毕业设计（论文）基于lyapunov指数的时间序列预测方法的研究.doc

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1、第1章 绪论1.1 混沌的基本概念和特征混沌是“确定的非线性系统所表现出来的内在随机性”。即混沌是系统固有的，系统所表现出来的复杂性是系统自身的、内在的因素造成的，并不是在外界干扰下所产生的，是系统内随机性的表现。迄今为止混沌普遍采用的是Li-Yorke定理1：设为实轴上一个闭区间，设为0，1，考虑以上定义的连续映射。如果满足下列条件：I 具有任意正整数的周期，即对一切，有，使。II 存在不可数子集，对是不变的且不是周期点集：其中是的非游荡点，为的周期点集，对于任意的有： （1-1） （1-2）III 对于每一，及周期点，有： （1-3）则称是混沌的。在对的迭代下，（1-2）式说明内的任二轨道

2、有时相互无限靠近，有时又相互分开。(1-3)式说明周期轨道不是渐近的。由此可以看出，区间在作用下，呈现出一片混乱的运动状态，其中一部分是周期运动，而更多是杂乱无章的运动，它们时合时分，在完全确定的的一次次迭代下，出现了类似随机的状态。该定义形象地表明集合任两个初值经过长时间作用以后运动轨迹间的距离可以在某个正数和零之间“漂忽”。深刻地揭示了混沌的本质即对于初始条件具有敏感依赖性。Li-Yorke完成了离散动力系统混沌定义及判定的奠基工作。混沌的特征主要体现在以下几个方面：1.对初始条件的极端敏感性这一性质通常被称作“蝴蝶效应”，或“轨迹的不稳定性”。即在混沌系统中，初始值的微小差异，将随着系统

3、的演化，以指数速度增长。 （1-4）其中称作Lyapunov指数，对混沌系统而言，通常。一般情况下，维动力学系统存在着个Lyapunov指数，统称为Lyapunov谱，如果最大Lyapunov指数是一正数，则系统将在这个方向上发散，从而可能表现为混沌状态。2.长期预测的不可能性短期预测的可能性按照古典力学，确定性系统的演化将由其初始条件和系统方程唯一确定，那么一定可以根据测得的系统初始状态，计算出系统随时间的演化过程。然而由于混沌系统具有初始条件敏感性，初始状态的微小误差具有指数增长速率，这一特点使得对确定性混沌系统的长期预测不可能，因为测量误差和计算误差都是不可避免的。从另外一方面讲，过去将

4、系统的不可预测性归咎于外来随机因素的影响，从而发展了概率论这一学科，对随机性进行统计分析，从而可以在统计意义下对系统进行预测。混沌的发现使人们认识到，确定性非线性系统本身就可以产生类似随机的行为，这种随机的起因不来源于外部而是出自系统本身的非线性动力学特性。对于这类确定性混沌系统行为的预测，虽然其长期预测是不可能的，然而其确定性系统的本质使得对它的短期预测成为可能。3.有界性由于非线性系统对轨迹的“拉伸”和“折叠”作用，从而形成Smale马蹄意义下的混沌:混沌运动轨迹由于“拉伸”作用表现出发散的性质，即局部不稳定性，而“折叠”作用则将混沌轨迹限制在一个有限的空间范围之内2。故混沌运动不同于非稳

5、定的发散，它表现出全局意义上的宏观稳定性，同时又具有有界性。4.非周期性混沌是一种不同于周期、准周期或随机运动的运动形式，它也具有非周期性，这就使得混沌信号在时间轴上表现出类似随机的特性。同时由于混沌运动轨迹可以彼此无限接近但绝不重复自身，相邻的轨迹以指数规律发散，而混沌轨迹却被限制在有限空间之内，这样混沌表现出异常复杂的运动形式。5.混沌中的有序混沌运动不是杂乱无章的随机运动，在看似随机的运动中，蕴含着令人惊奇的有序性。1.2 混沌预测概述及发展历史本节将介绍混沌时间序列预测的发展历史和研究现状，重点是预测方法的介绍，为下文奠定基础。1.2.1 混沌预测概述随着非线性科学的发展，混沌理论表明

