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1、安培力的四个难点突破作者姓名 陈 玖 琳单 位 北京市第九中学安培力的四个难点突破内容提要：安培力是高中物理的一个重点。电磁感应中的感应电流在磁场中受到安培力的作用，从而影响导体棒（或线圈）的受力情况和运动情况。所以要解决这类电磁感应问题，必须对安培力有很透彻的理解，比如安培力与洛仑兹力的关系，安培力的做功问题，安培力冲量的特殊形式，安培力对时间平均值和对位移平均值的不同等等。本文将对安培力的这些问题进行探讨。主题词：安培力 冲量 平均值正文： 在高三物理复习教学中，如果能紧紧抓住学生学习的问题所在，迷惑之处，教学效果会大大提高。电磁感应中感应电流在磁场中受到安培力的作用，从而影响导体棒（或线
2、圈）的受力情况和运动情况。所以要解决这类电磁感应问题，必须对安培力有透彻的理解，比如安培力与洛仑兹力的关系，安培力的做功问题，安培力冲量的特殊形式，安培力对时间平均值和对位移平均值的不同等等。下面对安培力的这些问题进行探讨。vRba图1F一、 安培力与洛仑兹力的关系我们常说安培力是洛仑兹力的宏观表现，但是洛仑兹力永不做功，安培力却能做功，这究竟是怎么回事呢？下面分析一个物理情境：如图1所示，导体棒ab置于光滑的水平导轨上，现给它一个水平向右的初速度v，导体棒在运动的过程中受到一个水平向左的安培力F，安培力F对导体棒做负功。v2bf2v1f1a图2再来分析洛仑兹力，导体棒ab向右运动切割磁感线，
3、产生感应电流，方向是从b到a，导体中的自由电子沿a向b定向移动，由左手定则可知电子受到一个水平向左的洛仑兹力f1；事实上，导体棒向右运动，其中的电子也会和导体棒一起向右运动，由左手定则可知电子受到一个从a到b方向的洛仑兹力f2，如图2所示。现假设某时刻导体棒向右运动的速度为v2，电子沿a向b定向移动的速度为v1，则f1=ev1B，f2=ev2B。由图可以看出：f1对电子做负功，f2对电子做正功，功率分别是P1=f1v2=ev1Bv2，P2=f2v1=ev2Bv1，所以，洛仑兹力的合力对电子不做功，分力是做功的。洛仑兹力的分力f1是安培力F的宏观表现。由此可见，当导体棒ab运动时，安培力并不是洛
4、仑兹力的合力，它是洛仑兹力一分力的宏观表现。只有导体棒ab固定不动有电流通过时，安培力是洛仑兹力的合力，是洛仑兹力的宏观表现。洛仑兹力的合力不做功，分力做功，所以洛仑兹力是要影响带电粒子的运动轨迹的。如果从功能角度研究问题，洛仑兹力的功就不必考虑了；如果从动力学角度研究问题就必须考虑洛仑兹力。Mv0BN图3例1 如图3所示，在空间有水平方向的匀强磁场B，一根光滑绝缘的空心细管MN的长度为h，管内M端有一质量为m、带正电量为q的小球，开始时相对管静止，当管携带小球一起向右以恒定速度v0运动时，小球可在管中加速上升。求：(1)小球的加速度；(2)简要说明小球从M上升到N的过程中，所受各力对它做的功
5、；Nmgfyffx图4-1v解析：(1)小球在运动过程中受到三个力的作用：重力mg、弹力N和洛仑兹力f，洛仑兹力f的方向与速度v的方向垂直。解题时把洛仑兹力f、速度v进行分解，如图4-1和图4-2所示。竖直方向的牛顿第二定律： v0vyv图4-2小球的加速度为： 小球在管中匀加速上升。(2) 小球从M上升到N的过程中，重力做负功；洛伦兹力不做功Wf=0；弹力做正功，由水平方向的平衡方程可知：(1)弹力N做功与小球克服水平方向上的洛仑兹力做功是相等的；(2)弹力是变力，做功不好求，只能另辟蹊径。洛仑兹力合力不做功，但洛伦兹力的分力做正功，做负功，两分力的功率分别是，综上所述，fy做功的多少等于弹
