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1、VaR-GARCH类模型在股市风险度量中的实证研究黄炎龙作者介绍：黄炎龙，南京工业大学经济管理学院企业管理专业研究生，研究方向金融风险管理。VaR-GARCH类模型在股市风险度量中的实证研究黄炎龙摘要：金融市场风险管理的核心是对风险的度量，度量风险最流行的方法是VaR方法。本文选取1998年1月5日2006年11月6日的上证综指日收盘价指数共计2129个数据实证分析了GARCH、EGARCH、TARCH和PARCH四种模型在正态分布、t分布以及GED分布下预测出的VaR值的准确程度。实证分析结果表明，与正态分布和t分布相比，GED分布能较好的反映股市收益率回报序列的厚尾特征，同时使用GARCH
2、类模型预测VaR值时，EGARCH和PARCH模型要优于其他模型。关键词：沪市；VaR（Value at Risk）；GARCH类模型；后验测试 An empirical analysis on the risk calculation of stock market using VaR-GARCH cluster modelsHuang Yan-LongAbstract： The calculation of risks is considered as the core on risk management in financial market. The most popular met
3、hod in calculating financial risks is currently value at risk. This paper analyzes four models， includinggeneralized autoregressive conditional heteroscedasticity model， so-called GARCH model， Exponential GARCH， threshold GARCH and power GARCH as well， based on three distributions of gauss normalize
4、d， students t and generalized error， in which speculates value at risk of return index of stock market in the future and experiences the degree of their results. The results of research show GED can display features-tailed more exactly than students t distribution and gauss normalized distribution.
5、Meanwhile， two models of EGARCH and PARCH are better than others GARCH model.Keywaords：Stock market in ShangHai；Value at Risk；GARCH cluster models； Backtesting；中图分类号：F822 文献标识码：A 文章编号：一、前言金融市场风险管理的核心是对风险的度量，度量风险最流行的方法是VaR方法，而基于GARCH模型计算市场风险VaR值则成为目前的主流。GARCH类模型能比较好的描述股市收益率波动的动态变化特征，捕捉股市的丛集效应和非对称性效应1
6、，从而国内外的学者对GARCH类模型展开了大量的研究。同时，目前计算VaR比较常用的方法是参数法，因此大量的研究采用GARCH类模型计算具有时变特征的市场风险VaR值。另外，计算预测VaR值时，需要假定收益率序列服从一个概率分布，实践中大量风险度量都假定为正态分布，但金融资产收益率序列具有尖峰厚尾特征2，正态分布不足以反映收益率序列的尾部特性，而VaR计算预测出的风险值是从尾部的损益角度上来考虑的，因此大量的研究对t分布和GED分布展开了研究1，3-5，研究表明t分布和GED分布能较好的反映收益率回报序列的尾部特征，但由于不同研究所选取方法的不一样，分析的角度也不一致，因此结论不尽一致。就GA
7、RCH类模型而言，其条件异方差的独特优势能代替无条件方差而反映市场的时变特征，也不断的在发展和完善，并提出新的条件异方差模型6-8。本文就是在研究国内外文献的基础上，试图用参数法采用多种反映市场时变特征的GARCH类条件异方差模型以及不同的概率分布预测计算股市未来一日内的VaR值，对比分析不同分布下各模型计算出的VaR值的准确程度，从而为风险管理中计算VaR时模型的采用以及分布的假定提供一个更好的借鉴。二、VaR的计算与GARCH类模型（一）VaR的计算与检验VaR（Value at Risk，译为“风险价值”、“在险价值”以及“险阵”等）是由J.P.Morgan公司先提出来的，并在实践中获得
8、了广泛的应用。其主要的优点是将不同的市场因子或风险表示为一个数，比较准确的度量了金融资产或投资组合在未来的一个时期内的最大潜在的损失，适应金融市场发展的动态性和复杂性。VaR是指在一定的置信水平下，资产或投资组合在未来的一段时间内可能遭受的最大损失9（Jorion ，1996）。由VaR的定义，若金融资产或投资组合未来的随机损益为，则对应于置信水平为（一般为99%或者95%）的VaR满足如下等式（1）由于计算出的VaR值为负，但通常则将VaR取为正值，故在（1）中的VaR前面加负号。1999年，Artzner10等给出了VaR最严格的数学定义式： （2）式（2）关于VaR 的数学定义式可以看出
