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1、基于碳纳米管互连的信号完整性和电磁兼容的建模I 研究背景集成电路或印刷电路板互连线电路中包含了时钟信号和其他为有源电路提供激励的信号源。在晶面散射、表面散射和高阻扩散势垒层的共同作用下，铜互连线的电阻值急剧增加。铜互连的寄生电阻的剧增对互连线的延迟和可靠性问题构成了严重挑战，它对电路的性能和可靠性有很大的影响。为了解决这些问题，近年来提出了用碳纳米管代替金属互连。碳纳米管具有机械稳定性高，热导性高，电流承载能力强等特点。这些特点能够保证互连线的稳定性，并可以解决电热击穿问题。但是分离的碳纳米管阻值很高，所以需要将碳纳米管束并联形成互连线，以满足工程需求。纳米管束可以假设成传播电磁波的多导体传输
2、线。在纳米集成电路的研究中，已经有研究提出了单壁碳纳米管互连线的实用性。并且可以得到纳米管束在频域上的电报方程，然后通过快速傅里叶反变换（IFFT）计算出时域结果。然而，若线路终端为非线性的，在高频应用中，终端信号的频率发生变化时，期望能够直接建立时域模型。因此，在碳纳米管互连线的设计中，需要能够对纳米器件进行精确度和灵敏度分析的工具。基于这种思想，作者提出了一种新的建模方法，目的有两点：1）对于有损和分离的碳纳米管束，应用一维波传播问题的格林函数，在时域上进行信号完整性（SI）分析；2）应用格林函数谱值，对碳纳米管束互连线的终端电压进行灵敏度分析。作者提出的时域模型也比较适用于频变的动态电感
3、模型，此外在碳纳米管互连线的外场耦合分析中也有较好应用。II 研究方法一、 单根单臂碳纳米管建模CNTs是具有独特的电特性、力学特性和热学特性的新材料，因此它将代替硅工艺，在未来超短纳米电子应用中具有更广阔的前景。传统的金属材料存在电子散射现象，而在一维单臂金属性材料CNTs中是不存在的。但由于势能差很大，电子会发出拥有足够能量（约150meV)的声子，产生散射现象。单根CNT的费米速度与金属的相等，约。虽然SWCNT中电子的平均自由程远远大于传统的金属材料中电子的平均自由程，但两者的导电性相当，甚至SWCNT的导电性更好，接近1。产生这种现象的原因是，SWCNT的态密度低，并且其能带隙为0。
4、A. 单位长度的纵向阻抗假设交流导电的Drude模型，考虑到一维导体仅有两种导电通道的情况，则单根碳纳米管的本征阻抗具有如下形式： (1)其中，是能量释放时间，是电子平均自由程，12.9，是复频率。式（1）中第一部分叫做散射电阻() (2) 式（1）中第二部分描述了感应现象，其动态电感为 （3）除了散射电阻，作者还考虑了另外两种电阻：（1）在一维和三维材料间的量子电阻，在每个导电通道中等于；（2）由CNTs和其他材料的非理想接触而产生的接触电阻，大小在零到几十万欧姆间变化，通常它对于整个电阻来说是很小的，因此在下面的讨论中可以忽略，但在建模时需加以考虑。假设单根CNT有N个导电通道，因此有 （
5、4a） （4b） （4c）又因为每根SWCNT的导电通道为N=2，所以有 （5a） （5b）一个纳米管的电感还包括由电磁场（EM)产生的磁性电感，即。对于单臂碳纳米管束，是可以估算的，通过标准的数值方法计算出它的静电场电容矩阵，然后得到 （6）因此，CNT的阻抗矩阵可以化为 （7）这里的和分别是单根CNT的散射电阻对角矩阵和动态电感对角矩阵，是磁性电感满秩矩阵。B.单位长度的横向导纳每束SWCNT的单位横向导纳的电容特性包括：量子电容和静电容。纳米管束的内电阻高达百万欧姆，可以被忽略。1） 静电容：当一个变化电荷量加在导体上，产生静电势能为，其中为静电容。对于导体和半导体碳纳米管束，可以应用瞬
