. B9. B10. A11. C12. C1
10、3. A14. 2415. 12016. 17. 2718. 4719. 20. 21. 22. 23. 24. 5或25. 26. 827. 13528. 或529. 解：在中，；即，在中，30. 解：四边形ABCD为矩形，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，在中，设，则，在中，解得，的长为3cm31. 解：设，则，由勾股定理得：在中，在中，由题意可知：，所以：，解得：分 所以，E应建在距A点15km处32. 33. 解：如图，木柜的表面展开图是矩形或故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的或；蚂蚁沿着木柜表面矩形爬过的路径的长是蚂蚁沿着木柜表面矩形矩形爬过的路径的长，蚂蚁沿着木
11、柜表面爬过的路径的长是，故最短路径的长是作于E，是公共角，即，则为所求34. 35. 536. 解：如图，；由勾股定理得：；由题意得：设为；，而，解得：由题意得：， 37. ；舍去；38. 解：设，则，依题意得：，整理得，解得，当时， 当时不合题意舍去 能围成一个长14m，宽9m的长方形场地设，则，依题意得 整理得 故方程没有实数根，长方形场地面积不能达到【解析】1. 解：A、在中，若，则是直角三角形，是真命题；B、在中，若，则是直角三角形，是真命题；C、在中，若：4：5，则是直角三角形，是假命题；D、在中，若a：b：4：5，则是直角三角形，是真命题；故选C分析是否为真命题，需要分别分析各题设
12、是否能推出结论，从而利用排除法得出答案此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理2. 解： ，此三角形是直角三角形，故本小题正确；：3：2，设，则，此三角形是直角三角形，故本小题正确；：4：5，设，则，解得，此三角形不是直角三角形，故本小题错误；，设，则，解得：，此三角形是直角三角形，故本小题正确故选C分别根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键3. 解：A、，不能构成直角三角形，故不符合题意；B、，不能构
13、成直角三角形，故不符合题意；C、，能构成直角三角形，故符合题意；D、，不能构成直角三角形，故不符合题意故选：C由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形4. 解：、b、c都是正方形，；，；在中，由勾股定理得：，即，故选：C运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强5. 解：由题可知，在等腰三角形中，底边的一半、底边上的高以及腰正好构成一个直角三角形，且，符合勾股定理，故选B根据等腰三角形的三线合一，得底
14、边上的高也是底边上的中线根据勾股定理知：底边的一半的平方加上高的平方应等于腰的平方，即可得出正确结论考查了等腰三角形的三线合一以及勾股定理的逆定理6. 解：设一直角边为x，则另一直角边为，根据题意得，解得：或，则另一直角边为3和4，根据勾股定理可知斜边长为，故选：B设一直角边为x，则另一直角边为，可得面积是，根据“面积为6”作为相等关系，即可列方程，解方程即可求得直角边的长，再根据勾股定理求得斜边长此题主要利用三角形的面积公式寻找相等关系，同时也考查了勾股定理的内容找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键7. 解：由题意可知：，如果连接BD，在直角三角形ABD和BCD中，即，
15、因此，故选B连接BD，即可利用勾股定理的几何意义解答本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边8. 解：重叠部分的面积是矩形ABCD的面积减去与的面积再除以2，矩形的面积是32， ，由翻折而成， 故选B解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力9. 解：第2016个正方形的边长故选B 第一个正方形的边长是2，设第二个的边长是x，则，则，即第二个的边长是：；设第三个的边长是y，则，则，同理可以得到第四个正方形的边长是，则第n个是：正确理解各个正方形的边长之间的关系是解题的关键，大正方形的边与相邻的
16、小正方形的边，正好是同一个等腰直角三角形的斜边与直角边10. 解：易知最长折痕为矩形对角线的长，根据勾股定理对角线长为：，故折痕长不可能为8cm故选：A根据勾股定理计算出最长折痕即可作出判断考查了折叠问题，勾股定理，根据勾股定理计算后即可做出选择，难度不大11. 解：此题应分两种情况说明： 当为锐角三角形时，在中，在中， 的周长为：；当为钝角三角形时，在中，在中，的周长为： 当为锐角三角形时，的周长为42；当为钝角三角形时，的周长为32故选C本题应分两种情况进行讨论：当为锐角三角形时，在和中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将的周长求出；当为钝角三角形时，在和中