9、，计算VaR值只需要确定三个关键的变量：置信水平、资产或组合的持有期以及资产回报的概率分布。置信水平和资产的持有期是风险管理中根据管理者的需要而确定的。这样，计算预测VaR值时选择合适的概率分布成为至关重要的问题。由于实践中资产或投资组合的收益率序列的概率分布比较难确定的，为了简化计算，通常假定为正态分布。这样式（2）确定了在置信水平时损益分布的下分位数，即资产尾部的最大损失。假定以资产未来价值的期望为参照，则计算VaR的公式为：（3）式（3）中为资产的最初价值，为方差，为下分位数，为资产的持有期。根据（3）式我们就可以计算出资产未来一段时间内的VaR值了。在计算出VaR值后，就要对估计结果进
10、行检验，这就是对模型的后检测试。后检测试最常用的是失败检验法11。失败频率检验法是通过比较实际损失超过VaR的频率与一定置信水平下的上限值是否接近或相等，来判断VaR模型的有效性。如果模型有效，则模拟的失败率应等于预先设定的VaR置信度，如果失败率与相差较大，表明模型不适合。假定置信水平为，置信度为，实际考察天数为，失败天数为，则失败频率记为，这样失败频率就服从一个二项式分布，期望概率为，设零假设为；备择假设为，检验失败频率是否拒绝零假设。Kupiec 提出了采用似然比率检验法对零假设检验，似然比方程为：（4）式（4）在零假设条件下， 统计量 服从自由度为1的 分布。（二）GARCH类模型广义
11、自回归条件异方差模型（generalized autoregressive conditional heteroscedasticity model， GARCH模型）是由Tim Bollerslev（1986）在Engle的ARCH模型的基础上提出来的12。在GARCH模型中考虑两种设定，分别是条件均值和条件方差。GARCH（q，p）模型的一般表达式为： （5）式（4）中收益率序列、为残差、为条件方差、为独立同分布的随机变量、与相互独立；为收益的无条件期望值，为滞后期参数，为方差的参数。GARCH描述了股市收益率序列的自相关性，具有反映市场时变的特征。但股市收益率的波动呈现出一种非对称性的特
12、征，为了反映波动的非对称效应，Zakoian （1991）和Glosten、Jagannathan、 Runkle（1993）8 提出了TARCH或者门限ARCH（Threshold ARCH）模型是由提出的，其条件异方差变为： （6）模型中为虚拟变量，当时，；否则，。式中只要就存在非对称效应。Nelson（1990）13又提出了允许和具有比二次方程映射更加灵活的关系的指数GARCH模型（Exponential GARCH，EGARCH模型），EGARCH模型的条件方差为：（7）这样，非对称性的杠杆效应就是指数形式而不是二次型的，所以条件方差预测值一定是非负的。杠杆效应的存在能够通过的假设得到
13、检验。式中只要就存在非对称效应14。但由于标准差的GARCH模型模拟的不是方差，而是标准差，因此大幅度的冲击对条件方差的影响比在标准差GARCH模型要小，基于这种情况，Ding et al.（1993）提出了PARCH（Power ARCH）模型6，PARCH模型指定的条件方差方程形式为：（8）式中，当时，；当时，。在PARCH模型中，标准差的幂参数是估计的，不是指定的，是用来评价冲击对条件方差的影响幅度；而是捕捉直到阶的非对称效应的参数。这样，我们利用四种不同模型下计算出的条件异方差，然后在进行回报和方差的预测，利用预测出的回报和方差以及相应概率分布下的分位数就可以代入（3）式求出未来时刻的
14、VaR值了。（三）关于分布另外，在GARCH模型中的残差分布通常有三种：正态（高斯）分布、学生t分布和广义误差分布（Generalized Error Distribution， GED）。实践中，通过假定为正态分布，但正态性不足以反映股市收益率序列的尖峰厚尾性，因此Nelson和Hamilton等人提出用广义误差分布和t分布来反映厚尾特性。t分布概率密度函数（Probability Density Function）为：（9） 为Gamma函数， 为自由度，当趋近于时，t分布收敛于正态分布。GED分布的概率密度函数为： （10）当时，GED表现为厚尾，当时GED为正态分布，当则表现为瘦尾。三
15、.数据与分析（一）数据选取与基本统计描述本文的实证分析工具采用Matlab7.0和Eviews5.0。在数据的选取上，从沪市和深市过去的指数波动情况看，具有很大的相关性，同时沪市开市早、市值高，对外部冲击的反应较敏感的特征，并且对深市具有一定的“溢出效应”，因此对本文选择沪市作为研究样本。另外，由于我国股票上市初期，进入流动的股票数量少，同时证券市场交易制度与监管制度也不完善，股票质量不高，股市呈现一定的大幅度波动的现象，而在1997年后则呈现出平稳状态。从而本文选取1998年1月5日2006年11月6日上证综指日收盘价格指数，样本总量为2129个。本文把股票的日收益率定义为： （11）图1是
16、股票日收益率的线性图。从图中可以看出，股票日收益率的波动比较平稳，没有大幅度的波动。但收益率异常值出现的频率比较高，并会集中在一个特定的时期出现，这种现象图1日对数收益率的线性图显示出了一种波动的聚类现象，即收益率序列随着时间的变化而变化，同时，表现出一段时间内的连续偏高或偏低。表1是对上证综指的描述性统计，从表中对数收益的偏度、峰度以及JB统计量可以看出，股市收益率序列存在明显的尖峰厚尾特征。同时，用单位根方法对收益率序列进行检验，得到如表2所示的结果，表中数据显示，对数收益率序列具有显著的平稳性。对收益率序列的自相关性进行分析，图2左是收益率序列的部分自相关函表1收益率的描述性统计量均值最