6、态方法计算静电容矩阵。2） 量子电容：变化的电荷量会占据高于费米能量的量子能量状态。增加的电荷量达到这些高能级所需的能量可表示为。单根CNT单位长量子电容为 (8)由于单壁碳纳米管有两个导电通道，考虑在费米能级处电子有两个旋转方向，则每个SWCNT有四个导电通道，所以得出： （9）因此，单位导纳矩阵如下： （10）由上面所描述的单位长度纵向阻抗和横向导纳可以得出SWCNT的等效电路模型如图1所示；图2为同一水平面上两束平行放置的单壁碳纳米管，相对介电常数，相对于理想导体接地面的高度为，晶格常数为，单壁碳纳米管的半径为，每个碳纳米管束的半径为。图1 SWCNT的等效电路模型图2 同一水平面上两束
7、SWCNT的几何形状二、 多导体传输线(MTL)的并矢格林函数图2所示的单壁碳纳米管的互连，可以通过多导体传输线的频域近似求解进行分析。线性边界处，时域结果可以通过快速傅里叶反变换得到，这两种形式都表现出时间的衰减。若考虑非线性边界问题，采用时域模型更好。因此可以求解SturmLiouville问题的电报方程，SturmLiouville形式的并矢格林函数具有无穷离散的特点，使MTL的极点和留数更容易确定。这种方法的主要优点是，这些基础函数的使用避免了离散化过程，并且容易求出电路的极点和留数。SturmLiouville问题的电报方程假设一个NCNT个SWCNTs构成的纳米管互连线结构，则z
8、轴的电报方程为 （11a） （11b）其中 （12）把（11b）带入到（11a）可以得 （13）其中，。同时，施加电流时，齐次边界条件可以假设为 （14）通过使用并矢格林函数方程，有 （15）在多导体传输线中，式（15）中。又 （16）则并矢格林方程化为 （17）MTL端口电压方程的一般式则为： （18a） （18b）用Z矩阵可表示为 （19）其中 （20a） （20b）其中， （），（）。这里值得注意的是，串联形式的并矢格林方程极具有普遍性，Z(s）和Y(s)没有任何假设条件。B. 极点和留数的计算从Z矩阵中分母多项式的零点处可以得到传输线的极点 （21）因为Z矩阵可以产生额外的极点，每个产
9、生个极点，对于（19）式将被分为个部分的加和，所以共有个极点（或留数）。C. 降阶模型通过选择主极点可以将模型降阶，为此，若激励源在一定频带范围内，且最大频率为，则可分两个步骤选择主极点。一是选择虚部在频带范围内的极点。二是根据第一个步骤中选择的极点留数从而选择出主极点（通常把阈值定为最大留数的1 / 100）。将式（20）定义为n阶级数和，因此由Z矩阵能够容易得出极点和留数，并建立多导体传输线的时域模型，从而有 （22a） （22b） 线路终端的线性和非线性元件是由电流源和电压驱动的，得到等式 （23） 式中的和是端口电压和电流，和为电阻和电容矩阵，为非线性元件。 三、 灵敏度的分析 碳纳米
10、管互连线的灵敏度的分析可以通过与参数有关的方程式表达出 （24a） （24b）上面两式的灵敏度分别定义为 （25）所以式（24）中端口电压灵敏度为 （26） 由式（18）和式（26），能够建立时域模型。电压灵敏度向量在状态空间中可以表示为 （27a） （27b） （28a） （28b）其中，和代表了状态空间的变量。最后，总的端口电压灵敏度为 （29）并且得到终端的灵敏度 （30）式（27）（30）表示灵敏度在时域范围内可以直接计算，并且包括非线性终端。四、 数值结果下面将对上述的研究方法进行信号完整性（SI）和耦合分析，并将本文提出的时域模型的实验结果与应用传输线理论进行快速傅里叶反变换所得到
