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1、导数在研究函数中的应用【自主归纳，自我查验】一、自主归纳1利用导函数判断函数单调性问题函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负有如下关系 (1)若_ _，则f(x)在这个区间上是增加的 (2)若_ _，则f(x)在这个区间上是减少的 (3)若_ _，则f(x)在这个区间内是常数2利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f(x) (2)在定义域内解不等式f(x)0或f(x)0. (3)根据结果确定f(x)的单调区间3函数的极大值 在包含的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都_点的函数值，称点为函数yf(x)的极大值点，其函数值f()为函数的极大值4函数的极小
2、值 在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都_点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极小值点，其函数值f()为函数的极小值极大值与极小值统称为_，极大值点与极小值点统称为极值点5函数的最值与导数1函数yf(x)在a，b上的最大值点指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都_f()2函数yf(x)在a，b上的最小值点指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都_f()二、自我查验1函数f(x)xeln x的单调递增区间为() A(0，) B(，0) C(，0)和(0，) DR2若函数f(x)x3x2mx1是R上的单调增函数，则m的取值范围是_3.函数f(x)的定义域为开区间
3、(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点() A1个 B2个 C3个 D4个4若函数f(x)x3ax23x9在x3时取得极值，则a等于() A2 B3 C4 D55.函数的最大值为（ ） A B C D【典型例题】考点一利用导数研究函数的单调性【例1】(2015高考全国卷)已知函数f(x)ln xa(1x)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围【变式训练1】已知（1）若时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，求函数的单调区间考点二利用导函数研究函数极值问题【例2】已知函数.（1）当时，
4、求函数的极值；（2）求函数的单调区间.【变式训练2】(2011安徽)设f(x)，其中a为正实数.当a时，求f(x)的极值点；考点三利用导函数求函数最值问题【例3】已知为实数，.（1）求导数；（2）若，求在上的最大值和最小值.【应用体验】1.函数的单调递减区间为（ ） A B C D2.函数的单调递减区间是（ ） A B C D3.函数的单调递增区间是（ ） A B C D4.设函数，则（ ） A为的极大值点 B为的极小值点 C为的极大值点 D为的极小值点5函数的极大值为，那么的值是（ ） A B C D【复习与巩固】A组 夯实基础一、选择题1已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下
5、列叙述正确的是（ ） A B C D2.函数在处取得极值，则等于（ ） A B C D3.函数（为自然对数的底数）在区间上的最大值是（ ） A.1 B.1 C.e1 D.e1二、填空题4.若函数是上的单调增函数，则实数的取值范围是_5.若函数在处取得极值，则的值为_.6.函数在上的最小值是_.三、解答题7.已知函数求函数的单调区间8.已知函数（1）若在上单调递减，求实数的取值范围；（2）若，求函数的极小值.B组 能力提升一、选择题1已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A B C D2.若函数在内无极值，则实数的取值范围是（ ） A B C D3.若函数在上
6、有最大值3，则该函数在上的最小值是（ ） A B0 C D1二、 填空题4已知函数f(x)x22axln x，若f(x)在区间上是增函数，则实数a的取值范围为_5设x1，x2是函数f(x)x32ax2a2x的两个极值点，若x120 （2）f(x)0，故单调增区间是(0，)答案：A2.解析：f(x)x3x2mx1，f(x)3x22xm.又f(x)在R上是单调增函数，f(x)0恒成立，412m0，即m.答案：3.解析：导函数f(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个，故选A.答案：A4.解析：f(x)3x22ax3，由题意知f(3)0，即3(3)22(3)a30
7、，解得a5.答案：D5.A【解析】，令，当时函数单调递增，当时函数单调递减，故选A.三 典型例题【例题1】(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.若a0，则f(x)0，所以f(x)在(0，)单调递增若a0，则当x时，f(x)0；当x时，f(x)0时，f(x)在x处取得最大值，最大值为flnaln aa1.因此f2a2等价于ln aa10.令g(a)ln aa1，则g(a)在(0，)单调递增，g(1)0.于是，当0a1时，g(a)1时，g(a)0.因此，a的取值范围是(0,1)【变式训练1】（1）当时，切线斜率为，又，切点坐标为，所求切线方程为，即（2），由，得或.由，得或，由，得函数的单
