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1、实用标准文档第 2 讲相似三角形 6 大证明技巧模块一相似三角形证明方法相似三角形的判定方法总结：1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.2. 三边成比例的两个三角形相似 . （ SSS）3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS)4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA)5. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL)相似三角形的模型方法总结：“反 A”型与“反X”型 .示意图AECDBBAODC“类射影”与射影模型结论反 A型：如图，已知ABC， ADE = C，则 ADE ACB （AA ）， AEAC=AD AB.若连 CD、BE
2、，进而能证明 ACD ABE (SAS)反X型：如图，已知角BAO= CDO ，则 AOB DOC（ AA ）， OAOC=OD OB. 若连 AD ，BC，进而能证明 AOD BOC .示意图ADCBCAHB结论类射影：如图，已知ABC， ABD = C，则 ABD ACB （AA ）， AB2 =AD AC.射影定理如图，已知ACB=90， CH AB 于 H，则AC 2AHAB,BC 2BHBA,HC 2HA HB精彩文案“旋转相似”与“一线三等角”示意图AEBDCDEABC巩固练习反 A型与反 X型结论旋转相似：如图，已知 ABC ADE ，则 ABAD，ACAE BAC =DAE ，
3、 BAD =CAE， BAD CAE（ SAS）一线三等角：如图，已知A= C=DBE ，则 DAB BCE（ AA ）已知 ABC 中， AEF= ACB ，求证：（ 1） AE ABAF AC （2） BEO= CFO ， EBO= FCO（ 3） OEF= OBC， OFE= OCBAEFBOC类射影如图，已知 AB 2AC AD ，求证： BDABBCACADCB射影定理已知 ABC， ACB=90，CH AB 于 H，求证：AC 2AHAB ， BC 2BHBA ，HC2HA HB14实用标准文档模块二比例式的证明方法通过前面的学习， 我们知道， 比例线段的证明， 离不开 “平行线模
4、型”（ A 型，X 型，线束型），也离不开上述的 6 种“相似模型” . 但是，王老师认为， “模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具， 怎样用好工具， 取决于我们如何思考问题 . 合理的思维方法， 能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧.技巧一：三点定型法技巧二：等线段代换技巧三：等比代换技巧四：等积代换技巧五：证等量先证等比技巧六：几何计算技巧一：三点定型【例 1】 如图，平行四边形ABCD 中， E 是 AB 延长线上的一点，DE交BC于F，求证：DCCF AEADDCFABE【例 2】 如图， ABC 中，BAC90，M
5、为BC的中点， DMBC 交 CA 的延长线于D ，交 AB于 E求证：AM 2MD MEDAEBMC【例 3】如图，在 Rt ABC 中， AD 是斜边 BC 上的高，ABC 的平分线 BE交 AC 于E，交AD于F求证： BFAB BEBCAEFBDC精彩文案技巧二：等线段代换悄悄地替换比例式中的某条线段【例 4】如图，在 ABC，AD 平分 BAC，AD 的垂直平分线交AD 于 E，交 BC 的延长线于F，求证：FD 2FBFCAEBDCF【例 5】如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点E在边 BA的延长线上， CE 交 AD 于 F ，ECAD 求证： AC BE CE AD DCF
6、EAB【例 6】如图， ACB 为等腰直角三角形，AB=AC， BAC=90， DAE=45，求证：2ABBE CDABDEC7 ABCAB AC， AD 是中线， P 是 AD 上一点，过CCFAB如图，中，作，【例 】延长 BP交 AC 于 E ，交 CF 于 F 求证： BP2PE PFAFEPBDC16实用标准文档技巧三：等比代换【例 8】如图，平行四边形ABCD 中，过 B 作直线 AC 、 AD 于 O ， E 、交 CD 的延长线于 F ，求证： OB2OE OF FAEDOBC【例 9】如图，在 ABC 中，已知A 90时，ADBC 于D ， E 为直角边 AC 的中点，过 D
7、 、 E 作直线交 AB 的延长线于 F 求证： AB AFAC DFAEBCDF【例 10】 如图，在 ABC 中（ AB AC）的边 AB 上取一点 D ，在边AC 上取一点 E ，使AD AE ，直线 DE 和 BC 的延长线交于点 P 求证： BP CECP BDADEBCP精彩文案技巧四：等积代换【例 11】 如图， ABC 中， BD、 CE 是高， EHBC 于 H 、交 BD于 G 、交 CA 的延长线于 M 求证： HE2HG MH MAEDGBHC【例 12】 如图，在 ABC 中， ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F ，连 EF，求证： AEF= CAEFBDC【例
8、 13】 如图，在 ABC 中， BAC90 ，D为AC中点， AEBD ， E 为垂足，求证：CBDECD ADCEB【例 14】 在 RtABC 中， AD BC， P 为 AD 中点， MN BC，求证 MN 2ANNCANPBDMC18实用标准文档技巧五：证等量先证等比【例 15】 已知，平行四边形 ABCD 中， E、 F 分别在直线AD、 CD 上， EF/AC， BE、 BF分别交 AC 于 M、 N.，求证： AM=CN.AEDMFNBC【例 16】 已知如图AB=AC， BD /AC，AB/CE，过 A 点的直线分别交BD、 CE 于 D、 E. 求证： AM=NC， MN
9、/DE.EADNMBC【例 17】 如图， ABC 为等腰直角三角形，点P 为 AB 上任意一点， PF BC， PE AC，AF 交 PE 于 N， BE 交 PF 于 M.，求证： PM =PN， MN/AB.AENPMCBF精彩文案【例 18】 如图，正方形BFDE 内接于 ABC ， CE 与 DF 交于点 N， AF 交 ED 于点 M， CE与 AF 交于点 P. 求证：（ 1） MN/AC；（ 2）EM =DN.AMDEPNBCF【例 19】 （）设E、F 分别为AC、 AB 的中点， D 为 BC 上一点， P 在 BF 上， DP /CF ，Q在CE上，DQ/BE，PQ交BE
10、于RCFSRS1，交于 ，求证：PQ3AFEGQRSPCBD20实用标准文档【例 20】 （）如图，梯形 ABCD 的底边 AB 上任取一点 M，过分别交 AD、BC 于 K 、N，连 KN ，分别交对角线 AC、BDDM 作 MK /BD ， MN/AC，于 P、Q，求证： KP=QN.CONQPKSRABM技巧六：几何计算【例 21】 （ 2016 年四月调考）如图，在ABC 中， AC AB，AD 是角平分线， AE 是中线，BF AD 于 G，交 AC 于点 M，EG 的延长线交AB 于点 H.（ 1）求证： AH =BH ，（ 2）若 BAC=60 ，求FG 的值 .DGAHMFGCBDE精彩文案【例 22】 （ 2016 七一华源）如图：正方形ABCD 中，点 E、点 F 、点 G 分别在边BC 、AB、CD 上， 1 2 3 . 求证：（ 1）EF EG AE（2）求证： CE CG AF22