6、即使系统初始状态条件细微差异，系统演化也可能导致显著差异，这便是混沌系统的蝴蝶效应，因而对混沌系统的长期演化结果不可以预测，但由于混沌是由确定系统的内在特性引起的，短期行为又是完全确定的，即可预测，这就是混沌时间序列预测的物理基础。混沌一方面指出了原本认为不可预测的复杂事物具有可预测性，另一方面也指出了原本认为可预测的简单事物的预测具有局限性。混沌理论开辟了预测研究新的领域，为原来被认为不可预测的复杂系统的预测提供了新的理论与方法途径。传统的预测模型通常分为两大类：1.运动方程预测模型 这种模型建立在人们对事物较为精确的把握与理解之上。所谓精确把握，就是建立以时间为动力学变量的数学方程(微分、

7、差分或代数方程)来描述事物的运动状态。当然，在求解方程的过程中，可以作各种近似以简化求解。以时间为力学量的状态方程既已经解出，自然可以预示事物以后的状态。2.数理统计模型 如果人们对事物暂时还没有精确把握，或者因事物周围的随机因素太多而无法精确把握，则通常用在概率意义下建立的统计模型来说明事物在以后某时刻出现某种状态的概率。这种方法不免有些粗糙，但有时是因为无需太精确，有时是不得已而为之。随着混沌动力学的发展，人们对时间序列预测的复杂性有了更深刻的认识。即使是一个完全确定的模型，经充分精确的数值求解，所获得的长时间的演化结果也可能类似随机的。动力系统长时间预测不准确的原因不是由于外在随机因素影

8、响，而更重要的是由系统内在的动力学特性所决定。混沌时间序列的预测，以重构相空间理论为基础的混沌时间序列的预测问题可以理解为动力系统研究的“逆问题”，它是给定相空间中的一串迭代序列，如何构造一个非线性映射来表示这一动力系统，这样的非线性映射就作为预测模型。1.2.2 混沌预测发展历史20世纪60年代，Lorenz3在一个完全确定的三阶常微分方程中对混沌现象的发现大大推动了非线性科学的发展。非线性科学是一门研究非线性共性的基础科学，是在各门以非线性为特征的分支学科的基础上逐步发展起来的综合性科学。一般认为非线性科学主要包括混沌、分形和孤子。自1975年，Li-York提出“Chaos”混沌以来，混

9、沌动力学得到迅速发展，已经成为内容极其丰富、应用极其广泛的领域。混沌是确定性的非线性系统中出现的类随机现象，具有对初始值的敏感依赖性、长期不可预测性、奇异吸引子和自相似结构等特点。由于混沌的这些奇异特性，尤其是对初始值的敏感依赖性使得人们总觉得混沌是不可控制的、不可预测的和不可靠的，是一种非常含糊、模棱两可且非常高深莫测的东西，在应用及工程领域中总是被回避和抵制。但是，混沌系统运动轨迹短期内的较小发散，使得利用观察资料进行短期预测是可行的。1980年，Packard提出时间序列的相空间技术，1981年，Takens根据Whitney早期在拓扑学方面的工作，提出了相空间重构理论。最初提出相空间重

10、构的目的在于从高维相空间中恢复混沌吸引子，而混沌吸引子作为混沌系统的特征之一，体现着混沌系统的规律，意味着混沌系统最终会落入某一特定轨迹中，这种特定的轨迹就是混沌吸引子，混沌吸引子可以通过展开和折叠进行混合4。同时，认为混沌动力学系统任何一个分量的演化都是由与之相互作用着的其它分量所决定的，因此，这些相关分量的信息就隐含在任何一个分量的演化过程中。通过延迟坐标相空间重构，可重构出观测到的动力学系统的相空间，这对于那些不能直接测量的深层的自变量而仅仅知道一组单变量的混沌时间序列来说，提供了研究其动力行为的可能。Takens并证明了可以找到一个合适的嵌入维数，即如果延迟坐标的维数，其中是动力学系统

