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1、初中数学二次函数易错题汇编及解析一、选择题1足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线. 不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：t01234567h08141820201814下列结论：足球距离地面的最大高度为20m；足球飞行路线的对称轴是直线；足球被踢出9s时落地；足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m. 其中正确结论的个数是（ ）A1B2C3D4【答案】B【解析】【分析】【详解】解：由题意，抛物线的解析式为y=ax（x9），把（1，8）代入可得a=1，y=t2+9t=（t4.5）2+20.
2、25，足球距离地面的最大高度为20.25m，故错误，抛物线的对称轴t=4.5，故正确，t=9时，y=0，足球被踢出9s时落地，故正确，t=1.5时，y=11.25，故错误，正确的有，故选B2一列自然数0，1，2，3，100依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数则下列结论正确的是（）A原数与对应新数的差不可能等于零B原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大C当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30D当原数取50时，原数与对应新数的差最大【答案】D【解析】【分析】设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解【详解】解：设原数为m，则新数为 ，设新数与原数的差为y则， 易得
3、，当m0时，y0，则A错误 当 时，y有最大值则B错误，D正确当y21时，21解得30，70，则C错误故答案选：D【点睛】本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号3如图是函数的图象，直线轴且过点，将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（ ）ABCD或【答案】C【解析】【分析】找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则M的范围可知.【详解】解：如图1所示，当t等于0时，顶点坐标为，当时，当时，当时，此时最大值为0，最小值为；如图2所
4、示，当时，此时最小值为，最大值为1综上所述：，故选：C 【点睛】此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为5的m的值为解题关键4如图是抛物线yax2+bx+c（a0）的部分图象，其顶点坐标为（1，m），且与x铀的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：abc0；ab+c0；b24a（cm）；一元二次方程ax2+bx+cm+1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（）A1B2C3D4【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的开口方向和与坐标轴的交点及对称轴可判别a，b，c的正负；根据抛物线的对称轴位置可判别在x轴上另一个交点；根据抛物线与直线y=m的交点可判
5、定方程的解【详解】函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴a0,c0抛物线的对称轴为直线x=1b0abc0；正确；抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间当x=-1时，y0，即a-b+c0，所以不正确；抛物线的顶点坐标为（1，m）， =m，b2=4ac-4am=4a（c-m），所以正确；抛物线与直线y=m有一个公共点，抛物线与直线y=m+1有2个公共点，一元二次方程ax2+bx+c=m+1有两个不相等的实数根，所以正确故选:C【点睛】考核知识点：抛物线与一元二次方程理解二次函数性质，弄清抛物线与一
6、元二次方程的关系是关键5如图，二次函数yax2bxc的图象过点(1,0)和点(3,0)，有下列说法：bc0；abc0；2ab0；4acb2其中错误的是()ABCD【答案】C【解析】【分析】利用抛物线开口方向得到，利用对称轴在轴的右侧得到，利用抛物线与轴的交点在轴下方得到，则可对进行判断；利用当时，可对进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，则可对进行判断；根据抛物线与轴的交点个数对进行判断【详解】解：抛物线开口向上，对称轴在轴的右侧，和异号，抛物线与轴的交点在轴下方，所以错误；当时，所以错误；抛物线经过点和点，抛物线的对称轴为直线，即，所以正确；抛物线与轴有2个交点，即，所以错误
