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1、最优加权组合法在中国粮食产量预测问题中的实证分析摘要: 组合预测模型能够较大限度地利用各种预测样本信息，比单一预测模型考虑问题更系统更全面，能够有效的减少单个预测模型中一些随机因素的影响，从而提高预测精度。本文利用最优加权组合法，对柯布-道格拉斯生产函数模型，指数平滑模型和ARMA模型进行组合，通过计算确定其权重，得出未来十年的粮食预测产量，同时根据MSE准则得出组合预测模型的精度比其余单一的预测模型的预测精度高，并与国家粮食安全中长期规划纲要中的目标进行比较，发现如果在现有的条件下想达到目标，政府必须要制定更加切实可行的措施。关键词：组合预测；Cobb-Douglas生产函数模型；指数平滑模
2、型；Box-Jenkins模型；粮食产量Abstract： The combination of forecasts can use more information about forecasting samples, its not only more systemic and comprehensive than individual forecasting model ,but also reduce some impacts of random factors in individual forecasting model effectively , so as to enhance
3、 the prediction accuracy .So this paper use the theory of optimum weighted combination which combined CobbDouglas production function model ,exponential smoothing model and ARMA model to forecast the next decade grain production ,then we can get the predicted value .According to the rule of MSE ,we
4、can conclude that the accuracy which using the theory of optimum weighted combination is better than the accuracy which using the individual forecasting model .After that ,we compared with the goal which in ,we find that if we want to beat the target at existing condition ,the government must establ
5、ish more practical measures .Key words: the combination of forecasts; CobbDouglas production function model; exponential smoothing model; ARMA model; grain production一引言粮食安全始终是关系我国国民经济发展、社会稳定和国家自立的全局性重大战略问题，而为了保障我国中长期粮食安全，其中的任务之一就是要对粮食未来产量做出准确的预测。如果用单一的预测方法可能会漏掉一些对预测有用的信息，从而对未来粮食产量不能做出更为准确的预测。自从20世纪
6、60年代Bates和Granger首次提出组合预测理论以来，组合预测方法的研究和应用得到了快速发展。组合模型可以克服单一模型的局限性，能有效地集结更多的有用信息，因而，组合预测方法更适用于信息不完备的复杂经济系统。在现有的文献中, 对于经济系统预测的实践,我国学者有很多采用组合预测方法，如利用神经网络和优选组合的方法在电力负荷预测(赵海青,2000)、企业财务危机(李秉祥,2006)等方面采用组合预测方法；还有学者提出使用非负最优组合权重方法进行预测(唐小我等,2003)。这些方法在具体问题的应用中都表现出了较高的预测精度，使所探讨的实际问题得到了较好的解决。所以基于组合预测的优点，本文利用最
7、优加权组合方法，将柯布-道格拉斯生产函数模型，指数平滑模型和时间序列模型进行加权，得出权数，并对2008-2018年的中国粮食产量做出预测。 本文的写作思路和框架如下，第一部分着重介绍组合预测模型的基本原理，对组合预测模型的基本概念和确定权重问题进行探讨；第二部分主要对本文在组合预测中所使用的若干模型，包括CobbDouglas生产函数模型、指数平滑模型和Box-Jenkins模型进行概括，同时对模型分别进行检验和预测，基于预测结果进行预测无偏性检验和包容性检验；第三部分针对上述模型的预测结果确定权重，并得出组合预测结果；文章的最后部分是对本文组合预测模型的评价，并根据所探讨问题的实际价值，进