11、的维数，那么在这个相空间中可以把有规律的吸引子轨迹恢复出来。延迟时间重构的相空间，保持了原有系统的几何结构，同原系统是拓扑等价的，如果原系统的奇异吸引子存在，则其动力学形态如分形维数、最大李亚谱诺夫指数等都可以保持不变。基于Takens相空间重构理论，将混沌理论引入到非线性时间序列分析中，为混沌时间序列的预测奠定了坚实的理论基础。经过二十多年的不断探索，人们己经在混沌时间序列预测领域取得了很多重要的理论研究成果。从方法学的角度来看，这些预测方法可分为：点预测法和区间预测法。其中点预测法又分为：全局预测法、局域预测法和非线性自适应预测法；而全局预测法又分为全局多项式建模预测、神经网络建模预测等；

12、局域预测法分为局域线性预测与局域非线性预测；非线性自适应预测法分为：基于级数展式的自适应多项式滤波预测和基于非线性函数变换的非线性自适应滤波预测。全局预测法是利用所有相空间中所有的状态点来构造光滑映射，来实现混沌时间序列预测的。与线性系统由系统的单位冲激函数响应完全决定不同，非线性系统的复杂多样性本身就不可能有统一的表达形式，即不同系统的表达形式不仅可以完全不同，即使是统一系统也可能有完全不同的表达方式。目前为止，人们已经提出了多种全局多项式预测模型，不同的多项式预测模型其预测能力是与它们的非线性表达能力密切相关的。不过全局多项式预测模型在相空间轨迹比较复杂时却难以做出准确的预测。神经网络由于

13、其强大非线性逼近能力，己被很多学者用来研究混沌时间序列的预测问题。自从Lepedes和Farber在1987年首先展示了时延输入的多层感知器能够用于一个混沌时间序列的预测以来，人们己经提出并研究了多种神经网络来预测混沌时间序列诸如：径相基神经网络、小波神经网络、循环神经网络、模糊神经网络、双线性神经网络、概率神经网络、时延神经网络、自组织神经网络等。但神经网络预测法随着算法和结构的不同，预测性能会存在很大差异，同时存在局部最小点和算法复杂性的问题，也会给实际工程实现带来了很大的困难。局域预测法是将相空间轨迹的当前点作为中心点把离中心点最近的若干轨迹点作为相关点，然后对这些相关点进行拟合，再估计

14、轨迹下一点的走向，最后从预测出的轨迹点的坐标中分离出所需要的预测值。相对于全局预测法来说，局域预测法在多数情况下都是可行的。基于相空间重构思想，1987年，Farmer J D和Sidorowich J J5利用相空间中点的相似性提出了局域线性近似预测法；1991年，Linsay P S提出7局域线性内插法；1995年，Navone H D和Ceccatto H A提出了局域超平面近似法，上述三种局域预测模型本质上都是非线性系统的线性化近似预测模型，1999年胡光锐教授等人从理论和仿真两个方面证明了它们之间的等价关系。在Farmer J D和Sidorowich J J的局域线性近似预测法中，

15、实际中常用的是局域零阶预测法和局域一阶预测法。局域零阶预测法是直接利用相空间中与中心点最相似的状态点的下一演化值作为中心点的预测值。但该局域零阶预测法存在抗噪声性能差、预测准确性低的问题，为了克服上述不足以及充分利用数据提供的信息，Sugihara G和May R M于1991年提出了均值预测法，该方法具有使用直观方便、对局域内的线性化的非线性模型都具有无偏性以及预测精度高的优点。不过，上述零阶预测法和均值预测法中，在找到中心点的邻域后，便将邻域中的一个或几个点进行拟合，没有考虑邻域中各点与中心点之间空间距离对其预测的影响，而相空间中各点与中心点之间的空间距离是一个非常重要的参数，预测的准确性

16、往往取决于与中心点的空间距离最近的那几个点。因此，将中心点的空间距离作为一拟合参数引入预测过程中，在一定程度上可以提高预测的精度，并有一定的抗噪能力，Badel A E等人和Dudani S A，分别提出了指数加权预测法和距离加权预测法。大量的数值实验和应用结果表明这两种加权预测法的预测性能以及抗噪声性能明显好于局域零阶以及均值预测法。1989年，Casdagli M提出了用径向基函数(如高斯函数)作为非线性函数的局域非线性预测法，开创了局域非线性预测的先河。随后，不少研究人员在此基础上进行了深入地研究，提出了多种利用不同非线性函数的改进方法，在此就不再一一列举。考虑到李亚谱诺夫指数是描述非线