11、的实验结果进行对比。A. 碳纳米管互连的信号完整性的分析假设一个由80个碳纳米管构成的集束，长度 。每个纳米管的半径，和方向的晶格常数，纳米管束放置在距参考面的高度上。将纳米管并联，并加一激励源。输入电压的上升时间为2ps，振幅为0.1V，输出端接一电容。在0-1000GHz的频率带宽范围内，根据（19）式，在所有的极点中，采用其中的30个就可以进行准确的实验分析。图3为复杂表面的极点分布。通过前面提出的格林函数可以计算出阻抗矩阵Z，结果与通过TLT方法计算所得的结果相近。图4为阻抗随频率变化的曲线图。利用FSV（特征选择性验证）技术检测频域分析结果的准确性。对全局的各个变量和阻抗的幅度谱进行
12、FSV测试。由图5可以证实，实验结果的准确度较高。图3 复杂表面的极点分布图4 阻抗随频率变化的曲线图基于所提的格林函数的时域模型中，利用GF-GS和TLT理论通过快速傅里叶反变换可以进行瞬态分析，图6为碳纳米管束的瞬态输入电压和输出电压的变化曲线。图5 FSV分析结果图6 碳纳米管束端口电压曲线图B.两个碳纳米管束互连线的耦合分析上述的第二个例子为两个由12根纳米管并联的集束。每个纳米管的半径，管距为,晶格常数。集束长度 。集束间距为，距参考面高。通过20个不同模型可以得到81个极点构成的互连线分析结果图。图7所示的互连线为线性的；其中，。图7 互连线终端网络图8 纳米管束末端的端口电压图9
13、 终端电压灵敏度的数据比较使用TLT和文中所提出的方法可以计算端口电压，图8所示为纳米管束末端的端口电压随时间的变化曲线。然后计算与单位长度互电容有关的电压的灵敏度。图9显示了使用解析法计算和数值计算方法得出的终端电压灵敏度的结果。与快速傅里叶反变换的结果进行比较，就可以将频域分析结果变换到时域。图10 眼图 （a） (b) 应用FSV技术对时域计算结果进行比较，对末端电压进行FSV全局不同方法分析的结果如图9所示，可见这种GDM检测技术能够更加精确的对两种不同计算方法的数据结果进行比较。通过计算线路末端信号的眼图可以检测互连线的SI分析的结果。输入信号是一个不为零（NRZ）的伪随机位序列，它
14、具有以下特点：位时间，上升时间等于下降时间，。图10显示了在两种不同负载条件下接收端的信号的眼图：（1）当负载阻抗与特性阻抗相等时（即理想的匹配条件）；（2）当负载阻抗时。前者产生的眼图验证了该模型和方法的准确性，它不显示任何共振；后者的眼图结果显示出边界和峰值处的拖尾效应。III 结论这篇文章介绍了一种新的碳纳米管互连线的瞬态分析方法。利用一维波的格林函数建立互连线模型，这种模型的极点和留数通过普通方法就能够容易计算得到。基于并矢格林函数的频谱形式可以计算互连线物理参数和几何参数在时域上的灵敏度。对碳纳米管互连线的信号完整性和电磁兼容的问题进行分析计算，实验数据结果证实文章提出的方法具有较高的鲁棒性和准确性。因此，文章提出的建模方法在下一代碳纳米管互连线的设计中，具有广阔的应用前景。附：1 文章来源介绍2010年5月18日“Electromagnetic Compatibility, IEEE Transactions on” 52卷（2）2 第一作者Giulio Antonini：意大利拉奎拉大学副教授，研究方向为电磁兼容分析，数值建模和高速数字系统的信号完整性。现任IEEE EMC的意大利分会副主席，IEEE EMC Society TC-10委员会副主席，TC-9委员会成员。