17、，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将的周长求出此题考查了勾股定理及解直角三角形的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度12. 解：如图，过点C作交AB于点M，交AD于点P，过点P作于点Q， 是的平分线，这时有最小值，即CM的长度，即的最小值为故选：C过点C作交AB于点M，交AD于点P，过点P作于点Q，由AD是的平分线得出，这时有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB，再运用，得出CM的值，即的最小值本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足有最小值时点P和Q的位置13. 解：的面积，由勾股定理得，则，解
18、得，故选：A根据图形和三角形的面积公式求出的面积，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算即可本题考查的是勾股定理的应用，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键14. 解：在中，即可判断为直角三角形，阴影部分的面积答：阴影部分的面积故答案为：24先利用勾股定理求出AB，然后利用勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，然后分别求出两个三角形的面积，相减即可求出阴影部分的面积此题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，属于基础题，解答本题的关键是判断出三角形ABD为直角三角形15. 解：设三边分别为，则，三边分别为，三角形为直角三角形，故答案为：120根据已
19、知可求得三边的长，再根据三角形的面积公式即可求解此题主要考查学生对直角三角形的判定及勾股定理的逆定理的理解及运用16. 解：过A作于F，连接CD；中，则；中，；由勾股定理，得；，；，即故答案为：过A作BC的垂线，由勾股定理易求得此垂线的长，即可求出的面积；连接CD，由于，则、等底同高，它们的面积相等，由此可得到的面积；进而可根据的面积求出DE的长此题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积的求法等知识的综合应用能力17. 解：最大的正方形的边长为3cm，正方形G的面积为，由勾股定理得，正方形E的面积正方形F的面积，正方形A的面积正方形B的面积正方形C的面积正方形D的面积，图中所有正方形
20、的面积之和为，故答案为：27根据正方形的面积公式求出正方形G的面积，根据勾股定理计算即可本题考查的是勾股定的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为c，那么18. 解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得：；即最大正方形E的边长为：，所以面积为：故答案为：47分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为，由勾股定理得出，即最大正方形的面积为本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键19. 解：根据题意可知： 第n个直角三角形的直角边长为第n个直角三角形的另一条直角边长为1第n个直角三角
21、形的面积为故答案为：这是一个规律性题目，第一个三角形的斜边正好是第二个三角形的直角边，依次进行下去，且有一个直角边的边长为从而可求出面积本题考查勾股定理的应用，应用勾股定理求出三角形的斜边正好是下一个三角形的直角边20. 解：连接AM，点M为BC中点，三线合一，在中，根据勾股定理得：，又，连接AM，根据等腰三角形三线合一的性质得到，根据勾股定理求得AM的长，再根据在直角三角形的面积公式即可求得MN的长综合运用等腰三角形的三线合一，勾股定理特别注意结论：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边21. 解：是等边三角形，则，又，则，是正三角形，正确；又PA：PB：4：5，设，则：，根据勾股
22、定理的逆定理可知：是直角三角形，且正确；又是正三角形，正确；错误的结论只能是故答案为先运用全等得出，从而，得出是等边三角形，再运用勾股定理逆定理得出，由此得解本题主要考查了勾股定理的逆定理、全等三角形的性质以及等边三角形的知识，解决本题的关键是能够正确理解题意，由已知条件，联想到所学的定理，充分挖掘题目中的结论是解题的关键22. 解：为直角三角形，根据勾股定理：，故本选项正确；由图可知，故本选项正确；由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，列出等式为，即；故本选项正确；由可得，又，得，整理得，故本选项错误正确结论有故答案为根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角
23、形面积的计算公式及勾股定理解答本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为“弦图”，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解题的关键23. 解：长方形折叠，使点B与点D重合，设，则，在中，解得：，的面积为：，故答案为：首先翻折方法得到，在设出未知数，分别表示出线段的长度，然后在中利用勾股定理求出AE的长度，进而求出AE的长度，就可以利用面积公式求得的面积了此题主要考查了图形的翻折变换和学生的空间想象能力，解题过程中应注意折叠后哪些线段是重合的，相等的，如果想象不出哪些线段相等，可以动手折叠一下即可24. 解：该直角三角形的第三条边长为x，直角三角形的两条边长为，且满足，若4是直角边，则第三