17、大值最小值标准差偏度峰度JB统计量 0.000204 0.094008-0.087277 0.014004 0.4155428.4050762651.625表2数据的单位根检验结果ADF Test Statistic-44.95372待添加的隐藏文字内容21% Critical value-3.4332275% Critical value-2.86269710% Critical value-2.567432数值，可以看出，大部分的时滞自相关函数值在横轴附近波动，所以可以认为收益率序列不具有自相关性或呈弱自相关性，但收益率平方的ACF值如图2右却表现出一定的自相关性，当滞后期为20时减弱，因
18、此可以认为序列的方差具有一定的相关性。直观的看，收益率序列存在集聚性，可能存在异方差现象，从而对序列进行LM测试。从表3的检验结果可以得出结论，沪市收益率序列存在异方差现象。从而，我们可以选用具有时变特征的GARCH类模型来计量回报率序列的条件波动性，根据AIC和SC信息原则，本文全部选用GARCH（1，1）模型。图2收益率序列的ACF与收益率平方的ACF图表3LM异方差测试QF统计量观测值个数*R2P值122.0789421.872370.000000225.0145948.945930.000000330.1975287.043890.000000424.0295692.162650.00
19、0000（二）不同分布下GARCH模型的估计与VaR值的计算与检验表4正态分布下各模型的估计结果模型GARCH7.78E-060.1242210.842479（6.409439）（11.92680）（67.13213）EGARCH-0.4856040.2283410.963706-0.053567（-8.283118）（11.86942）（164.6701）（-6.349263）TARCH6.63E-060.0763860.8534660.088950（6.495829）（7.385651）（73.68150）（6.132258）PARCH0.0024320.1118770.8829240.3
20、121320.604325（1.776397）（9.733434）（78.83829）（6.375368）（4.664903）表4是正态分布下各模型的估计结果。从模型的估计参数来看，各模型的参数在95%的置信水平下显著，并且对各模型估计后的残差做异方差效应检验，均不存在显著的异方差现象，这表明各模型能比较好的反映股市对数收益率序列的异方差现象。表5是在正态假定下以及95%的置信水平下估计未来一个交易日的VaR值等。表中的失败天数是实际损失超过所估计的VaR值所返回的结果，失败率是失败天数与样本期的比例。从四个模型计算出的VaR值上来看，VaR均值上没有明显差别，估计标准差EGARCH和PARC
21、H两模型要比GARCH和TARCH小，同时返回的失败天数相差不是很明显，失败率都接近5%，按照Kupeic提出的LR统计量检验，在95%显著水平下不能拒绝零假设，所以各模型计算的VaR值结果比较准确。图3中各图描述了正态分布假定下的回报序列与不同模型估计的VaR值的直表5正态分布模型下的VaR估计结果模型置信水平VaRVaRVaRVaR失败天数失败率（%）最小值最大值均值标准差（天）（%）GARCH950.0126640.0685000.0225030.0077171024.7910%EGARCH950.0097270.0608190.0219330.006626964.5091%TARCH9
22、50.0120670.0680720.0221760.0074091004.6970%PARCH950.0096600.0620900.0219570.006765934.3682%线图，从各图可以看出，不同时刻的VaR是回报序列的包络曲线。伴随着收益率序列的波动，预测的VaR值也不断的呈现波动状态，并且直接的与其收益率系列的波动性有关。另外，模型参数中的非对称项显著的异于零，因此描述了沪市收益率波动的非对称性。图3正态分布下回报序列与各模型下估计的VaR的比较表6是在t分布假定下估计的各模型的结果。从表中可以看出，在t分布下，各模型的参数估计值在95%的置信水平下显著，对残差进行异方差效应的
23、检验，都已不存在异方差现象，说明模型较好的拟合了回报率序列的时变特征。通过估计各模型的参数预测未来一日的VaR值如表7所示，表7中的VaR值均值、标准差等指标相差不大，但是估计出的VaR值明显偏高，表明在t分布下估计出的VaR值过于保守，并且失败率也未通过的检验，即利用Kupeic准则拒绝零假设。图4为利用估计出的VaR值与回报率序列的线性图，从图中可以看出，VaR的线性图位置要比图3中正态分布下的靠横轴更远，因此，在95%的置信水平下的超出数量非常小，失败率非常小，相对误差比较大。非对称项显著异于零，表明了沪市收益波动的非对称效应。表6t分布下模型的估计结果模型DOF.GARCH8.56E-