17、性系统动态特性的重要动力学参数，它表示两条无限小分开的轨迹之间的相对距离在单位时间内的平均指数增长因子，是对两个极靠近的初值所产生的轨道随着时间的推移按指数方式分离现象的定量描述。1998年，梁志珊等提出了基于李亚谱诺夫指数的预报模式，并将其应用到电力系统短期负荷预测中；同年，Zhang J等人也提出基于李亚谱诺夫指数的混沌时间序列预测方法，其数值分析结果表明该方法是简单、可行和有效的。在现代信号处理中，自适应技术因其本身具有一定的非线性能力且能够有效地跟踪时变信号的变化而受到广泛的重视，而预测作为自适应技术的三种基本估计形式之一，更是得到广泛应用。西南交通大学信号与信息处理四川省重点实验室在

18、肖先赐教授的带领下一直从事混沌预测理论及其应用研究，张家树、肖先赐等人首次将自适应预测技术应用到混沌信号的预测中，创建了混沌信号非线性自适应预测技术的初步框架，并提出了多种非线性自适应预测模型及其自适应算法。1.3 本文研究内容及文章结构本文是以混沌基本特征中的对初始条件敏感性为理论依据，以相空间重构为基础，求取了Lyapunov指数并基于Lyapunov指数对混沌时间序列进行了短期的预测。本文的结构安排说明如下：第一章 绪论。阐述混沌的定义及其特征并且简要介绍了混沌预测研究的发展历史和现状，介绍目前混沌预测理论的主要研究内容和研究方法，引出本文的研究对象、研究目的及主要内容安排。第二章 混沌

19、预测理论基础。本章介绍了混沌预测的相关理论知识。例如：典型常用的混沌方程介绍并分析了Logistic序列的混沌特性、相空间重构的概念及参数计算方法等。第三章 Lyapunov指数混沌序列预测。本章针对混沌时间序列的特点，结合混沌序列重构相空间理论，提出一种新的Lyapunov指数预测方法，对混沌序列数据进行有效的预测，并和常规方法进行比较。在预测过程中引入更简单的计算公式，使得计算结果更为有效的前提下，计算过程尽量简化。第四章 混沌预测的仿真研究。本章对具体的混沌模型进行了预测仿真。包括相空间重构，最大Lyapunov指数的计算，建模预，并对预测结果进行了误差分析。第2章 混沌预测理论基础混沌

20、时间序列预测，首先需要借助于混沌序列相空间重构理论，应用混沌分析方法，分析系统的运动规律。本章介绍一些典型的混沌方程；然后以混沌序列为例，详细描述混沌理论中的重构相空间思想，并在此相空间中恢复原动力学系统；最后给出本章小结。2.1 典型混沌方程介绍自从1963年Lorenz方程建立以来，大量的混沌方程或模型被提出，它们在相空间重构中随着参数或初值的不同而表现出异彩纷呈的奇异吸引子结构，为动力学预测方法在混沌序列中的应用提供了条件。为了验证算法的可靠性，也为了更好地研究混沌时间序列。下面列出常用的混沌方程，按连续混沌系统和离散混沌系统两种情况分别进行介绍，所写参数只是系统表现混沌特性的一种特殊情

21、况。（1）连续混沌系统Dffing方程： ， （2-1）Lorenz方程： ， （2-2）Rossler方程： ， （2-3）四维超混沌Rossler方程： （2-4）（2）离散混沌系统：Logistic映射： （2-5）Kent映射： （2-6）Henon映射： ， （2-7）Ushiki映射： ， （2-8）此外，还有Chua电路系统、Tent映射等等，这些混沌方程在各种理论研究分析中获得了广泛应用。2.2 Logistic映射分析Logistic映射定义如下： （2-9）其中，称为分支参数，。我们可以通过Logistic映射模型的分岔图2-1可以直观了解的取值对迭代过程的影响和迭代结果的

