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1、文章编号 :1001 - 148X(2004) 03 - 0006 - 03跟踪误差的风险分析马骥(哈尔滨商业大学 金融学院 , 黑龙江 哈尔滨 150028)摘要 : 为了明确指数基金所面临风险的大小以及风险的来源 ,采用回归模型 、相关系数和多因素模型对跟踪误差的方差进行分析 ,给出并且证明跟踪误差方差分解的一般表达式 ,并且确定了进一步研究的方向 。关键词 : 跟踪误差 ;风险 ;绩效评价中图分类号 : F224. 112文献标识码 :ARish Analysis of Tracking ErrorsMA Ji(Department of Finance , Harbin Univers
2、ity of Commerce , 150028 , China)Absrtact :As to index fund , it is very inportant to the risk of investment combination. Firstly , the departure , say the risk , between fund achevevement and index fund achevevment should be confirmed. Secondly , We should know what causes the risk and accird2 ingl
3、y analyse the tracking error of the index - fund.Key words :tracking errors ; risk ; performame measurement33其中 Ep ( ) = , Ep ( rB ) = B 。这个模型将跟踪误差分解为两个成份 :1 . (- 1) rB 是跟踪投资组合与基准投资组合相关 的业绩 ,用 来度量 。如果 1 ,基准的收益是正的 时 ,跟踪投资组合会获得超过基准的收益 。2 .3 是跟踪投资组合与基准投资组合不相关的业绩 , 是预期到的与基准投资组合不相关的业绩 ,是 没有预期到的与基准投资组合不相关
4、的业绩。这种分解表明跟踪误差在多大程度上是与基准相 关的 。例如 ,如果基金的策略是采用杠杆 ,而不是改变 投资组合的结构 ,以期取超额业绩 ,通过回归就会得到 下面的参数 : = 0 ,1 ,= 0 。同样 ,如果投资组合的 结构与基准的成分出现了偏离 ,回归分析会表明 0 , 1 。公理 1 :跟踪误差的风险用跟踪误差的方差表示 ,具体包括三个成份 :对于 指 数 基 金 , 了 解 投 资 组 合 的 风 险 非 常 重 要 。首先 ,应该确定基金业绩与基准指数业绩总的偏离程 度 ,即风险的大小 。其次 , 还应该明确风险的来源 , 即 了解跟踪误差在多大程度上是由于与基准系统的偏离 所
5、引起的 ,多大程度上是由于与基准随机的偏差所引 起的 。按照这种思路 , 我们对指数基金的跟踪误差进 行分析 。一 、回归模型首先 ,我们通过对投资组合收益与基准收益进行 回归 ,获得跟踪误差 :rp = + rB + (1)假定 Ep () = Ep ( rB) = 0 ,根据回归 ,得到跟踪误差的表达式 :TE = rp - rB = + (- 1) rB += (- 1) rB +3 (2)收稿日期 :2003 - 03 - 24运输 、分类和包装等活动中的物质消耗 ;c3 是中间过程中的商业活动 (簿记 、通讯等) 的物质耗费 。C = c1 + c2+ c3 ;V = v1 + v2
6、 + v3 ;M = m1 + m2 + m3 。这里说的商业 工人包括商业的各级管理人员和店员等 。四 、结论通过一级交换产业企业实现了产业工人创造的全 部商品价值和剩余价值 。在商业过程中 , 商业工人通 过运输 、分类 、包装和再加工等生产性劳动继续增加了 商品的价值和剩余价值 ;同时 ,还通过服务性劳动创造 了服务商品 。服务商品具有价值和剩余价值 。商业利润不是从产业工人创造的剩余价值中瓜分来的 , 而是商业工人创造的 ,商业劳动力创造价值和剩余价值 。参考文献 :1 周守正 , 许兴亚. 资本论教学与研究纲要【第 二 卷】M. 北京 :中国经济出版社 ,1999 ,1.2 蒋学模.
