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1、第一章 离散时间系统与z变换1 解：P(t)是一个周期函数，可以用傅氏级数来表示 2 解：频谱混淆现象是指采样频率小于带限信号的最高频率(0到2p内) 的2倍时所产生的一种频谱混叠，使得采样后的序列不能真正反映原信号。3 解：对于来说=2p，而=8p2=4p，无失真，可以被还原；对于来说=5p，而=8p=0，因果稳定；0，稳定非因果(3)u(n), 因果非稳定 ；(4)u(3-n)，非因果非稳定(5)，因果非稳定；(6) ，稳定非因果(7)，因果稳定 ；(8) ，因果稳定(9) ，非因果非稳定；(10)，因果稳定(11) ，因果稳定 ； (12) ，因果稳定5 解：(1)(2)(3)6 解：(
2、1)(2)(3) 7 解：8 解：9 解：(2)(4)零极点抵消，ROC为全平面10解： (4) (5)极点:z=a,z=b零点:z=0(6)(7)设y(n)如图 x(n) -(N-1) 0 N 0 N 2N y(n)=x(n)-x(n-1)第三章 第三章用直接型及正准型结构实现以下传递函数1(1)x(n) -5 y(n) x(n) -5 y(n) 2 -3 -3 2 -1/2 -3 -3 -1/2 -1 -1 直接型 正准型(2)x(n) 0.8 3 y(n) x(n) 0.8 3 y(n) 2 -4 -4 2 2 -3 -3 2 5 -2 -2 5 直接型 正准型(3) x(n) 1/8
3、y(n) x(n) 1/8 y(n) -1 1/4 1/4 -1 2 3/8 3/8 22用级联型结构实现以下传递函数 一共能有几种级联型网络？解：x(n) 5 y(n) 0.5 -1 1.2728 -1.4142 -0.81 -1 级联型之一共有2！*2！=4种级联型网络。3用级联型及并联型实现以下传递函数：解：(1)x(n) 3 y(n) 2 0.5 -3.5/3 0.5 -1 2.5/3 x(n) y(n) -1 -1 级联型之一 并联型(2) x(n) 4 y(n) 2 -0.7071 1.4142-0.7071 x(n) -0.7071 y(n) -1 0.25 2 1.4142-0
4、.7071 -1 级联型之一 并联型4设滤波器差分方程为：用直接I型，II型以及全部一阶节的级联型，并联型结构实现它。解：传递函数为：x(n) y(n) x(n) y(n) 1/3 3/4 3/4 1/3 -1/8 -1/8 直接I型 直接II型x(n) y(n) x(n) y(n) 1/2 1/4 1/3 1/4 1/2 1/3 x(n) y(n) x(n) y(n) 1/4 1/3 1/2 1/2 1/3 1/4 级联型 10/3 -7/3x(n) 1/2 y(n) x(n) 1/4 y(n) -7/3 10/3 1/4 1/2 并联型5求以下结构的差分方程及传递函数：x(n) y(n)
5、x(n) 2 y(n) 1/4 1/4 0.5 1.5 -0.2 -3/8 2 0.5 4 0.2 -0.8 2 (a) (b)解：(a)(b)y(n)=6x(n)+4.4x(n-1)+16.5x(n-2)+5.1x(n-3)+7.8x(n-4)+0.8x(n-5)+1.5y(n-1) -0.26y(n-2)+0.98y(n-3)+0.62y(n-4)+0.08y(n-5)6求以下结构的差分方程及传递函数：解：设变量有：(b)设变量：有：用矩阵表示：其中：7已知滤波器单位脉冲响应为，横截型结构。解：x(n) 0.2 0.04 0.008 0.0016 0.00032 y(n)或： y(n)x(
6、n) 0.00032 0.0016 0.008 0.04 0.28用横截型和级联型结构实现传递函数。 解：x(n) x(n) y(n) -0.4142 0.4142 y(n) -1.4142 横截型之一 级联型之一9试问：用什麽结构可以实现以下单位脉冲响应 解：用横截型：x(n) -3 5 y(n)等效为：x(n) -3 5 y(n)10FIR滤波器的h(n)是圆周偶对称的，N=6，h(0)=h(5)=1.5,h(1)=h(4)=2,h(2)=h(3)=3,求滤波器的卷积结构。解：x(n) 1.5 2 3 3 2 1.5 y(n)或： x(n) 1.5 2 3 y(n) 可少用三个乘法器11F