22、分布情况。从中可以看出该模型的迭代值强烈依赖，随着的不同的最终分布可以分为周期区和混沌区。当的值很小时，迭代值趋于一个定值：随着的增大，迭代值的周期数以倍周期分岔的方式不断地增长。当时，系统的稳态解为不动点，即周期1解；当时，系统的稳态解由周期1变为周期2，这是二分叉过程；当时，系统的稳态解由周期2分叉为周期4；当时，系统的稳态解由周期4分叉为周期8；当达到极限值时，系统的稳态解是周期解，即时，Logistic映射呈现混沌状态，Logistic映射的倍周期分岔。在周期区内通过分析可以得出结论：从周期到，各分岔点存在如下关系： （2-10）即各分岔点之间的距离以比例倍缩小，且为一无理数，这个数被

23、称为费根包姆(Feigenbaum)常数。通过分析我们得出在每分岔一次，在方向上的结构也在较小的标度上重复出现一次。周期中接近于处各之间的距离，渐近的按因子衰减： （2-11）图2-1 Logistic映射倍周期分岔图这里的费根包姆和常数是一种普适常量，在倍周期分岔现象中具有普遍意义，与函数的形式无关。这两个常数也说明了倍周期分岔进入混沌是一种相当普遍的自然现象。Feigenbaum常数的发现，充分体现了蕴含在混沌运动中更高层次的有序性，使混沌科学确定起坚固的科学地位。2.3 相空间重构 混沌时间序列预测的基础是状态空间的重构理论，即把具有混沌特性的时间序列重建为一种低阶非线性动力学系统。相空

24、间重构概念最早出现在统计学领域中，后来被Packard等先后引入到动力学系统中。它的重大贡献在于证明了相空间重构能够保持时序所对应的原动力系统内在结构的几何不变性，比如系统嵌入空间矩阵的特征值、吸引子的分形维数以及其轨道的Lyapunov指数等的不变性。通过相空间重构，可以找出隐藏混沌吸引子的演化规律，使现有的数据纳入某种可描述的框架之下，从而为时间序列的研究提供了一种崭新的方法和思路。相空间重构是非线性时间序列分析的重要步骤，重构的质量直接影响到模型的建立和预测。2.3.1 相空间重构的概念和方法非线性复杂系统中包含多个变量，但通常情况下只能观测到其中某一分量的离散样序列。如果用表示观测到的

25、变量分量，为观测序列。Takens定理认为根据一个变量的时间序列可以重构系统相空间。因为时间序列本身蕴涵了参与动力系统的全部变量的有关信息，通过考察观测到的变量分量，将它在某些固定的时延迟点上的观测量看成新的坐标，以形成一个多维状态空间，即重构的相空间。相空间重构的基本方法有三种：时间延迟法、导数法和基本分量坐标法。到目前为止，这三种方法之间的关系还没有完全弄清楚。Gibson等最近指出基本分量坐标与由Packard等和Takens所提出的导数坐标之间存在着非常密切的联系：更进一步地，对于很少的延迟时间他们提出了基本分量坐标是基于简化了的Legendre多项式的观点。在以上三种相空间重构方法中

26、，时间延迟法所受到的关注程度最大，其应用范围也最广。因此，本章将仅对时间延迟法进行介绍。2.3.2 基于时间延迟的相空间重构原理考虑一个混沌系统： （2-12）式（2-12）中，为状态变量：为一连续光滑函数。对于上述系统，能够观察到的往往是一个单维的混沌时间序列，由相空间重构理论可以得到该序列在维重构相空间中的相点为： （2-13）式（2-13）中，为延迟时间，为嵌入维数。根据Takens定理，当选择恰当，且时，存在确定性映射，使得： （2-14）式（2-14）即为重构系统。在微分同胚意义下，重构系统与原始系统具有相同的动力学特性。由式（2-14）可以分离出下式： （2-15）式（2-15）为

27、混沌时间序列的预测奠定了理论基础。相空间重构理论认为，对于一个不受噪声干扰的无限长时间序列，重构相空间时，时间延迟的选取是任意的。但在实践中，任何实测时间序列都不可避免地要受到噪声的干扰，而且，时间序列也不可能无限长。因此，为了使重构相空间能够最大限度地保留原动力系统的各种特性，就必须选择恰当的时间延迟。实践证明，值决定着重建相空间的质量，如果太小，相空间矢量的相邻延迟坐标元素之间的差别太小，冗余度较大，重构相空间的样点所包含的关于原吸引子的信息偏小，表现在相空间形态上，即信号轨迹向相空间主对角线压缩；如果太大，在相空间内延迟坐标元素间的相互信息丢失，即各元素不相关，信号轨道可能出现折叠现象。