6、力做功的多少。所以点评：此题是有关洛仑兹力的动力学问题，关键是受力分析、运动分析。只要分析清楚“小球在管中加速上升”的原因，问题就迎刃而解了。此题的上述求解过程可以让学生深刻理解“洛仑兹力影响带电粒子的运动轨迹”及“洛仑兹力永不做功”。二、 安培力冲量的特殊形式安培力的冲量公式是，这是安培力在电磁感应中的一个重要推论。感应电流通过直导线时，直导线在磁场中受到安培力的作用，当导线与磁场垂直时，安培力的大小为F=BIL。在时间t内安培力的冲量根据电流的定义式，式中q是时间t内通过导体截面的电量欧姆定律，R是回路中的总电阻电磁感应中可以得到安培力的冲量公式，此公式的特殊性决定了它在解题过程中的特殊应
7、用。Laa图5例2 如图5所示，在光滑的水平面上，有一垂直向下的匀强磁场分布在宽为L的区域内，有一个边长为a（aL）的正方形闭合线圈以初速v0垂直磁场边界进入磁场，滑过磁场后速度变为v（vv0）那么（ ）A完全进入磁场中时线圈的速度大于（v0+v）/2；B完全进入磁场中时线圈的速度等于（v0+v）/2；C完全进入磁场中时线圈的速度小于（v0+v）/2；D以上情况A、B均有可能，而C是不可能的解析：设线圈完全进入磁场中时的速度为。线圈在穿过磁场的过程中所受合外力为安培力。下面是线圈在进入磁场、穿出磁场的过程中的动量定理：应用安培力的冲量公式后，上边两式可以变化为：由上述二式可得，即B选项正确。点
8、评：本题具有很强的综合性。由电磁感应知识推出，当减小时也减小，所以线圈在进入磁场和穿出磁场的过程都是变减速运动，所以不能用运动学的公式来解决问题了。进入磁场和穿出磁场的过程线圈的位移相同，我们可以利用动能定理，但无法对本题最终做出解答。这时要求学生能及时调节思维，合理进行选择，结合线圈在进入磁场和穿出磁场的过程中磁通量的变化量相等，利用安培力的冲量公式，会有柳暗花明又一村的感觉。三、 安培力做功的类比学习电磁感应中的力学问题，常常涉及安培力做功及对应的能量转化，所以能量守恒与转化思想是解这类问题的法宝。为了开拓视野，发散思维，在学习的过程中还可以采用类比的方法，把导体棒受到的安培力类比为力学中
9、的滑动摩擦力，克服滑动摩擦力做功对应着摩擦生热，克服安培力做功对应着感应电流的电能，最终转化为焦耳热；一对滑动摩擦力和一对安培力对系统做负功，对应的热都可用下面公式去计算： 等等。R B q abq图6例3 如图6所示，两根平行长直金属导轨倾斜放置，导轨平面与水平面的夹角为q，导轨的间距为L，两导轨上端之间接有阻值为R的电阻。质量为m的导体棒ab垂直跨接在导轨上，接触良好，导体棒与导轨间的动摩擦因数为,导轨和导体棒的电阻均不计。在导轨平面上的矩形区（如图6中虚线框所示）域内存在着匀强磁场，磁场方向垂直导轨平面向上，磁感应强度的大小为B。当磁场以某一速度沿导轨平面匀速向上运动时，导体棒以速度v0
10、随之匀速向上运动。设导体棒在运动过程中始终处于磁场区域内。求：(1)通过导体棒ab的电流大小和方向；(2)磁场运动的速度大小；(3)维持导体棒匀速向上运动，外界在时间t内需提供的能量是多少？解析：(1)导体棒ab做匀速运动，I= 电流的方向由b到a(2)当导体棒以恒定速度v0匀速运动时，设磁场运动的速度为v则E=BL(v-v0) 通过导体棒的电流I=解得 v=（3）用类比的方法，时间t内产生的焦耳热 摩擦生热和重力势能的增加量 在时间t内外界提供的能量 解得E = 点评：本题中安培力对磁场做负功，对导体棒做正功，对整个系统做负功，所以焦耳热可以通过下列方法求解。这样学生对本题的物理情境有了更好