8、行宏观层面的思考。 本文所用数据区间为1980-2007年（见附录A），数据来源于2008年中国统计年鉴和2001年中国统计年鉴。二组合预测模型的基本原理（一）组合预测模型 设,t=1,2,n为观测值序列，对未来L个时刻值,L=1，2，,k，用I种模型获得了预测值 （i），i=1，2，I。再根据对各单一预测模型预测结果的分析，确定出各单一预测模型在组合预测模型中的最优权重 (i=1,2,I)，这样就构成了组合预测模型 （2.1）式（2.1）中：为未来L期的预测值，（i）为用第i种模型预测的未来L期的预测值，为第i种模型的权重且。（二）权重的确定问题最优加权法的实质是依据某种最优准则（如最小二乘
9、准则）构造目标函数Q，在约束条件下（如使权重之和为1）使Q最小，从而求得组合模型的加权系数，该预测方法的精度最高，所以本文选用最优加权法。设t时刻实际观测值为，t=1，2，,n，则预测误差 (第i种方法在t时刻预测误差，i=1，2，,I)为，其中为第i种模型在第t期的预测值；组合预测误差 (t时刻预测误差，t=1，2，n)为 = 令，(为第i个模型的预测误差向量)，则组合预测模型的误差矩阵为，其平方和为，。要使目标函数最小，则有s.t. 由拉格朗日乘数法得 （2.2）即为权重。三模型的选择根据经济计量方法建立起的预测模型大致可分为两大类。一类是结构预测模型，即利用经济理论或先验规律建立经济变量
10、间数量关系的数理统计模型，并用随机扰动误差代表忽略的因素对模型的影响。另一类是非结构预测模型，其突出经济变量的时序性，重点考察序列本身的数据特征，非结构预测的核心是利用数据驱动建模。考虑到结构预测模型和非结构预测模型的特点，本文选择一个结构预测模型，即CobbDouglas生产函数模型；两个非结构预测模型，即指数平滑模型和时间序列模型对未来粮食总产量进行组合预测。（一） CobbDouglas生产函数模型1模型介绍 该生产函数的一般形式为：。式中，Q为产量；L和K分别为劳动和资本投入量；A，为三个参数，。和分别表示劳动和资本在生产过程中的相对重要性，为劳动所得在总产量中占有的比重，为资本所得在
11、总产量中占有的比重。CobbDouglas生产函数代表着投入和产出的关系，所以考虑利用CobbDouglas生产函数对粮食总产量进行建模。基于本文研究的粮食生产问题和我国农业生产的实际情况，即农业耕地有限、农业人口众多、农业综合生产能力不高和农村经济相对发展落后等因素，所以选取粮食总产量作为产出变量，粮食作物播种面积、农业机械总动力、化肥施用量、有效灌溉面积和农业劳动力作为投入变量。 根据CobbDouglas生产函数的意义，对模型加以改进得到： （3.1.1） 其中，Y为粮食总产量；S为粮食作物播种面积；K为农业机械总动力；H为化肥施用量；G为有效灌溉面积；L为农业劳动力；u为误差项；分别为
12、粮食作物播种面积、农业机械总动力、化肥施用量、有效灌溉面积和农业劳动力产出弹性，A为常数。对式（3.1.1）两边取对数，得 （3.1.2）2.参数估计及检验将样本数据（见附录A）代入（3.1.2），通过计算所得结果发现在置信度为95%，样本量为28的条件下，农业机械总动力K的系数不显著，所以去掉农业机械总动力，得到新的模型 （3.1.3）对式（3.1.3）取对数，得 （3.1.4）继续对式（3.1.4）进行检验，将其中不显著的系数去掉后，得到结果如表1表1 最终结果的参数估计和假设检验VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.LNS1.183254
13、0.1230449.6165000.0000LNG-0.6274380.160563-3.9077420.0006LNH0.4663830.04142511.258420.0000R-squared0.938645Mean dependent var10.67761Adjusted R-squared0.933737S.D. dependent var0.128885S.E. of regression0.033177Akaike info criterion-3.872947Sum squared resid0.027518Schwarz criterion-3.730211Log like
14、lihood57.22126Durbin-Watson stat1.092815 （3.1.5）这时发现在置信度为95%，样本量为28的条件下,所有的参数都显著，且校正为0.933737，说明模型拟和较好。注意到表1中的回归方程没有截距项，而D.W.检验的其中一条假定就是回归方程有截距项。所以这里不能用D.W.的值来判断残差是否有自相关，需用其他方法进行判断。3.残差项的检验 检验残差是否存在序列相关，可用残差的自相关图和LM检验进行分析。由残差的自相关图可知残差在一阶可能存在序列相关，如图1图1 残差的自相关图考察LM检验在1阶对残差进行检验，所得结果如表2表2 Breusch-Godfre