7、 政治经济学教材M. 上海 : 上海人民出 版社 ,2001 ,5 ,第 11 版.3 程恩富. 现代政治经济学M. 上海 : 上海财经大 学出版社 2000 ,10 ,第 1 版.4 马克思. 剩余价值理论M. 马克思恩格斯全集 ,第 26 卷第一分册 ,161.(责任编辑 :李 智)总第 287 期马骥 :跟踪误差的风险分析7 V ar ( TE) = ( + ( - 1) B ) 2 + ( - 1) 222 (3)法 ,因此分析跟踪误差的方差和相关系数关系是非常重要的 。公理 2 :基准和跟踪投资组合收益之间跟踪误差的 方差和相关系数之间的关系是 :B 第一项是预期跟踪误差的方差 ,
8、第二项可以理解为相对基准偏离的风险暴露 , 第三项表示残余的跟踪 误差 ,第二项和第三项合在一起可以理解为随机的跟 踪误差 。证明 :根据投资组合和基准收益之间的回归模型 ,跟踪误差的方差可以表达为 :Var ( TE) = Ep ( rp - rB ) 2 = Ep (- 1) rB + (3 ) 2 222 = p (1 - )求解 得到 :22=1 - 21 - 22(4)2B + p证明 :从标准的回归代数 ,我们知道 := ( - 1) 2 Ep ( r2 )+ E (3 ) 2 + 2 ( -2 = E ( r - - ( r - ) ) 2Bp p p p B B展开得到 :1)
9、 2 Ep ( r3)在每一项中运用 x y = E ( xy) -2 = E ( r2 ) - E2 ( r ) + 2 E ( r2 ) -E2 ( r ) -E ( x) E ( y) ,得到 : p p p pp Bp BVar ( TE) = (- 1) 2 (2 + 2 ) + 2 + 2 + 2 (-2E ( r r ) + 2E ( r ) E ( r )B Bp B Bp p p B1) B应用方差 、协方差和 的定义 ,有 :2 = Ep ( x2 ) -p ( x) , x z r , r E2通过将投资组合收益的一阶矩和二阶矩表达为基准收益和残差收益的函数 ,得到 :p
10、 = + Bxp BpB = Ep ( rp rB ) -Ep ( rp ) Ep ( rB )pB=22 2 22p = BBP B = 2得到 :B跟踪误差的方差可以表达为 :Var ( TE) = Ep ( rp - rB ) 2 222 (1 - 2 ) 或 =1 - =2 = p1 -222 2B +p= Ep ( r2 ) + E ( r2 ) - 2 E ( r r )证毕p p Bp p B= 2 + 2 + 2 + 22相关系数取决于残余跟踪误差的方差 2 ,投资组- 2 ( B +p p B BPPB )合相对基准的风险暴露 , 以及基准收益的方差 2 。B= 22 + (
11、 + ) 2 + 2 + 2 - 2 (22如果没有基准的风险暴露 (= 0) ,相关系数是 0 。如果残余的跟踪误差是 0 ,相关系数是 1 。随着残余跟踪误 差方差的增加 ,相关系数下降 ,越小 ,相关系数下降的 幅度就越大 。另一方面 ,如果 从 0 增加到无穷大 ,相关系数开始从 0 按照渐近的方式达到 1 。原因在于 ,对BBB BB+ ( + B ) B )= (- 1) 22 + 2 + 2 - 2 (- 1) +BB(- 1) 2 2B= ( + (- 1) B ) 2 + (- 1) 22 + 2B 2证毕一部分随机跟踪误差的方可差以归因于基准的风 险暴露 。这样 ,通过使