11、的认识，开拓了视野，提高了学习能力，学生对电磁感应力学问题的学习感觉是似曾相识，减少了畏难情绪。四、 安培力对时间的平均值、对位移的平均值力对时间的平均值和力对位移的平均值通常不等。力对时间的平均值可以通过作 F-t图象，求出曲线与 t轴围成的面积（即总冲量），再除以总时间，其大小就是力对时间的平均值。力对位移的平均值可以通过作 F-x图象，求出曲线与x轴围成的面积（即做功总量），再除以总位移，其大小就是力对位移的平均值。电磁感应中的安培力一般都是变力，和是不等的，不能混淆。MNL图7 例4 如图7所示，足够长的光滑金属框竖直放置，框宽L0.5 m，框的电阻不计，匀强磁场磁感应强度B1 T，方
12、向与框面垂直，金属棒MN的质量为100 g，电阻为1 现让MN无初速地释放并与框保持接触良好的竖直下落，从释放到达到最大速度的过程中通过棒某一横截面的电量为2 C，求此过程中回路产生的电能（空气阻力不计，g10 m/s2）错解： 可得： t=1.4s又根据： 所以 J解析：金属棒下落过程做加速度逐渐减小的加速运动，加速度减小到零时速度达到最大，根据平衡条件得： 在下落过程中，金属棒减小的重力势能转化为它的动能和电能E，由能量守恒定律得： 通过导体某一横截面的电量为： 由解得E=3.2J。点评：物理是万物之理。本题错解中每一步都看似很有道理，其根本的错误是没有区分安培力对时间的平均值和对位移的平
13、均值。abCv0图8对应练习：1如图8所示，一个匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直水平面向下。在匀强磁场区域内的水平面中有一足够长的固定光滑U型金属框架宽为L，其上放一质量为m的金属棒ab，左端连接有一电容为C的电容器，现给棒一个初速v0，使棒始终垂直框架并沿框架运动，求导体棒的最终速度。解析：当金属棒ab做切割磁力线运动时，要产生感应电动势，这样，电容器C将被充电，ab棒中有充电电流存在，ab棒受到安培力的作用而减速，当ab棒以稳定速度v匀速运动时，有：而对导体棒ab利用动量定理可得：由上述二式可求得： v0abcd图92如图9所示，在匀强磁场B区域内与磁场垂直的平面中有两根足够长的固定
14、金属平行导轨，在它们上面横放两根平行导体棒ab、cd构成矩形回路，每根导体棒的长度为L，质量为m，电阻为R，回路部分导轨电阻可忽略，棒与导轨无摩擦，不计重力和电磁辐射，且开始时图中cd导体棒静止，ab导体棒具有向右的初速v0，试求两棒之间距离增长量x的上限。解析：当ab棒运动时，产生感应电动势，ab、cd棒中有感应电流通过，ab棒受到安培力作用而减速，cd棒受到安培力作用而加速。当它们的速度相等时，它们之间的距离最大。设它们的共同速度为v，则据动量守恒定律可得：mv02mv，即。对于cd棒应用动量定理可得： BLq=mv-0=所以，通过导体棒的电量q= 而PNMEB图10所以q= 由上述各式可
15、得： x=。3如图10所示，水平向左的匀强电场E=4V/m，垂直纸面向里的匀强磁场B=2T，质量m=1g的带正电的小物块A，从M点沿绝缘粗糙的竖直壁无初速滑下，滑行h=0.8m到N点时离开竖直壁做曲线运动，在P点时小物块A瞬时受力平衡，此时速度与水平方向成45，若P与N的高度差为0.8m，求：（1）A沿壁下滑过程中摩擦力所做的功；（2）P与N的水平距离。mgEqqvBmg45图11解析：（1）物体在N点时，墙对其弹力为零，设N点的速度为v，水平方向qE=qvB，所以v=E/B=2m/sM到N过程,据动能定理：mgh，所以J。（2）设在P点速度为v，其受力如图11所示，所以Eq=mg，qvB=,