7、IR滤波器的h(n)是圆周奇对称的，N=7，h(0)=-h(6)=3,h(1)=-h(5)=-2,h(2)=-h(4)=3,h(3)=0,求滤波器的卷积结构。解：x(n) 3 -2 3 -3 2 -3 y(n) x(n) -1 3 -2 3 y(n) 可少用两个乘法器 x(n) -1 3 -2 y(n) 可少用三个乘法器12已知：FIR滤波器的十六个频率采样值为：H(0)=12,H(1)=-3-j,H(2)=1+j,H(3)到H(13)都为零，H(14)=1-j,H(15)=-3+j求滤波器的采样结构。(设选则修正半径r=1,即不修正极点位置)解：N=16,r=1 12 x(n) -6 0.0
8、625 y(n) 1.8487 -1 2 -1 13.用频率采样结构实现传递函数,N=6,修正半径r=0.9.解： 0.9 x(n) 4 0.1667 y(n) 0.9 3.6 -0.81 2 -0.9 14FIR滤波器N=5,计算一个N=5的采样结构，修正半径r=0.9。解： 0.9 x(n) 2 0.2 y(n) 0.5562 -3.8124 -0.81 2 -1.4562 0.2125 -0.81 第四章 第四章：无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器的设计方法1，试用脉冲响应不变法及双线性变换将以上模拟传递函数H(z)，采样周期T=0.5。解：(1) 用脉冲响应不变法：(2) 用双线性变换
9、2，采样周期T=2,重复第1题。解：(1) 用脉冲响应不变法：方法：(2) 双线性变换3，采样周期为T=0.1，重复第一题。解：(1)脉冲响应不变法(2)双线性变换4用脉冲不变法将以下转换为H(z)，采样周期T。解：(1)方法一：方法二：(2)(3),m为任意整数5是理想积分器，其输出信号是输入信号的积分就是曲线下的面积，现用脉冲响应不变法将转换为一数字积分器，写出数字积分器的传递函数，差分方程，画出其结构图，并证明所得数字系统的功能与原模拟系统的差别就在于以采样值向后所做的矩形面积来代替的连续面积。解：x(n) T y(n) x(n)是采样值。Tx(n)就是以采样值向后所做的矩形面积，由差分
10、方程y(n)=Tx(n)+y(n-1)，可见系统是递归型的，当前的y(n)等于当前采样值向后所做的矩形面积之和，即，这正是：y(n)=x(n)*h(n)=Tx(n)*u(n)由此证明所得数字系统的功能与原模拟数字系统的差别就在于以采样值后所做的矩形面积来代替的连续面积。6以双线性变换代替脉冲响应不变法，重复第五题。并证明这时数字系统的功能就是将前后两采样点之间连线所围成的梯形面积来代替的连续面积。解：x(n) y(n) T/2同第五题。(T/2)x(n)+x(n-1)是两采样点之间连线所围成的梯形面积。y(n)等于这块梯形面积加以往各梯形面积之和，以代替的连续面积。用数学式子加以表示：7一个采
11、样数字处理低通滤波器如图，H(z)的截止频率为，整个系统相当于一个模拟低通滤波器，今采样频率，问等效于模拟低通的截止频率=？若采样频率分别为，而H(z)不变，问这时等效于模拟低通的截止频率又为多少？ D/A H(z) A/D x(n) y(n) 解：8设采样频率为=6.28318kHz，用脉冲响应不变法设计一个三阶巴特瓦兹数字低通，截止频率为=1kHz,并画出该低通的并联结构图。解：设并联结构如图： 03679 x(n) y(n) -1 -1 9用双线性变换设计一个巴特瓦兹数字低通，采样频率为=1.2kHz，截止频率为=400Hz。解：数字域临界频率为，预畸的模拟滤波器临界频率将代入式(4-1