12、1 ,可以获得预期超额业绩 (- 1) B ;但是由于基准收益具有一个随机的成份 ,所以 也会产生随机跟踪误差的方差 , 这就是著名的杠杆效 应 ,即通过在一个投资组合中使用杠杆 ,投资者可以获 得更高的预期收益 , 但是投资组合收益的方差也会随 之增加 。所以 ,最具吸引的方式是运用正的 ,而不是 1 ,来获得预期超额业绩 。例如 ,在一个 中性策略 中 (= 1) ,如果我能够持续的产生一个正的 ,那么随 机跟踪误差的方差就会很小 , 这就是积极管理的指数 化投资 (或增强指数化投资) 的理论基础 。增强指数化 投资的目标应该是保持 中性的前提下 , 通过证券选 择或使用衍生工具 , 以期
13、获得超过基准的业绩 。为了 获得正的 ,增强指数化投资在使用衍生工具的同时 , 可以使用其他特定的投资策略 ,或者投资于其他基金 。如果一些投资者只考虑到了残余的跟踪误差方差于给定的残余的跟踪误差的方差 ,越大 ,就222B + 越小 ,相关系数逐渐接近 1 。所以 ,尽管相关系数为 0 表明了较高的风险 ,但是 相关系数为 1 ,并不意味着没有基准风险暴露 。相关系 数为 1 意味着残余的跟踪误差的方差是 0 ,或者意味着 基准的风险暴露无穷大 (= ) 。所以 ,除非限制不能 使用杠杆 ,例如 ,限制 的取值小于 1 ,否则相关系数不 能准确的度量基准风险 。三 、多因素模型资产定价理论主
14、要的观点在于只有系统风险因素 才能够影响到资产的风险溢价 。所以 , 研究跟踪误差 的方差包含了多少系统风险 ,包含了多少非系统风险 , 具有重要的意义 。为了对跟踪误差的风险进行分析 , 我们将研究的重点集中于特定资产定价模型 。相关的 文献提出了大量的资产定价模型 , 其中最具有影响力 的是 Sharp 提出的资本资产定价模型 ( CAPM) ,Merton 提 出的跨期 CAPM ,以及 Ross 提出的套利定价理论 。对于第 i 种资产的收益我们采用一般的多因素模 型 ,其形式是 :k2 ,忽视了总跟踪误差方差的另外两个成份 ,就会承担更大的 风险 ,不能有效控制风险 ,不能够产生足够
15、的预期超额业绩 。二 、相关系数分析相关系 数 是 度 量 相 对 基 准 风 险 的 另 一 种 主 要 方ri = Ai + B ik f k + Vik(5)= 1其中 , Ai 是一种资产具有的特殊常量 , f k 是动态系2004038 商业研究统风险因素的随机变量 , k = 1 , K , Vi 是非系统风险因素 ,参数 B ik 是第 i 种资产收益对系统风险的敏感系 数 。假定 f k 和 Vi 是相互独立的 。公理 3 :运用因素模型的表达式 ,跟踪误差的方差 可以分解为如下形式 :对非系统风险因素的风险暴露 。一个好的基金管理跟踪误差的方差的方差对于非系统风险因素的风险暴
16、露 应该是 0 ,因为市场这种风险暴露不能提供风险溢价。 金融理论努力将风险划分为系统风险成份和非系统风险成 份 , 这 样 就 可 以 判 断 一 种 投 资 策 略 的 好 坏。 但是 ,根据资产定价模型进行分解存在明显的缺陷 ,如 果资产定价模型是错误的 , 那么运用这种模型对基金 经理进行评价也会是错误的 。近期的实证分析表明 , 存在随时间变化的风险溢 价 ,存在随时间变化的资产收益的二阶矩。为了获得 跟踪误差方差的一般表达式 , 本文假设资产收益时间 序列的行为是 ( i , i , d) 过程 。运用静态的资产定价模 型就可以将跟踪误差的方差分解为系统的和非系统的 成份 。根据动
17、态的资产定价模型 , 采用随时间变化的 资产收益的一阶矩和二阶矩 , 还可以计算出条件跟踪 误差的方差 。但是条件跟踪误差的方差更加依赖于模 型的设计 ,如何设计模型还有待于理论界进一步的研 究 。参考文献 :1 马永开 , 唐小我. 基于跟踪误差的证券组合投资 决策模 型 研 究J . 系 统 工 程 理 论 与 实 践 , 2001 , (12) .2 马 骥. 资本资产定价模型在积极的投资组合中 的应用J . 数量经济技术经济研究 ,2002 , (10) .3 Manuel Ammann , Heinz Zimmermann , 2001. The Re2 lation between
