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1、数学物理方法Mathematical Method in Physics西北师范大学物理与电子工程学院豆福全第二章 一维波动方程的分离变量法引 言上一章学习的求解数理方程的方法:行波法。其基本思路是借助常微分方程的求解方法等求解通解，再利用初始条件确定通解中的任意常数，确定数理方程中的特解。求通解前作一维波动变换，代入泛定方程。然能用行波法求解的问题很少，适用于求解如无界弦的自由横振动问题。为此，对数理方程的求解还须进一步探索新的方法。其中分离变量法就是求解数理方程的一种最常用的方法。2.1 齐次方程混合问题的Fourier解2 .1 .1定解问题考虑长为，两端固定的弦的自由振动其中，为已知函
2、数。分析:方程是齐次方程，边界条件是齐次边界条件，初始条件是非齐次的。求解：通过这道例题来体会分离变量法的精神思想。第一步：分离变量分离变量（变量分离）如波函数实现了变量分离。于是我们希望求得的一微波动方程的特解只有分离变量的形式，即首先：将代入齐次方程，得。所求特解应为非零解，于是，不解为零。两边同除以，有等式左端只是的函数（与 无关），等式右端只是的函数（和无关），于是左右两端要相等，就必须共同等于一个既与无关，又与无关的常数。设为，有 ， 能分离变量的关键：方程是齐次方程。其次： 将代入边界条件： ，这时必须有 ， 能分离变量的原因：边界条件是齐次边界条件。最后：就完成了用分离变量法求解
3、泛定方程（数理方程）的第一步。总结：分离变量目标：分离变量形式的非零解结果：函数满足的常微分方程和边界条件以及满足的常微分方程。 ， ，条件：泛定方程和边界条件都是齐次的。第二步：求解本征值问题分析：关于的常微分方程的定解问题特点：微分方程中含有特定常数，定解条件是一对齐次边界条件。并非对于任何值，都有既满足齐次常微分方程，又满足齐次边界条件的非零解；只有当取某些特定值时,才有既满足齐次,又满足齐次边界条件的非零解。定义：的这些特定值称为本征值，相应的非零解称为本征函数。函数的常微分方程定解问题，称为本征值问题。. 若，特征方程为 ，则。通解为。利用边界条件： ，则 ， 则若齐次方程 数列式，
4、则只有零解。 ， 结论：不是本征值。. 若 ，则 , 通解为 利用边界条件： ，则 。 ， 则 。 方程只有零解，所以不是本征值。. 若，则，特征方程为通解为利用边界条件： ，则 ， 则，因为，所以。即本征值 ， ， ，无穷多个相应的本征函数就是。这样求得的本征值有无穷多个，于是将本征值，本征函数记为,。第三步：求特解，并叠加出一般解。求得本征值问题后，对每一个本征值的方程，可以求得相应的。 ，其中，为任意常数，也得到了满足泛定方程和边界条件的特解为，过程说明：1.这样的特解有无穷多个。2.每一个特解都满足齐次方程，齐次边界条件。3.一般说来，单独任何一个特解不可能也恰好满足定界问题中的初始条
5、件。即一般无法找到常数，满足 ， 。4.偏微分方程和边界条件都是齐次的，把它们的任意有限个特解叠加起来，仍然满足齐次方程和齐次边界条件的解，是否满足初始条件？5.把全部无穷多个特解叠加起来只要函数有足够的收敛性（如可以逐项求二阶偏微商），则这样得到的仍然是齐次 在齐次边界条件的解。这种形式的解称为一般解。不 于 的通解，因为一般解不只是满足偏微分方程，而且满足齐次边界条件。如何选择一般解中的叠加系数和？ ， 第四步：利用本征函数的正交性定叠加系数。理论依据：本征函数的正交性，。在 两端同除以 ，逐项积分有 同理，由，两边同乘以并积分会则 这样，由初始条件中的和，就可得到叠加系数和，从而求得了整
6、个问题（定解问题）的解。本征函数正交性说明：定解问题边界条件为一，二，三类三种类型时，本征函数正交性，均成立。2.1.2小结：1利用分离变量求数理方程定解问题的步骤 分离变量条件：方程，边界条件均是齐次的。结果：一个或多个含有待定常数的齐次 ，齐次边界条件 求解本征值问题求出全部特解，并进一步叠加出一般解。 利用本征函数正交性定叠加系数。严格的说，上面得到的还只是形式解，对具体问题，还须验证，就非常重要。2分离变量法成功的条件（理论上）：本征问题有解。定解问题的解一定可按本征函数展开（本征函数的全体是完备的），也叫Fourier解法。本征函数一定只有正交性。2.1.3分析解答解的物理意义特解