12、9)10用双线性变换设计一个巴特瓦兹数字低通，采样频率为=6kHz，截止频率为=1.5kHz。解：数字域临界频率为,预畸的模拟滤波器临界频率,将代入式(4-19)由双线性变换得：11用双线性变换设计一个巴特瓦兹数字高通，采样频率为=720Hz，上下边带截止频率为。解：数字域的上下边带截止频率代入式(4-28),求中心频率：代入式(4-30)，求模拟低通的截止频率：模拟低通为12若是模拟网络的阶跃响应，也就是网络在单位阶跃输入的情况下的输出，即=u(t)则为数字网络H(z)的阶跃响应，即网络在单位阶跃序列输入下的输出序列，x(n)=u(n)则。如果已知及，令这样来设计H(z)就称为阶跃不变法，试
13、用阶跃不变法确定H(z)与的关系。解：两边取z变换得：其中表示反拉氏变换。13证明式(4-37)满足全通特性，即。证明：14证明式(4-37)满足稳定性要求，即z平面的单位圆以内映射到u的单位圆以内，z平面的单位圆以外映射到u的单位圆以外。解： |r|1时，即z平面单位圆以外映射到u单位圆以外同理，当当|R|1时，|u|1即z平面单位圆以内映射到u单位圆以内。15证明式(4-37)当N=1时，即一个实根单节全通函数时，其相位函数满足j(0)-j(p)=p。解：j(0)-j(p)=p16证明式(4-37)当N=2,并且为一对共轭复根时，j(0)-j(p)=2p。证明：17证明式(4-37)的相差
14、一般特性，j(0)-j(p)=Np。证明：当为实数时，N为偶数1，N为奇数-1所以当为复数时，则两两共轭，N=2R时相当于16题情况1N=2R+1时则有R对共轭复根和一个实根，-1所以18证明u=-z是一个低通到高通，带通到带阻的稳定转换。证明：H(u)=H(-z)=变化的是相位而幅度无变化。19若及分别为两个稳定的全通变换函数，证明仍然是稳定全通变换函数。证明：|=|=1|=1第五章 第五章有限长单位脉冲响应滤波器的设计方法1 解：(a) (b) 为了保证线性相位h(n)的类型取决于，N为奇数h(n)为偶对称第一类，h(n)必须偶对称于n=a处，否则不满足N为奇数的已知条件若N为偶数。即N=
15、2k,则h(n)必须奇对称于n=a处，否则不满足N为偶数的已知条件(c) 2 解：(a) (b)为了保证线性相位若N为奇数，设N=2k+1则a=kh(n)满足奇对称，即h(n)=-h(N-1-n)属于第III类FIR滤波器若N为偶数，设N=2k则a=k-1/2h(n)满足偶对称，即h(n)=h(N-1-n)属于第II类FIR滤波器(c)3 解： (a) N为奇数时，设N=2k+1，h(n)满足于偶对称，属于第I类FIR滤波器(b) N为偶数时，设N=2k,a=k-1/2h(n)满足偶对称，属于第II类FIR滤波器(c) N为奇数时，用升余弦窗设计N为偶数，用升余弦窗设计4 解：与第三题相比知由
16、-wa变为-aw-p/2，所以只需将上题由偶对称变为奇对称即可(a) N为奇数，a=k奇对称属于第III类滤波器(b) N为偶数，a=k-1/2奇对称属于第IV类滤波器(c) 用改进升余弦窗设计N为奇数N为偶数5 解：(a) 一个带阻滤波器相当于一个全通滤波器减去一个带通滤波器全通带通则带阻(b) 因是线性相位滤波器，不妨设j(w)=-aw6 解：(a)(b)N为奇数时，a=(N-1)/2=kN为偶数时，a=(N-1)/2=k-1/2显然N为偶数时性能好(c)7 解：(a)(b)N为奇数时，a=kN为偶数时，a=k-1/2N为奇数时性能好(c) 9解：(a)(b)横截型x(n) 频率采样型 H
17、(0) x(n) H(1) 1/15 y(n) H(14) (c)横截型用的乘法器多，频率采样型用的加法器多10解：(a)为的圆周移位(b)如图所示，又知，均关于n=3.5偶对称，所以属于线性相位滤波器时延为3.511解：图略第一类线性相位FIR滤波器，设计的过渡带宽如果边沿设定v(k)为一点，即令v(9)= v(24)=0.3912解：(a) N=33(b) N=3213.解：(a) N=33，因为N为奇数，所以可能是第I，III型滤波器第I型第III型(b) N=34, 可能是第II,IV型滤波第II型第IV型14解：(a) N为偶数，上面正交网络可设计成第IV型滤波器(b) N为奇数，纯