18、 Tracking Error and Tactical Asset Alloca2 tion. WWZDepartment of Finance , Working PaperNo . 901.k kkkVar ( TE ) = A2+ B kkj+ 2 A B kk+ k = 1k = 1 j = 1k = 1kB k Bj kj 2(6)vj = 1其中 ,kj 表示第 k 个系统风险因素和第 j 个系统风险因素之间的协方差 ,k 表示第 k 个系统风险因素预 期的变化 。表达式中的前三项合在一起可以理解为预期系统风险因素 的 成 份 , 或 者 理 解 为 预 期 跟 踪 误 差 的
19、方 差 。 第四项是随机系统风险的成份 。第五项是非系统风险 的成份 。第四项和第五项合在一起可以被理解为随机 跟踪误差的方差 。证明 :将投资者组合理解为两个部分 ,一部分是对 复制投资组合做多 ;另一部分是对基准投资组合做空 , 跟踪误差 rP - rB 可以分解为系统和非系统风险的成 份 。对于这样一个投资组合 , 采用多因素模型定价的 表达式为 :krp - rB = A + B k f k + vk = 1其中前两项表示系统风险因素 , 最后一项表示非 系统风险因素 。根据跟踪误差模型 ,跟踪误差方差的表达式是 :Var ( TE) = Ep ( rp - rB ) 2 k4vari
20、ance analysis of trackingRoll , R , 1992. A mean= Ep ( A + B k f k + v) 2 k = 1error. The Journal of Portfolio Management 18 ( Sum2mer) , 13 - 22.5 Speranza , M. G , 1993. Linear programming models for portfolio optimization. Finance 14 , 107 - 123.6 Pope , p . and P. K. Yadav , 1994 , ”Discovering
21、Errorin Tracking Error ,”Journal of Portfolio Management( Winter 1994) , 27 - 32.(责任编辑 :习 文)k kk= A2 + B k Bj (kj + kj ) + 2 A B kkk = 1 j = 1k = 1+ 2v最后一项表示非系统风险成份 , 其他项合在一起表示系统风险成份 。将表达式重新安排我们就可以证 明公理 3 。将跟踪误差的方差分解为两个成份 , 第一个成份表明对系统风险因素的风险暴露 , 第二个成份表明了投稿须知关于参考文献的要求参考文献是对期刊论文引文进行统计和分析的重要信息源之一 ,要求论文
22、作者要严格按照 GB - 7714 推 荐的顺序编码制格式著录 。各类参考文献条目的编排格式如下 :1. 期刊文章 (文献类型标识“J ”) 序号 主要责任者文献题名J 刊名 ,年卷 (期) :起止页码 。例 : 1 华本良. 国有企业公平竞争论J . 商业研究 ,2001 , (6) :52 - 54.2. 专著M 、论文集C 、学位论文D 、报告R 序号 主要责任者文献题目 文献类型标识 出版地 :出版者 ,出版年 :起止页码 (任选) 。例 : 1 刘国钧 ,陈绍业 ,王凤翥. 图书馆目录M. 北京 :高等教育出版社 ,1957 :15 - 18.3. 报纸文章N 序号 主要责任者文献题目N 报纸名 ,出版日期 (版次) 。例 : 1 谢希德. 创造学习的新思路N . 人民日报 ,1998 - 12 - 25 (10) .