7、综上所述：正确；错误故选：【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置（左同右异）常数项决定抛物线与轴交点抛物线与轴交点个数由决定6如图，抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于点A（1，0），对称轴为直线x1，当y0时，x的取值范围是（ ）A1x1B3x1Cx1D3x1【答案】D【解析】【分析】根据已知条件求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，即可得到答案.【详解】解：抛物线yax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），对称轴为直线x1，抛物线与x轴的另一交点坐标是（3，0），当y0时，x的取值范围是3
8、x1所以答案为：D【点睛】此题考查抛物线的性质，利用对称轴及图象与x轴的一个交点即可求出抛物线与x轴的另一个交点坐标.7方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程的实根x0所在的范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】首先根据题意推断方程x3+2x-1=0的实根是函数y=x2+2与的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程x3+2x-1=0的实根x所在范围【详解】解：依题意得方程的实根是函数与的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限当x=时，此
9、时抛物线的图象在反比例函数下方；当x=时，此时抛物线的图象在反比例函数下方；当x=时，此时抛物线的图象在反比例函数上方；当x=1时，此时抛物线的图象在反比例函数上方方程的实根x0所在范围为：故选C【点睛】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势8已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：a+b+c0；ab+c1；abc0；9a3b+c0；ca1其中所有正确结论的序号是()ABCD【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的开口方向可得出的符号，再由抛物线与轴的交点可得出的值，然后进一步根据对称轴以及抛
10、物线得出当、时的情况进一步综合判断即可【详解】由图象可知，a0，c=1，对称轴：x=，b=2a，由图可知：当x=1时，y0，a+b+c0，正确；由图可知：当x=1时，y1，ab+c1，正确；abc=2a20，正确；由图可知：当x=3时，y0，9a3b+c0，正确；ca=1a1，正确；正确故选：D【点睛】本题主要考查了抛物线的函数图像性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键9二次函数yx2+bx的对称轴为直线x2，若关于x的一元二次方程x2+bxt0（t为实数）在1x4的范围内有解，则t的取值范围是（）A0t5B4t5C4t0Dt4【答案】B【解析】【分析】先求出b，确定二次函数解析式，关于x
11、的一元二次方程x2+bxt0的解可以看成二次函数yx24x与直线yt的交点，1x4时4y5，进而求解；【详解】解：对称轴为直线x2，b4，yx24x，关于x的一元二次方程x2+bxt0的解可以看成二次函数yx24x与直线yt的交点，1x4，二次函数y的取值为4y5，4t5；故选：B【点睛】本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键10已知二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论：（1）4a+2b+c0；（2）方程ax2+bx+c0两根都大于零；（3）y随x的增大而增大；（4）一次函数yx+bc
12、的图象一定不过第二象限其中正确的个数是（）A1个B2个C3个D4个【答案】C【解析】【分析】由图可知，x=2时函数值小于0，故（1）正确，函数与x轴的交点为x=1.x=3，都大于0，故（2）正确 ，由图像知（3）错误，由图象开口向上，a0，与y轴交于正半轴，c0，对称轴x=1，故b0，bc0，即可判断一次函数yx+bc的图象.【详解】由x2时，y4a+2b+c，由图象知：y4a+2b+c0，故正确；方程ax2+bx+c0两根分别为1，3，都大于0，故正确；当x2时，由图象知：y随x的增大而减小，故错误；由图象开口向上，a0，与y轴交于正半轴，c0，x=10，b0，bc0，一次函数yx+bc的图
13、象一定过第一、三、四象限，故正确；故正确的共有3个，故选：C【点睛】此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知各系数所代表的含义.11抛物线（是常数），顶点坐标为.给出下列结论：若点与点在该抛物线上，当时，则；关于的一元二次方程无实数解，那么（ ）A正确，正确B正确，错误C错误，正确D错误，错误【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的增减性进行判断便可；先把顶点坐标代入抛物线的解析式，求得m，再把m代入一元二次方程ax2-bx+c-m+1=0的根的判别式中计算，判断其正负便可判断正误【详解】解：顶点坐标为,点（n，y1）关于抛物线的对称轴x=的对称点为（1-n，y1），点（1-n，y1）与在