18、虚数幅度响应样本为：由于这是一个III型线性相位滤波器，在w=p处振幅响应应为零，即为了减少波动，在靠近w=p处（即中点两旁）设过渡点，不妨选值为0.4j15解：(a)（虚数）幅度样本为：N为奇数时没有突变边沿N为偶数时没有突变边沿(b) N为偶数时(8)X(Z)=11.解:长除法:留数定律:由收敛域可知x(n)是右边,所以不必考虑n=0有一个极点为z=0.5,也即部分分式法: (2)长除法:留数法:由收敛域可知x(n)为左边序列,所以不必考虑n=0的情况n=0时,有极点z=0,部分分式法:12.解:零点:z=0(二阶)极点:z=2,z=1/2(1)|z|2为右边序列,(2)|z|0.5为左边
19、序列,x(n)=(3)0.5|z|2为双边序列,x(n)=13.解:(3)(7)14解： 15解：(1)(2)16证明：17解：18解：x(n)是因果序列，(1)(2)(3)19解：(1)(2)20解：(1)(2)(3)21解：(1) 直接法复卷积法：22解：23解：直接法(1)， |ab|0零点：极点：其中极点与零点抵消所以共有零点(N-1)个35解：(1)所以具有零相位(2)所以具有零相移第二章 离散傅里叶变换(DFT)1 设x(n)=R3(n)求，并作图表示，。解： = -7 1 2 7 8 9 n | k2.设求：，的周期卷积序列，以及。 解：2 用封闭形式表达以下有限长序列的DFTx
20、(n)。解：(1)X(k)=DFTx(n) (2) (3)有：X(k)=DFTx(n) (4)4.已知以下X(k),求IDFTX(k),其中m为某一正整数,0mN/2.解：(1)(2)x(n)=IDFTX(k)= 5有限长为N=100的两序列作出x(n),y(n)示意图,并求圆周卷积f(n)=x(n)y(n)并作图。解： x(n) y(n) 10 99 n 90 99 n y(n) 10 90 99 n6有限长序列N=10的两序列用作图表示x(n),y(n)f(n)=x(n)y(n)。解： x(n) 0 9 ny(n) 9 nf(n) 5 1-1 n-3 -57已知两有限长序列用卷积法和DFT
21、变换两种方法分别求解f(n)。解：(1) (2) (3) 8x(n)为长为N有限长序列，分别为x(n)的圆周共轭偶部及奇部，也即：证明： 9证明：若x(n)实偶对称，即x(n)=x(N-n),则X(k)也实偶对称； 若x(n)实奇对称，即x(n)=-x(N-n),则X(k)为纯虚数并奇对称。证：(1)又： (2) 10若已知：DFTx(n)=X(k)求：。解：同理：11若长为N的有限长序列x(n)是序列x(n)=(1)求Zx(n)并画出其零极点分布；(2)求频谱并作幅度曲线；(3)求DFTx(n)用封闭形式表达式，并对照。解：(1)Zx(n)图略(2)(3)12已知x(n)是长为N的有限序列，
22、X(k)=DFTx(n),现将长度扩大r倍,得长度为rN的有限长序列y(n)求：DFTx(n)与X(k)的关系。解：13.已知x(n)是长为N的有限长序列,X(K)=DFTx(n),现将x(n)的每两点之间补进r-1个零点,得到一长为rN的有限长序列y(n)求：DFTy(n)与X(k)的关系。解：14若DFTx(n)=X(k)，求证：DFTx(n)=N证：上式中，令k=m -n=k则：15已知复有限长序列f(n)是由两实有限长序列x(n),y(n)组成f(n)=x(n)+jy(n)，令已知DFTf(n)=F(k),求X(k),Y(k)以及x(n),y(n)。解：(1) (2)y(n)=16已知序列x(n)=,0a1,今对其z变换X(z)在单位圆上N等分采样，采样值为X(k)=X(z),求有限长序列IDFTX(k)。解：方法一方法二17设是周期为N的周期序列，通过系统H(z)以后，求证序列为证：在单位圆上对H(z)N等分采样，x(n)通过系统H(z)以后,输出频谱为18若系统H(z)的输入为周期单位脉冲序列,并测得系统输出序列及DFS=,问：系统函数在单位圆上的采样值等于多少？解：