16、得v=m/s.设N、P水平距离为x，竖直距离为y，物体由N到P过程电场力和重力做功，由动能定理，得x=0.6m4如图12所示，光滑的平行长直金属导轨置于水平面内，间距为L，导轨左端接有阻值为R的电阻。质量为m的导体棒垂直跨接在导轨上，导轨和导体棒的电阻均不计，且接触良好。通过沿导轨安装的通电线圈，在一矩形区域内产生匀强磁场，磁场方向竖直向下，磁感应强度的大小为B。开始时，导体棒静止于磁场区域的右端，当磁场以速度v1匀速向右移动时，导体棒随之开始运动，并很快达到恒定速度。已知导体棒在运动中所受到的阻力为其对地速度的k倍，设导体棒运动中始终处于磁场区域内。求：v1BmLR图8图12（1）导体棒开始
17、运动时的加速度a；（2）导体棒所达到的恒定速度v2；（3）在（2）情况下每秒钟消耗的磁场能。解析：（1）导体棒开始运动时速度为零，磁场以速度v1向右运动。感应电动势E=BLv1 回路中的电流 导体棒受到的安培力 加速度大小，方向向右 （2）当导体棒受到的阻力等于安培力时，以恒定速度v2匀速运动感应电动势E=BL(v1-v2) 回路中的电流 导体棒受到的安培力 达到恒定速度v2时，受力平衡解得 （3）系统消耗磁场能的功率，包括金属框发热功率和克服阻力的功率。即 或 解得 图13例2：如图13所示，两根竖直放置在绝缘地面上的金属框架上端接有一电容量为C的电容器，框架上有一质量为m，长为L的金属棒，
18、平行于地面放置，与框架接触良好且无摩擦，棒离地面的高度为h，磁感应强度为B的匀强磁场与框架平面垂直，开始时电容器不带电，将棒由静止释放，问棒落地时的速度多大？落地时间多长？分析和解：此题主要用来考查考生对匀变速直线运动的理解，这种将其电容和导棒有机地综合在一起，使之成为一种新的题型从另一个侧面来寻找电流的关系式，更有一种突破常规思维的创新，因而此题很具有代表性经分析，导棒在重力作用下下落，下落的同时产生了感应电动势由于电容器的存在，在棒上产生充电电流，棒将受安培力的作用，因此，棒在重力作用和安培力的合力作用下向下运动，由牛顿第二定律F=ma，得故mgFB=ma ，FB=BiL 由于棒做加速运动
19、，故v、a、FB均为同一时刻的瞬时值，与此对应电容器上瞬时电量为Q=C，而=BLv设在时间t内，棒上电动势的变化量为，电容器上电量的增加量为Q，显然=BLv ，Q=C ，再根据电流的定义式， ，联立得：由式可知，a与运动时间无关，且是一个恒量，故棒做初速度为零的匀加速直线运动，其落地速度为v，则，将代入得：，落地时间可由，得，将代入上式得评析：本题应用了微元法求出Q与v的关系，又利用电流和加速度的定义式，使电流i和加速度a有机地整合在一起来求解，给人一种耳目一新的感觉读后使人颇受启示图14例：如图14所示，倾角为=30，宽度为L=1m的足够长的U型平行光滑金属导轨固定在磁感应强度B=1T，在范
20、围充分大的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面斜向上，现用平行导轨、功率恒为6w的牵引力F，牵引一根质量m=0.2kg、电阻R=1放在导轨上的导棒ab，由静止沿导轨向上移动(ab棒始终与导轨接触良好且垂直)当金属导棒ab移动S=2.8m时，获得稳定速度，在此过程中金属导棒产生的热量为Q=5.8J(不计导轨电阻及一切摩擦，g取10m/s2)问(1)导棒达到稳定速度是多大？(2)导棒从静止达到稳定速度所需时间是多少？图15分析和解：此题主要用来考查考生是否能熟练运用力的平衡条件和能量守恒定律来巧解此题当金属导棒匀速沿斜面上升有稳定速度v时，导棒受力如图15所示，由力的平衡条件F=0，则FmgsinFB=0 ，FB=BIL ，=BLv ，又F=P/v ，由可得，整理得，代入有关数据得，解得v=2m/s，v=3m/s(舍去)(2)由能量转化和守恒，代入数据可得t=1.5s评析：此题较一般电磁感应类型题更能体现能量转化和守恒过程，因此，在分析和研究电磁感应中的导棒问题时，从能量观点去着手求解，往往更能触及该问题的本质，当然也是处理此类问题的关键和一把金钥匙