14、该抛物线的对称轴的右侧图像上,a0，当x时，y随x的增大而增大，y1y2，故此小题结论正确；把 代入y=ax2+bx+c中，得,一元二次方程ax2-bx+c-m+1=0中，=b2-4ac+4am-4a一元二次方程ax2-bx+c-m+1=0无实数解，故此小题正确；故选A【点睛】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，第小题，关键是通过抛物线的对称性把两点坐标变换到对称轴的一边来，再通过二次函数的增减性进行比较，第小题关键是判断一元二次方程根的判别式的正负12已知在平面直角坐标系中，有两个二次函数及图象，将二次函数的图象按下列哪一种平移方式平移后，会使得此两个函数图象的对称轴重叠（ ）
15、A向左平移2个单位长度B向右平移2个单位长度C向左平移10个单位长度D向右平移10个单位长度【答案】D【解析】【分析】将二次函数解析式展开，结合二次函数的性质找出两二次函数的对称轴，二者做差后即可得出平移方向及距离【详解】解：ym（x3）（x9）mx212mx27m，yn（x2）（x6）nx28nx12n，二次函数ym（x3）（x9）的对称轴为直线x6，二次函数yn（x2）（x6）的对称轴为直线x4，4（6）10，将二次函数ym（x3）（x9）的图形向右平移10个单位长度，两图象的对称轴重叠故选：D【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据二次函数的性质找出两个二次函数的
16、对称轴是解题的关键13若二次函数的图象经过点（1，0），则方程的解为（ ）A，B，C，D，【答案】C【解析】【分析】【详解】二次函数的图象经过点（1，0），方程一定有一个解为：x=1，抛物线的对称轴为：直线x=1，二次函数的图象与x轴的另一个交点为：（3，0），方程的解为：，故选C考点：抛物线与x轴的交点14已知二次函数，关于此函数的图象及性质，下列结论中不一定成立的是( )A该图象的顶点坐标为B该图象与轴的交点为C若该图象经过点，则一定经过点D当时，随的增大而增大【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案【详解】解：y=a（x2-2x-3）=a（x-3）（x+1）令y=0
17、，x=3或x=-1，抛物线与x轴的交点坐标为（3，0）与（-1，0），故B成立；抛物线的对称轴为：x=1，令x=1代入y=ax2-2ax-3a，y=a-2a-3a=-4a，顶点坐标为（1，-4a），故A成立；由于点（-2，5）与（4，5）关于直线x=1对称，若该图象经过点（-2，5），则一定经过点（4，5），故C成立；当x1，a0时，y随着x的增大而增大，当x1，a0时，y随着x的增大而减少，故D不一定成立；故选：D【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型15如图是二次函数的图象，其对称轴为.下列结论：；若是抛物线上两点，则.其中正确的结论有（ ）A
18、1个B2个C3个D4个【答案】B【解析】【分析】由抛物线开口方向得到a0，根据对称轴得到b=-2a0，由抛物线与y轴的交点位置得到c0，则可对进行判断；由b=-2a可对进行判断；利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），则可判断当x=3时，y=0，于是可对进行判断；通过二次函数的增减性可对进行判断【详解】解：抛物线开口向下，a0，抛物线的对称轴为直线 ，b=-2a0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，c0，abc0，所以错误；b=-2a，2a+b=0，所以正确；抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），当x=3时，y
19、=0，所以错误；抛物线的对称轴为直线x=1，且抛物线开口向下，当x时，y随x的增大而增大点 到对称轴的距离比点 对称轴的距离近，y1y2，所以正确故选B【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由决定：=b2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点；=
20、b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；=b2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点16二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图，给出下列四个结论：4acb20；4a+c2b；3b+2c0；m（am+b）+ba（m1），其中正确结论的个数是（ ）A4个B3个C2个D1个【答案】B【解析】【分析】【详解】解：抛物线和x轴有两个交点，b24ac0，4acb20，正确；对称轴是直线x1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，抛物线和x轴的另一个交点在（3，0）和（2，0）之间，把（2，0）代入抛物线得：y=4a2b+c0，4a+c2b，错误；把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c