15、y Serial Correlation LM 检验F-statistic4.834375Prob. F(1,24)0.037779Obs*R-squared4.694482Prob.Chi-Square(1)0.03026LM检验的原假设是残差序列不存在序列相关，备择假设是残差序列存在序列相关。由表2可以看出在置信度为95%的条件下不能接受原假设，即认为残差序列存在序列相关。所以需要对模型进行再次改进，结果为： （3.1.6） 再对改进后的模型进行参数估计和假设检验，所得结果如表3。表3 改进后的参数估计和假设检验VariableCoefficientStd.Errort-Statistic
16、Prob.LNS1.0953110.1782896.1434740.0000LNG-0.4959040.237933-2.0842180.0484LNH0.4168730.0680166.1290560.0000AR(1)0.4034730.1757192.2961230.0311R-squared0.943595Mean dependent var10.68881Adjusted R-squared0.936238S.D. dependent var0.116633S.E. of regression0.029451Akaike info criterion-4.076208Sum squa
17、red resid0.01995Schwarz criterion-3.884232Log likelihood59.0288Durbin-Watson stat2.014173Inverted AR Roots.40从表3中可以发现新模型（3.1.6）较原模型（3.1.5）的校正大，而且AIC和SC比原模型（3.1.5）的小，可以说（3.1.6）比（3.1.5）拟和的更好。这时在对残差的序列相关性进行检验，如图2。图2 新模型残差的自相关图从图2中可以发现改进后的模型不存在序列相关的问题。而我们的最终目的是为了预测，所以还需要对残差的正态性和同方差性进行检验。先对改进后模型的残差进行正态性检
18、验，如图3图3 新模型残差的正态性检验从图3中可以看出改进后模型的偏态为-0.071194，峰态为2.305546，J-B值为0.565358，所得这一值的概率为0.753762，所以可以认为残差服从正态分布。再对改进后模型的残差进行同方差性进行检验，所得结果如表4所示表4 改进后模型残差的White同方差性检验F-statistic1.893474Prob. F(5,21)0.138404Obs*R-squared8.389926Prob.Chi-Square(5)0.136015表4中原假设为残差具备同方差性，备择假设为残差不具备同方差性；表4中的卡方统计量的值为0.136015，大于0.
19、05的置信水平，所以不应拒绝原假设，即改进后模型的残差是同方差的。所以残差项服从正态分布，且是同方差，无序列相关。最终模型为： （3.1.7）4.预测 由于对粮食总产量未来值进行预测的自变量未来值是未知的，所以属于无条件预测。基于此，预测自变量未来值的方法有两种，一种方法是在调查研究的基础上对自变量未来值做出主观判断，另一种方法是对自变量未来值进行趋势预测。本文选取后一种方法。 先对粮食作物播种面积，有效灌溉面积和化肥施用量取对数，处理后的数据时间序列如图4，5，6所示。 图4 粮食作物播种面积取对数后的时序图 图5 有效灌溉面积取对数后的时序图图6 化肥施用量取对数后的时序图由上图可知经过对
20、数处理后的数据基本都有明显的趋势，所以考虑用指数平滑模型对取对数后的粮食作物播种面积、化肥施用量和有效灌溉面积的未来值进行预测。由式（3.1.7）可以得到粮食总产量2008年-2018年的值，所得结果如表5。表5 未来自变量取对数后的值及未来粮食产量的值年份lnSlnGlnHlnYY200811.5629273210.951748.57194110.8200650014.292200911.5580812010.961158.60535810.8113649580.688201011.5532350810.970578.63877510.8153149777.098201111.5483889
21、610.979988.67219210.8192649974.287201211.5435428510.989408.70560910.8232250172.257201311.5386967310.998818.73902710.8271750371.010201411.5338506111.008238.77244410.8311250570.551201511.5290045011.017648.80586110.8350850770.883201611.5241583811.027068.83927810.8390350972.008201711.5193122611.036478.8