24、060.1055720.8546874.946565（3.682237）（5.722066）（36.56709）EGARCH-0.5234720.2189350.958414-0.0626905.302079（-4.707634）（7.106664）（84.28771）（-3.804510）TARCH7.91E-060.0664640.8510800.0996325.107339（3.685194）（3.910885）（37.43044）（3.481234）PARCH0.0010620.1155290.8761640.3356740.8372725.368413（0.943388）（6.693
25、858）（44.77924）（4.148509）（3.505927）表7t分布模型下的VaR的估计结果模型置信水平VaRVaRVaRVaR失败天数失败率（%）最小值最大值均值标准差（天）（%）GARCH950.0174480.0784750.0284310.008817411.9257EGARCH950.0129010.0756680.0279920.008053391.8318TARCH950.0163050.0856790.0283000.008992391.8318PARCH950.0132980.0773800.0279890.008276411.9257图4t分布下回报序列与各模型下
26、估计的VaR的比较表8为GED分布假设下各模型的估计参数，GED尾部参数为1.2左右，表明汇报率序列可以较好的反映厚尾现象，其他各参数都在95%的置信水平下显著，对模型进行异方差效应检验，不存在异方差现象，表明在GED分布下各模型均能较好的拟合汇报率序列的异方差现象。表8为预测出的VaR值，在95%的置信水平下各模型预测的VaR的均值与标准差相差不大，失败率接近5%，相对误差不大，失败率通过Kupeic准则的检验，接受零假设。图5中是叠加的线性图，VaR曲线比t分布下要高，比正态分布下要低，从而返回测试表明，GED分布下能较好的预测回报率序列未来的VaR值。同时似然比率检验P值表明在95%的置
27、信水平下四模型中GARCH和TARCH模型要优于EGARCH和PARCH模型，但使用GARCH模型预测的标准差比其他模型都要大，因此，PARCH模型是最佳模型。同时，估计模型的非对称项也显著的异于零，进一步的表明股市收益序列中存在非对称效应。表8GED分布下模型的估计结果模型GED Par.GARCH8.02E-060.1086090.8518551.210952（3.600637）（6.050058）（36.69440）EGARCH-0.5048290.2182320.960806-0.0567251.243816（-4.646220）（6.961002）（87.21831）（-3.7299
28、36）TARCH7.23E-060.0688480.8536750.0893771.224909（3.615973）（3.901986）（38.61606）（3.460930）PARCH0.0015400.1125900.8797900.3233540.7337001.250384（0.956143）（6.304208）（45.15115）（3.920543）（3.086897）表9GED分布模型下的VaR估计结果模型置信水平VaRVaRVaRVaR失败天数失败率（%）最小值最大值均值标准差（天）（%）GARCH950.0131810.0620720.0220590.0070511014.74
29、40EGARCH950.0098910.0590850.0217750.006351984.6031TARCH950.0124190.0663710.0219850.0070741004.6790PARCH950.0100370.0604410.0217780.006509974.5561图5GED分布下回报序列与各模型下估计的VaR的比较四、结论本文通过计量研究的方式对沪市收益收益率序列的风险度量进行了实证分析，采用反映市场时变特征的GARCH类模型分别在三种不同的概率分布下计算预测了未来一日的VaR值，应用了Kupiec准则测试了估计出的VaR值的准确程度，并对比分析了各模型不同分布下计算
30、的VaR精确程度。实证研究结论表明，我国股市收益率序列具有显著的波动聚类和尖峰厚尾性，描述金融资产序列的尖峰厚尾性特征最佳的概率分布为GED分布。正态分布下失败率比较高，从而一定程度上低估了风险，而t分布因为过于保守而导致VaR值估计过高，预测出的VaR失败率相对误差较大，通不过Kupeic提出的似然比检验，因此这两种分布都不能准确的描述金融资产的尾部特征。在采用GARCH类模型计算VaR值时，在不同的分布假定下，EGARCH和PARCH模型计算的VaR值标准差都小，精准度比其他模型要高，因此，EGARCH和PARCH模型是计算时变市场风险VaR的最佳模型。另外，GARCH类模型还描述了股市收
31、益波动的非对称性，即坏消息给股市带来的冲击要大于好消息。参考文献：1 龚锐、陈仲常、杨栋锐，GARCH 族模型计算中国股市在险价值（VaR） 风险的比较研究与评述，数量经济技术经济研究2005年第7期。2 Alexander J M， Rudiger F. Estimation of tail-related risk measures for heteroscedastic financial time series：An extreme value approachJ . Journal of Empirical Finance ， 2000 ， （7） ：pp 271-298. 3 Ge
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