28、鉴于时间延迟在相空间重构中的重要作用，下文将集中讨论时间延迟和嵌入维数的确定方法。2.3.3 相空间重构参数选择非线性复杂系统中包含多个变量，但通常情况下只能观测到其中某一分量的离散样本序列。如果用表示观测到的变量分量，为观测序列。Takens定理认为根据一个变量的时间序列可以重构系统相空间。因为时间序列本身蕴涵了参与此动力系统的全部变量的有关信息，通过考察观测到的变量分量，将它在某些固定的时间延迟点上的观测量看成新的坐标，以形成一个多维状态空间，即重构的相空间。相空间的维数称为嵌入维数，固定的时间延迟称为嵌入延迟，则相空间的点为 （2-16）其中，1.嵌入维数的确定选取的方法最常用的为饱和关

29、联维数(G-P)法。关联维数是对相空间中吸引子复杂度的度量，设相空间中不相交的两点为 （2-17） （2-18）定义2-l 给定一临界距离，则相空间中吸引子上的两点之间的距离小于的概率称为关联函数，记为 （2-19）其中为相点个数，为Heaviside函数。当0时；的计算结果与取值有关，如果过大，导致所有都小于。则；如果过小，则所有都大于，两种情况都不能反映系统的内部性质。定义2-2 适当调整取值范围，使得在一段取值区间内有 （2-30）称 （2-31）为关联维数，即吸引子维数。如果序列中有混沌吸引子存在，那么随着的增加，也会增加。当增加到一定程度时，趋于饱和值。即为时间序列的关联维数，因为是

30、混沌系统，通常为一分数。G-P法的主要思想就是选择不同的，分别计算相应的，将这些不同的和代入式(2-31)可拟合出。增加，求出的饱和值。反过来，即可根据确定合适的系统嵌入维数。关联维数的求取有多种意义。一方面，关联维数为分数说明该系统的动力行为可能为混沌；另一方面，说明描述该系统所需的最少独立变量数为个，最多(充分)的独立变量数为个，为取整函数。一般认为，如果重构相空间的维数足够大，就可以刻画出系统的混沌吸引子，揭示出传统方法无法展示的系统运动规律，所以通常情况下，选取嵌入维数。一般情况下，重构相空间的维数取为3为最佳值，所以本文在选取重构相空间的维数时取为3，这样既能使仿真时编程简单化，又能

31、减小计算量。2.嵌入延迟的确定嵌入延迟动选取方法较复杂。实际的观测序列，因为存在噪声干扰和估计误差，如果太小，相空间轨迹会向同一位置挤压，信息不易显露，产生冗余误差；如果太大，会导致某一时刻的动力学性态与后一时刻的动力学性态变化剧烈，使得简单的几何对象表现得很复杂，动力系统信号失真，产生不相关误差。所以的选取很重要，必须科学。目前，关于时间延迟的选择方法很多，如果将他们归类，一般都基于以下两个广为应用的准则。 相空间扩展法。重构相空间轨迹应从相空间的方向轴尽可能地扩展开来； 序列相关法。让目标时序内元素之间的相关性减弱，同时相空间相点包含的原动力系统的信息不会丢失。即降低内元素的相关性，同时保

32、持中包含的原动力学系统的信息。基于相空间扩展准则的时间延迟求取方法有以下几种： 平均位移法。属于相空间重构几何法，可以联系相关性准则，具有较强的物理意义，受到了人们的重视。在原有算法的基础上，该方法已经过多次改进，具有较强的应用价值； 奇异值分量法。利用信号奇异值分解来确定时间延迟，使得重构轨迹在相空间中尽量扩展。但目前关于奇异值分解法的应用依然存在诸多争议； 填充因子法。所谓填充因子，是指重构轨迹占所有的重构空间的比例，它是一种全局意义上的测度。使用填充因子作为求解时间延迟的空间度量，可以描述相空间的扩展程度。但是，填充因子也是统计量，计算较为复杂。 摆动乘积法。提供一种空间度量，其原意是求