22、7269510.8429951173.929201811.5144661411.045898.90611210.8469451376.651（二）指数平滑模型1.方法介绍指数平滑法是生产预测中常用的方法，适用于中短期经济发展趋势预测。简单的全期平均法是对时间数列的过去数据一个不漏地全部加以等权利用；移动平均法则不考虑较远期的数据，并在加权移动平均法中给予近期资料更大的权重；而指数平滑法则兼容了全期平均和移动平均所长，不舍弃过去的数据，但是仅给予逐渐减弱的影响程度，即随着数据的远离，赋予逐渐收敛为零的权数。 其原理是任一期的指数平滑值都是本期实际观察值与前一期指数平滑值的加权平均。表达式为 （3
23、.2.1）其中，为第t期的指数平滑值；为平滑系数。2.模型选择（3.2.1）式适用于无趋势的数据分析，而我们所要研究的粮食产量问题有长期趋势。所以，（3.2.1）式不适用于粮食产量的预测，应选择能分析趋势的指数平滑模型。考虑到可以分析趋势的指数平滑模型又有布朗二次指数平滑法和霍尔特（Holt）指数平滑法。前者只含有一个平滑系数，所以也可称单参数指数平滑法，后者含两个参数，亦称双参数指数平滑法。因为双参数方法比单参数法增加了一个参数，在消除随机干扰和适应数据水平变动方面比单参数方法有更大的灵活性，所以本文选择霍尔特（Holt）指数平滑法。其公式为 （3.2.2） （3.2.3） （3.2.4）其
24、中，为经趋势调整后的指数平滑值；为趋势增量；L为预测步长；为t+L期的预测值；为两个彼此独立的平滑参数。3.预测 将数据输入EViews，并选择指数平滑方法中的Holt-Winter无季节影响的双参数方法，让自动取值，得到2008年2018年的预测结果如表6。表6 指数平滑的预测值年份Y200851065.44200951955.06201052844.67201153734.29201254623.90201355513.52201456403.13201557292.74201658182.36201759071.97201859961.59（三）Box-Jenkins模型1方法介绍 Bo
25、x-Jenkins（B-J）预测方法把时间序列看作随机过程来研究描述，考察到了时间序列的动态特征持续特征，揭示了时间序列过去与现在将来与现在的相互关系，所以与平滑预测方法相比，它能提供更多的信息，预测误差也相对要小。B-J方法的基本思想首先假设时间序列是由某个随机过程产生的，然后用时间序列的原始数据去建立估计描述这一随机过程的模型；运用所建立的模型，在已知过去和现在的时间序列观测值的条件下，求出未来时间序列的最佳预测值。 本文根据B-J方法，首先对粮食总产量进行平稳性检验，如果该序列是平稳的，则可用B-J模型；如果该序列是非平稳的，则需对该序列进行差分，使该序列变成平稳的，然后再用B-J模型对
26、数据进行分析。2.粮食总产量的平稳性检验在检验粮食总产量的平稳性时本文选用较流行的ADF单位根检验方法进行检验。 首先做出粮食总产量的时间序列图，如图7图7 粮食产量的时间序列图从图中可以发现它有截距和时间趋势， 所以为了减小序列的波动对其取对数，并把所得结果与原图作比较，如图8，可以发现与原序列相比，取对数后的序列没有明显的时间趋势，但有截距项，如图9。 图8 取对数后与没取对数的粮食产量 图9 取对数后的粮食产量所以在用ADF检验LNY的平稳性时选择有截距项，所得结果如表7。表7 LNY的单位根检验t-StatisticProb.*Augmented Dickey-Fuller test
27、statistic-2.971240.0534Testcritical values:1% level-3.7695975% level-3.00486110%level-2.642242*MacKinnon (1996) one-sided p-values.从表中可以看出在显著水平为10%的条件下，所得ADF检验的t统计值为-2.971240，小于-2.642242，所以应拒绝原假设，即取对数后的序列是平稳的。由于序列是平稳的，便可用B-J模型对数据进行分析。3.模型的识别与估计 通过利用样本的自相关和偏自相关分析模型识别与定阶，由取对数后的粮食总产量的自相关和偏自相分析图可以看出它的自相
28、关函数是拖尾的，而偏自相关函数在一阶截尾，如图10。图10 LNY的自相关图因此可对取对数后的粮食总产量建立AR（1）模型。所得结果如表8表8 AR（1）模型的参数估计和假设检验VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C1.7165090.7464632.2995230.0301LNY(-1)0.8407150.06994012.020590.0000R-squared0.852503Mean dependent var10.68881Adjusted R-squared0.846603S.D. dependent var0.116633S.E.