24、边x是斜边，由勾股定理得：，；若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：，；第三边的长为5或故答案为：5或设该直角三角形的第三条边长为x，先根据非负数的性质求出a、b的值，再分4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键25. 解：四边形ABCD是矩形，与关于BD对称，设DE为x，则，由勾股定理，得，解得：，故答案为90根据轴对称的性质及矩形的性质就可以得出，由勾股定理就可以得出DE的值，由三角形的面积公式就可以求出结论本题考查了轴对称的性质的运用，矩形的性质的运用，勾股定理的运
25、用，解答时运用轴对称的性质求解是关键26. 解：如下图所示：AB相当于梯子，是梯子和墙面、地面形成的直角三角形，是下滑后的形状，即：分米，分米，分米，BD是梯脚移动的距离在中，由勾股定理可得：，分米分米，在中，由勾股定理可得：，分米，分米，故答案为：8梯子和墙面、地面形成的直角三角形，如下图所示可将该直角三角形等价于和，前者为原来的形状，后者则是下滑后的形状由题意可得出分米，分米，分米，在中，由勾股定理可得：，将AB、CB的值代入该式求出AC的值，；在中，求出OD的值，分米，即求出了梯脚移动的距离本题主要考查勾股定理在实际中的应用，通过作相应的等价图形，可以使解答更加清晰明了27. 解：连接
26、绕点B顺时针旋转到 是直角，是直角三角形，与全等 ，是直角三角形，故答案为：135首先根据旋转的性质得出，是直角三角形，进而得出，即可得出答案此题主要考查了旋转的性质，根据已知得出是直角三角形是解题关键28. 解：，又是整数，且，分两种情况：若为直角边，则第三边；若为斜边，则第三条边故答案为或5先根据，可得出a的值，根据，结合b是整数，且，求出b、c的值，再分情况讨论，为直角边，为斜边，根据勾股定理可求出第三边的长度本题考查了估算无理数的大小、勾股定理的知识，注意“夹逼法”的运用是解答本题的关键29. 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，易求得，故，由此可证得是等腰三角形，即可求出AD的长
27、，再根据含30度角的直角三角形的性质即可求出AB的长此题主要考查等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和定理的应用；求得是正确解答本题的关键30. 根据矩形的性质得，再根据折叠的性质得，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，在中，根据勾股定理得，然后解方程即可本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等也考查了勾股定理31. 根据题意设出E点坐标，再由勾股定理列出方程求解即可本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键32. 解：，故答案为：；，解得：；由得：，直接利用BC的长表示出DC的长；直接利用勾
28、股定理进而得出x的值；利用三角形面积求法得出答案此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，正确得出AD的长是解题关键33. 根据题意，先将长方体展开，再根据两点之间线段最短本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可34. 解：的面积，周长，故当a、b、c三边分别为3、4、5时，故，同理将其余两组数据代入可得为应填： 通过观察以上三组数据，可得出， ，即的面积，周长，分别将3、4、12、15、17三组数据代入两式，可求出的值；通过观察以上三组数据，可得出：；根据可得出：，即本题主要考查勾股定理在解直角三角形面积和周长中的运用35. 解：如图所示： 在中，故的面积为
29、故答案为：5先连结AB，再确定C点，连结即可求解；根据勾股定理得到的长，再根据三角形面积公式即可求解本题考查了勾股定理，学生作图与根据图象分析处理、以及计算面积的能力36. 证明，列出比例式，求出，得到运用，即可解决问题该题主要考查了旋转变换的性质及其应用、勾股定理及其应用等问题37. 解：，故答案为；舍去不会是米，若米，则米米米，米米米， ，该题的答案不会是米有可能设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，则有，解得：或舍 当梯子顶端从A处下滑米时，点B向外也移动米，即梯子顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等直接把C、C、的值代入进行解答即可；把中的换成可知原方程不成立；设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米代入中方程，求出x的值符合题意本题考查的是解直角三角形的应用及一元二次方程的应用，根据题意得出关于x的一元二次方程是解答此题的关键38. 首先设，则，进而利用面积为得出等式求出即可；结合中求法利用根的判别式分析得出即可此题主要考查了一元二次方程的应用，表示出长方形的面积是解题关键