33、解重构的嵌入维数，考虑如何保持相空间的拓扑性质，即吸引子中点的相邻关系。但改进方法提供的度量也是时间延迟的函数，因而可同时用来求解时间延迟。但是，它得到的时间延迟误差较大，而且计算量也较大。 转动惯量法。该方法以相轨迹绕相空间主方向轴转动惯量为依据来确定时间延迟，它基于对相轨迹的物理与几何意义描述。基于序列相关法准则的时间延迟求取方法有以下几种： 自相关函数法。该方法以目标时序的自相关函数作为求取时间延迟的基础，通常选取自相关函数首次达到某一给定值或最小值时的时间延迟作为目标值。 互信息量法。该方法以目标时序的元素之间的互信息量作为求取时间延迟的基础，通常选取互信息量首次达到某一给定值或最小值

34、时的时间延迟作为目标值。在以上诸方法中，自相关函数法非常成熟的延迟时间求取方法具有计算简单、适用性强的特点，因而得到了较为广泛的应用。但自相关法只能提取序列间线性相关性，而且不易推广到高维。Luis 发展了自相关法的思想，是求取时间延迟比较好的方法。具体的讲，将引入一个非线性相关函数，使延迟时间计算度量变成两部分：线性相关函数 （2-32）检测状态之间的线性相关性；非线性相关函数 （2-33）检测状态之间的非线性相关性，设和分别对应和的第一个极小值，则该方法中，可以检测到检测不到的时间序列中的变化，一般会得到比单独检测线性相关性更短的延迟时间。此方法是本文采取求时间延迟的方法，经过前人总结的经

35、验和结果表明，一般情况下，时间延迟取为1为最佳值，所以本文在选取延迟时间时取为1。2.4 小结本章主要介绍了混沌时间序列预测的基本理论，包括典型的混沌方程，其中主要描述Logistic混沌时间序列。由于本文在仿真时用Logistic混沌时间序列进行实验，重点介绍了它的混沌特性，并且分析了它的Lyapunov指数。除此之外，还介绍了相空间重构的概念和方法以及相空间重构的基本原理，阐述了常用相空间重构嵌入维数和时间延迟的计算方法。相空间重构是非线性时间序列分析的重要步骤，重构的质量直接影响到模型的建立和预测，而且还能影响预测误差的大小。第3章 Lyapunov指数混沌序列预测以上一章的混沌相空间重

36、构为理论基础，利用Lyapunov指数进行混沌时间序列的预测是本章的主要内容。首先介绍Lyapunov指数的定义和Logistic映射的Lyapunov指数值的计算；然后讲述基于相空间重构理论的预测原理；最后给出本章小结。3.1 Lyapunov指数的计算混沌系统相空间中初始靠得很近的两条轨迹会以指数速率发散，Lyapunov指数就是根据相轨迹有无扩散运动特征来识别系统的混沌特性。对于观测的系统时间序列，Lyapunov指数定义为两条初始靠近轨道的平均分散率，分别对应：Lyapunov指数大于零，相空间运行轨迹迅速分离，长时间动态行为对初始条件敏感，即处于混沌状态；Lyapunov指数等于零，

37、表示沿着轨迹低于指数速度的运动，相当于没有混沌；Lyapunov指数小于零，表示相空间的轨迹是收缩的，对初始条件不敏感，相当于没有混沌。所以即使Lyapunov指数的大小不知道，Lyapunov指数符号的类型也能提供动力学系统的定性情况，而且在混沌研究和实际应用中，大多数情况下并不需要计算出时间序列的所有Lyapunov指数谱，只要计算出最大Lyapunov指数就足够了。3.1.1 Lyapunov指数的定义Lyapunov特征指数是描写动力系统状态演变的一个量化指标，它是量度该系统相空间中邻近轨线之间的发散速率的，或者说是刻画对初值的敏感程度的。设维的状态空间中的初始状态矢量，其演变算子将该