8、调递减区间为，单调递增区间为和【例题2】（1）当时，令，解得，所以函数在上单调递增；令，解得，所以函数在上单调递减；所以当时取极大值，极大值为，无极小值.（2）函数的定义域为，. 当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增；当时，令，解得，所以函数在上单调递增；令，解得，所以函数在上单调递减. 综上所述，当时，函数的单调增区间为；当时，函数的单调增区间为，单调减区间为.【变式训练2】解对f(x)求导得f(x)ex. 当a时，若f(x)0， 则4x28x30，解得x1，x2.结合，可知x(，)(，)(，)f(x)00f(x)极大值 极小值所以x1是极小值点，x2是极大值点.【例题3】1）.（2）由得
9、，故，则，由，故，.【变式训练3】1）当时，函数，在上单调递增，当时，令，得，所以当时，函数单调递减；当时，函数单调递增.（2）由（1）可知，当时，函数，不符合题意.当时，在上单调递减，在上单调递增.当，即时，最小值为.解，得，符合题意.当，即时，最小值为，解，得，不符合题意.综上，.应用体验：1.D【解析】函数的定义域为，令，解得，又，所以，故选D.考点：求函数的单调区间.2.A【解析】导数为，令，得，所以减区间为.考点：利用导数求函数的单调区间3.C【解析】，令，解得，所以函数的单调增区间为故选C4.【解析】，由得，又函数定义域为，当时，递减，当时，递增，因此是函数的极小值点故选D考点：函
10、数的极值点5.D【解析】，令可得，容易判断极大值为.考点：函数的导数与极值.复习与巩固A组1.C【解析】由图象可知函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又，且，故考点：利用导数求函数单调性并比较大小2.B【解析】，由题意可得，.故选B.考点：极值点问题.3.D【解析】，令得.又且，所以故选D.考点：利用导数求函数在闭区间上的最值.4.【解析】由题意得在上恒成立，则，即恒成立.令，则，因为为上的二次函数，所以，则的取值范围是.5.0【解析】，由题意得考点：导数与极值6.【解析】因为，所以在单调递减，在单调递增，从而函数在上的最小值是.考点：函数的最值与导数.7.【解析】的定义域为，令，则
11、或（舍去）.当时，递减，当时，递增，的递减区间是，递增区间是考点：利用导数求函数的单调区间8.（1）（2）【解析】（1）函数，则，由题意可得在上恒成立，时，函数取最小值，（2）当时，令，得，解得或（舍去），即.当时，当时，的极小值为.B组1.D【解析】因为函数在区间上不单调，所以在区间上有零点，由，得，则得，故选D考点：函数的单调性与导数的关系2.C【解析】，当时，所以在上单调递增，在内无极值，所以符合题意；当时，令，即，解得，当时，当时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，当时原函数取得极大值，当时，原函数取得极小值，要满足原函数在内无极值，需满足，解得.综合得，的取值范围为，故选C.考点
12、：导函数，分类讨论思想.3.C【解析】，当时，或，当时，所以在区间上函数递增，在区间上函数递减，所以当时，函数取得最大值，则，所以，所以最小值是考点：利用导数求函数在闭区间上的最值.4.解析：由题意知f(x)x2a0在上恒成立，即2ax在上恒成立，max，2a，即a.答案：5.解析：本题考查利用导数研究函数的极值及不等式的解法由f(x)3x24axa20得x1，x2a.又x12x2，2a6.答案：(2,6)6.解析：f(x)x2exax，f(x)2xexa，函数f(x)x2exax在R上存在单调递增区间，f(x)2xexa0，即a2xex有解，设g(x)2xex，则g(x)2ex，令g(x)0
13、，解得xln 2，则当x0，g(x)单调递增，当xln 2时，g(x)0，f(x)1.由函数f(x)在定义域上是增函数，得f(x)0，即a2xx2(x1)21(x0)因为(x1)211(当x1时，取等号)，所以a的取值范围是1，)(2)g(x)ex，由(1)得a2时，f(x)x2ln x1，且f(x)在定义域上是增函数，又f(1)0，所以，当x(0,1)时，f(x)0.所以，当x(0,1)时，g(x)0，当x(1，)时，g(x)0.故当x1时，g(x)取得最大值e.8.解：(1)当k1时，f(x)(x1)exx2，f(x)ex(x1)ex2xxex2xx(ex2)，令f(x)0，得x10，x2
14、ln 2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化如下表：x(，0)0(0，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)00f(x)极大值极小值由表可知，函数f(x)的单调递减区间为0，ln 2，单调递增区间为(，0，ln 2，)f(x)的极大值为f(0)1，极小值为f(ln 2)(ln 2)22ln 22.(2)f(x)ex(x1)ex2kxxex2kxx(ex2k)，当x1时，f(x)0，f(x)在1，)上有且只有一个零点若k，则f(x)在1，ln 2k上单调递减，在ln 2k，)上单调递增f(1)k2，则g(t)et2t，g(t)et2，t2，g(t)0，g(t)在(2，)上单调递增g(t)g(2)e240，g(t)在(2，)上单调递增g(t)g(2)e240.f(k1)0.f(x)在1，)上有且只有一个零点综上，当k0，)时，f(x)在R上有且只有一个零点