21、0，2a+2b+2c0，b=2a，3b，2c0，正确；抛物线的对称轴是直线x=1，y=ab+c的值最大，即把（m，0）（m0）代入得：y=am2+bm+cab+c，am2+bm+ba，即m（am+b）+ba，正确；即正确的有3个，故选B考点：二次函数图象与系数的关系17如图，已知，线段与轴平行，且，抛物线经过点和，若线段以每秒2个单位长度的速度向下平移，设平移的时间为（秒）.若抛物线与线段有公共点，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】直接利用待定系数法求出二次函数，得出B点坐标，分别得出当抛物线l经过点B时，当抛物线l经过点A时，求出y的值，进而得出t的取值范围；【详解】解：
22、（1）把点C（0，3）和D（3，0）的坐标代入y=-x2+mx+n中，得，解得抛物线l解析式为y=-x2+2x+3，设点B的坐标为（-2，-1-2t），点A的坐标为（-4，-1-2t），当抛物线l经过点B时，有y=-（-2）2+2（-2）+3=-5，当抛物线l经过点A时，有y=-（-4）2+2（-4）+3=-21，当抛物线l与线段AB总有公共点时，有-21-1-2t-5，解得：2t10故应选B【点睛】此题主要考查了二次函数综合以及不等式组的解法等知识，正确利用数形结合分析得出关于t的不等式是解题关键18如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y4xx2刻画，斜坡可以用一
23、次函数yx刻画，下列结论错误的是( )A斜坡的坡度为1: 2B小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势C小球落地点距O点水平距离为7米D当小球抛出高度达到7.5m时，小球距O点水平距离为3m【答案】D【解析】【分析】求出抛物线与直线的交点，判断、；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断；求出当时，的值，判定【详解】解：，解得，7=12，A正确；小球落地点距点水平距离为7米，C正确；，则抛物线的对称轴为，当时，随的增大而减小，即小球距点水平距离超过4米呈下降趋势，B正确，当时，整理得，解得，当小球抛出高度达到时，小球水平距点水平距离为或，D错误，符合题意；故选：D【点睛】本题考查的是解直
24、角三角形的坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键19如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴交于（-1，0），（3，0）两点，则下列说法：abc0；a-b+c=0；2a+b=0；2a+c0；若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）为抛物线上三点，且-1x1x21，x33，则y2y1y3，其中正确的结论是（）ABCD【答案】D【解析】【分析】abc0，由图象知c0，a、b异号，所以，错误；a-b+c=0，当x=-1时，y=a-b+c=0，正确；2a+b=0，函数对称轴x=-=1，故正确；2a+c0，由、知：3a+c=0，而-a0，2a+c0，故错
25、误；若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）为抛物线上三点，且-1x1x21，x33，则y2y1y3，把A、B、C坐标大致在图上标出，可知正确【详解】解：abc0，由图象知c0，a、b异号，所以，错误；a-b+c=0，当x=-1时，y=a-b+c=0，正确；2a+b=0，函数对称轴x=-=1，故正确；2a+c0，由、知：3a+c=0，而-a0，2a+c0，故错误；若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）为抛物线上三点，且-1x1x21，x33，则y2y1y3，把A、B、C坐标大致在图上标出，可知正确；故选D【点睛】考查图象与二次函数系数之间的关系，要会求对称轴、x=
26、1等特殊点y的值20在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图像可能是（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象有交点，若无解，则图象无交点；根据二次函数的对称轴在y左侧，a，b同号，对称轴在y轴右侧a，b异号，以及当a大于0时开口向上，当a小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y轴于正半轴，常数项为负，交y轴于负半轴如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案【详解】解：由方程组得ax2a，a0x21，该方程无实数根，故二次函数与一次函数图象无交点，排除BA：二次函数开口向上，说明a0，对称轴在y轴右侧，则b0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b0，两者矛盾，故A错；C：二次函数开口向上，说明a0，对称轴在y轴右侧，则b0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b0，两者相符，故C正确；D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错故选C【点睛】本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与a的正负的关系，a，b的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数的相关性质进行分析，本题中等难度偏上