38、系统的初始状态映射到未来时刻的状态空间。现考虑两个邻近的初始状态和各自向时刻演变，于是有 （3-1）式（3-1）中是由函数对初值点的Jacobian矩阵： （3-2）该矩阵的个元素记作 （3-3）式（3-3）中代表在时刻状态矢量第个分量。由此，初始时刻的微小偏差经过时刻就放大成为这里是对应的行列式。这就是在给定状态附近实行线性化，因为只有实行线性化才能得到类似于线性常微分方程那样的解，矩阵的特征值可决定相邻两点间的拉伸、压缩或转动，其大小可能在相空间中各点不同，只有对运动轨道各点的拉伸或压缩进行长时间平均，才能刻画动力学的整体效果，这就是Lyapunov的基本概念。举例来说，对于一维映射： （

39、3-4）假定初始时与两相邻点间的距离为，经次迭代后，与的距离将按指数规律增长为。因此： （3-5）取得： （3-6）在上式中应用链锁规则，Lyapunov指数可定义为： （3-7）式（3-7）即为一维映射的Lyapunov指数。取Lyapunov指数的单位为：比特/一次迭代。3.1.2 Lyapunov指数的提取如前所述，Lyapunov指数作为吸引子的不变量之一，是量化对初始轨道的指数发散的特征量，它从整体上反映了动力系统的混沌量水平。Lyapunov指数不仅可以表征系统的混沌特性，还表明系统邻近轨道的发散程度。邻近轨道的发散与否，意味着对初始信息的遗忘或保留，即与可预测性问题有关。所以，我

40、们用Lyapunov指数来解决可预测性期限的定量度量问题。Lyapunov指数是定量描述混沌吸引子的重要指标，自从1985年Wolf6提出Lyapunov指数的轨迹算法以来，如何准确、快速地计算样本数据的Lyapunov指数变成微分线性科学研究热点，随后又出现了Jacobian方法和小数据量方法。但在这几种方法中Wolf方法概念较清晰，便于说明问题。因此下面只对Wolf方法进行阐述。考察整条重构轨道的点，可以找到在欧几里德意义上与初始基准点：最近的一点，并设这两点之间的距离为。在较后的时间，初始长度将演化到长度。然后需寻找一个新的数据点作取代，它应满足两条准则： 点与演化后的基准点的分隔距离应

41、该很小； 演化长度元与取代长度元之间角度的变化应该很小。重复做演化和取代处理直至基准轨道跑遍整个数据文件。根据所有这些点及长度元的数值，即可以得到最大Lyapunov指数。见示意图： 图3-1 最大lyapunov指数计算示意图具体计算步骤如下： 在重构的维相空间里，取初始相点双为参考点，其个分量为：根据下式： （3-8）可求得的最近邻点，这里的为取最小。表示在欧氏意义上的与其最近邻点的距离并设为，如图3-1所示。又设经过后，点演化到点而同时演化到，其间距。如果用表示在此时间内线段的指数增长率，则 （3-9）即 （） （3-10） 在的若干个最近邻点中找出一个满足角度很小的近邻点(若无法满足小

42、角度和近邻两条件，仍取)。设在时间时，发展到，而发展到，且，而。则有 （3-11） 将上述的过程一直进行到点集的终点，而后取指数增长率的平均值为最大Lyapunov指数估计值。即： （3-12）这里的为步长总步数。 此时得到的就是最大的Lyapunov指数值，记作。3.2 Logistic映射的Lyapunov指数计算对于一个特定的混沌动力学方程来讲，并不是在所有条件下Lyapunov指数都对初始条件非常敏感，只有在该方程的Lyapunov指数为正数的条件下它才具有混沌特性。假定我们得到的序列经过数据的预处理后，得到的时间序列为，给定时间间隔，可得到有限数量的数据集合，选择一个合理的嵌入维数，

43、就可构造一个以该数据集合中以数据维分量的维空间。其中的点可表示为： （3-13）假定数据从起始点开始 （3-14）以记的距离，再选择稍后的时刻，此时演变为： （3-15）演变为（3-16）以记的距离，接着寻找一替代点，使其满足： 与的夹角充分小； 的距离也充分小。如果空间中存在满足以上条件的则以记的距离：如果空间中不存在满足以上条件的点，那么取为(两点重合)，得。此时，再把看作起始点，往后重复以上演变过程，直至达到最后一个数据点，整个过程如图3-2所示图3-2 Logistic映射的Lyapunov指数计算示意图对Logistic映射，其Lyapunov指数主要由其混沌系统参数决定，我们可以使用如下公式来计算它的统计值：