29、 of regression0.045680Akaike info criterion-3.263106Sum squared resid0.052168Schwarz criterion-3.167118Log likelihood46.05193F-statistic144.4945Durbin-Watson stat2.067819Prob(F-statistic)0.00000从表中可以看出模型拟合的比较好，而且AIC和SC比较低，所以可得 （3.3.1）如果单纯从显著性水平、拟合优度及D.W.值来看，这个模型是一个很理想的模型。但是，由于方程的解释变量存在被解释变量的一阶滞后项，那么
30、 D.W.值就不能作为判断回归方程的残差是否存在序列相关的标准，如果残差序列存在序列相关，那么，显著性水平、拟合优度和F统计量将不再可信。所以，我们还需要对模型进行检验。4.模型检验这里对模型的检验，主要是对其残差序列进行白噪声检验。若残差序列不是白噪声序列，意味着残差序列还存在有用信息没被提取，需进一步改进模型。这里采用残差序列的自相关分析图和ADF进行检验。对式（3.3.1）进行估计后会得到残差，从而能够得到残差图（如图11），从图中可以看出残差基本上围绕着0上下波动，并且没有趋势。图11 残差图由ADF检验可得结果如表9。表9 残差的ADF检验t-StatisticProb.*Augme
31、nted Dickey-Fuller test statistic-2.8727870.0063Test critical values:1% level-2.6797355% level-1.95808810%level-1.607830*MacKinnon (1996) one-sided p-values.在显著性水平为0.1的条件下，所得的t值为-2.872787，大于-1.607830，所以应拒绝原假设，即残差序列是平稳的。 而由残差序列的自相关分析图（如图12）可以看出残差序列在第5阶可能相关，由LM检验发现在置信水平为0.1时，滞后5阶存在序列相关（如表10）。所以需对AR（1）
32、模型进行改进。图12 残差序列的自相关图表10 Breusch-Godfrey Serial Correlation LM检验F-statistic2.164702Prob. F(5,20)0.099176Obs*R-squared9.480904Prob. Chi-Square(5)0.091353由于AR（1）模型的残差正好与第5阶相关，所以可得模型 （3.3.2）接下来对式（3.3.2）进行参数估计，假设检验及模型的检验。首先对模型进行参数估计和假设检验，所得结果如表11。表11 式（3.3.2）的参数估计和假设检验VariableCoefficientStd. Errort-Stati
33、sticProb.C1.4895810.6244552.3854090.0253LNY(-1)0.8621040.05823314.804430.0000MA(5)-0.8668220.06753-12.836060.0000R-squared0.935545Mean dependent var10.68881Adjusted R-squared0.930174S.D. dependent var0.116633S.E. of regression0.030820Akaike info criterion-4.016876Sum squared resid0.022797Schwarz cri
34、terion-3.872894Log likelihood57.22783F-statistic174.1766Durbin-Watson stat2.274391Prob(F-statistic)0.00000Inverted MA Roots.97.30-.92i.30+.92i-.79+.57i-.79-.57i由新的模型可知它的校正为0.930174，较AR（1）模型的校正更好，而且AIC和SC也比原模型的要小。由模型的残差检验，可知残差序列是平稳序列（如表12）。在检验残差的序列相关，由残差的自相关图可知在其4阶时可能存在相关（如图13），于是对其进行LM检验可知滞后4阶时残差无序列
35、相关（如表13）。所以可以认为残差序列是白噪声序列。表12 残差的ADF检验t-StatisticProb.*Augmented Dickey-Fuller test statistic-3.4506670.0014Test critical values:1% level-2.6693595% level-1.95640610%level-1.608495图13 残差的自相关图表13 残差的序列相关检验F-statistic1.997103Prob. F(4,20)0.133798Obs*R-squared7.528254Prob.Chi-Square(4)0.11047所以可得 （3.3.
36、3）5.模型预测 B-J方法采用L步预测，即根据已知n个时刻的序列观测值，对未来的n+L个时刻的序列值做出估计，线性最小方差预测是常用的一种方法。其主要思想是使预测误差的方差达到最小。而且预测值（L）就是在条件下，的期望值，即（L）=。 由EViews得到取对数后的粮食未来总产量，经还原，所得结果如表14表14 ARMA模型的预测值年份lnYY200810.7954948800.28200910.7964248845.38201010.7972148884.30201110.7979048917.88201210.7984948946.84201310.7990048971.83201410.