7、其中， 代表一个驻波（standing wave），弦两端固定，自由振动会形成驻波（）正波： 反波： 驻波：弦上各点的振幅分布。 ：相位因子：驻波的圆频率，称为两端固定弦的固有频率或本征频率，于初始条件无关。 ：波数，单位长度上波的同期数：初相位，由初始条件决定在，即，的各项上，振动的振幅为，称为波节。包括弦的两个端点在内，波节共有个。在，即，的各点上，振动振幅的绝对值恒为最大，称为波峰，波峰共有个。整个问题的解是这些驻波的叠加。因而分离变量法也叫驻波法。就两端固定的弦来说，固有频率中有一个最小值，而，称为基频。其它固有频率都是的整数倍。，称为倍频。基频决定弦所发声音的音调。 ，当弦的质料一定
8、即一定时，通过改变弦的 ,就可调节。解中基频和倍频的叠加系数和的相对大小决定了声音的频谱分布（音色）。和数与弦的总冲量成正比，决定了声音的 度。弦的总冲量是经两端反射的能。附：1 分离变量法总结：定解条件是思想，边界条件齐次化。四个步骤循序解，特征值问题是关键。2 本征函数正交性：，即 一个正弦或余弦平方的任意多个全周期的积分等于该区间长度的一半。例1.用分离变量法求解混合问题分析：解：1.分离变量。 设，代入泛定方程有两边同时除以有即 2. 解本征值问题若，特征方程，.则 ，于是不是特征值。若,则 ，通解为 , 也不是特征根。若，则，特征方程为通解为 ，故 本征值为本征函数为 ， 3 求特解
9、，并叠加出一般解对每一个，有，其中，为任意常数。泛定方程的特解是，本征解的叠加，得一般解为4 确定叠加系数由有，两端同乘以并积分得由有 若边界条件为其它类型的齐次边界条件，同样可求得本征值和本征函数。对应的本征问题有： ， ， ， ， ， ， 2.2 非齐次方程强迫振动方程（Forced vibration equation）齐次方程，齐次边界条件在分离变量法中起着关键作用。因为方程和边界条件是齐次的，分离变量才得以实现。若定解问题中的方程和边界条件不是齐次的，还有没有可能应用分离变量法呢？实例: 两端固定弦的强迫振动2 . 2.1定解问题为突出对于方程非齐次项的处理，这里研究纯粹由外力引起的
10、两端固定弦的强迫振动，弦的初位移和初速度为。基本解法一：方程和边界条件的同时齐次化方程和边界条件的同时齐次化：将非齐次方程齐次化的同时必保持原有齐次边界条件不变。解法的关键在于求得特解，适用于较简单的情形。解：1 .求得非齐次方程一特解设为，如果设，则一定是相应齐次方程的解2 .为能用分离变量法，必须满足齐次边界条件，因而特解还应满足边界条件，。3 .已知要作为前提，应满足4 .若求得，就可求出的一般解 5 .代入初始条件6 .利用正交函数的正交归一性，定出叠加系数小结：这种方法称为方程和边界条件同时齐次化，在将非齐次方程齐次化的同时，必须保持原有的齐次化边界条件不变，解法的关键在于求得特解，
11、适用于比较简单的情形，齐次初始条件的（限制）可以取消。例1 求解定解问题其中为已知函数。解题思路：因为方程的非齐次项只是的函数，就可以将齐次化函数边界化为只是的函数.1 .设，其中满足2 .满足定解问题例2求解定解问题其中,均为常数。解：1 .设2 .考虑到非齐次项的的具体形式，可将齐次化函数取为3.由，得求解根据常系数非齐次线性微分方程的解法.则有。由，得。由方程，解得根据边界条件，得， 即4.满足一般解为利用初始条件有只有取奇数时，特解情形：强迫力的角频率正好是弦的固有频率：某个确定的非负整数。弦在强迫力作用下发生共振现象。若方程非齐次项的形式比较复杂，难以求得非齐次方程的特解就要采用其它
12、方法。基本解法二 冲量定理法定解问题基本解法三：Fourier阶数解法解：1 .设定解问题为2 .显然满足齐次边界条件，要满足初始条件有比较系数 ， 3 .将代入后方程有4 .将展开成Fourier阶数或利用本征函数正交性.其中，5 .比较系数例：对有界弦的一般强迫振动叠加原理 有界弦的自由振动解 + 有界弦的非强迫振动解2 .3 非齐次边界条件的处理不论方程是齐次还是非齐次，其定解问题都有一个前提：边界条件是齐次的。但实际问题中，常有非齐次边界条件出现，这样的问题如何处理？2.3.1定解问题分析：边界条件是非齐次的。处理原则：利用叠加原理，将非齐次边界条件问题转化为另一未知函数的齐次边界问题
13、。1.一般处理方法 非齐次边界条件齐次化令适当选择，使满足，这样一定满足齐次边界条件，如何获取齐次化函数？我们仅需求满足，所以选择有相当大的余地。另：若将看作参数，这就只要求在平面上曲线通过给定的两点和即可。这里，取直线代入边界条件有，,也可取抛物线，则，或，这时利用叠加原理将和代入泛定方程和定解条件有可按上节方法求解。2.特殊处理方法例：求解定解问题分析：弦在端点固定，端受迫作谐振动，弦的初始位移和初始速度均为零，端为非齐次边界条件。按一般处理方法，则定解问题中的泛定方程为可解，但为非齐次方程，可找到简单的求解方法。解：1 .设，2 . 考虑到非齐次边界条件的具体形式，取齐次化函数为，则有其解为 3 .这时满足的方程是运用分离变量法求解。