37、7994448993.38201510.7998249011.97201610.8001549028.00201710.8004349041.82201810.8006749053.74（四）预测无偏性的检验 组合预测的前提之一是单一预测是无偏的。所以需要对上述三个预测模型进行预测的无偏性检验。如果是有偏的，则需要对单一预测进行矫正，使之成为无偏预测，然后在对单一预测进行组合。 Holden和Peel指出，无偏性检验是：其中，和为在t时刻的实际值和预测值。不拒绝零假设表明预测是无偏的。所得结果如表15表15 预测的无偏性检验预测方法偏差t值P值结论C-D函数-215.444-0.640080.
38、5275无偏指数平滑-217.206-0.550480.5865无偏ARMA-657.574-1.523970.1396无偏所以从表中可以看出三个模型都是无偏的，不需要对模型进行矫正，可进行组合预测。（五）包容性检验 在确定组合预测的权重之前，我们需要对模型之间进行比较，看看一个模型是否包含了其他竞争模型的显著特征。有时单一预测模型个数的增加并不一定提高组合预测的效果，而为了提高组合预测的效果，重要的是寻找到具有高度可预测性，并且与其他变量相关程度小的指数变量。包容性检验就是针对竞争模型中的选择问题而提出的。包容性检验的主要思想是用于确定某一预测是否包含其他预测信息。Granger和Newbo
39、ld ,Chong 和Hendry，Clements和Hendry给出了以回归模型为基础的预测包容性检验的一般方法。 考虑包含两组预测结果（来自模型A）和（来自模型B）的情形。有如下形式的回归方程：其中表示被预测变量的实际值，h表示预测水平，如果，就称模型A预测包含模型B；如果，就称模型B包含模型A。如果取其他值，则两个模型不相互包容，每个模型都包含了关于的有用信息。如果任何一种预测都不能包容其他预测，那么就可以考虑组合预测（汪同三，2008）。考虑到结构预测模型和非结构预测模型的特点，可认为结构预测模型和非结构预测模型包含不同的信息，所以这里仅对非结构预测模型（指数平滑模型与ARMA模型）进
40、行包容性检验。 由指数平滑模型与ARMA模型所得的预测结果对实际的粮食产量进行建模，并进行参数检验，如表16表16 包容性检验VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.指数平滑0.5528490.1652873.3447740.0026ARMA0.4375050.1640922.6662170.0133R-squared0.858118Mean dependent var44142.86Adjusted R-squared0.852443S.D. dependent var4956.151S.E. of regression1903.815Akai
41、ke info criterion18.01229Sum squared resid90612792Schwarz criterion18.10828Log likelihood-241.166Durbin-Watson stat1.70026从表中可以看出：两个模型前的系数不是1和0，所以他们不相互包容，每个模型都包含了关于Y的有用信息。接下来便可构造组合预测模型。（六）组合预测模型1.权重的确定由前面的三种模型可以得出1981-2007年粮食产量的预测值，而它与实际粮食产量的差便是预测误差，由此可得出一个误差表（如表17），然后就可以利用MATLAB得出三个模型的权重。 表17 预测误差年
42、份C-D模型误差指数平滑模型误差ARMA模型误差1981-2802.75-443.1142857-1497.51982-985.622045.088962-319.8119831585.662449.2537211357.719842032.131186.8816951924.011985-947.42-3673.498933-2178.3319861621.04240.153195-2078.251987628.4439.8921113-1764.671988-868.84-1941.714223-3719.371989-373.04399.1197247-3154.151990918.48
43、2991.66229929.811991-1344.61-1894.841979-1664.61992-1377.04-209.9737564-1451.321993645.03487.0849268-524.251994-1867.67-2013.698085-2059.651995-119.391201.659669-252.6919961939.882938.1445173239.771997-984.92-1837.8479141943.851998511.95867.6364933531.381999-46.29-1254.4786842945.762000-3856.07-5548.358055-1843.84
