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1、数学建模论文席位的公平分配问题姓名：学号：18 15 20 公平的委员分配问题摘要: 1.我们首先是用惯例分配法来解决这委员分配问题的,由于方法来解决存在很大的缺陷,因此,通过组内的讨论,我们想出了Q值法来解决此问题，发现这样能作到相对公平。我们这一组开始就考虑到了该怎样分配能作到相对公平，就这个问题，我们开始了研讨。我们采用惯例分配法分析发现：各楼所得到的委员数A 、B 、C楼分别为：3、3、4人，而Q值法其结果为：A、 B、 C楼分别为：2、3、5人。 2.“取其精华，去其糟粕”我们发现Q值法能很好的解决委员分配问题，Q 值法：我们用Qi=(Pi*Pi)/n(n+1),其中i=A、 B、
2、C,Pi为第 i楼的人数，n为分配到的委员数，我们采用将剩下的一位委员名额分给Q值最大的一方。通过计算得到Qa=9204.16、Qb=9240.75、Qc=9331.2比较得到：QaQbQc,所以我们决定把剩下的一名委员分给C楼。 3.我们用惯例分配法发现有一名委员不好分配，不知道分给谁更公平些。建议：我们的思维不能太单一了，在考虑问题方面要做到全面些，这样才会少走弯路。（无论在哪方面都一样。）关键字：委员分配、比例法、Q值法 1.1问题的重述 分配问题是日常生活中经常遇到的问题，它涉及到如何将有限的人力或其他资源以“完整的部分”分配到下属部门或各项不同任务中.分配问题涉及的内容十分广泛，例如
3、：学校共有1000学生，235人住在A楼，333人住B楼，432人住C楼，学校要组织一个10人委员会，试用惯例分配法和Q值方法分配各楼的委员数并比较结果。1.2问题的分析 数学中通常人们用比例的方法来分配各个楼要派出几个人来组建委员会，当比例中有小数时人们有按照惯例使得各组中小数最大的组拥有更多的人数。然而人们是怎样分配的呢？又因为没栋楼所占比例不是整数，可以会出现不公平的现象。为了让席位分配更加公平我们不应该采用比例法，要引用不比例法更好的Q值法对其进行求解。这样才能更好的解决在分配席位中出现的不公平问二、模型的假设符号设定2.1假设 ： 1.委员是以整数计量的，并且为有限个，设为n个;2.
4、每个单位有有限个人，委员是按各集体的人员多少来分配的3每个单位的每个人都具有相同的选举权利；4每个单位至少应该分配到一个名额，如果某个单位，一个名额也不应该分到的话，则应将其剔除在分配之外；5在名额分配的过程中，分配是稳定的，不受任何其他因素所干扰.6.在分配中不会存在性别歧视，男女平等。2.2符号设定： Pi-第i楼的人数 Ni-第i楼分配的委员数 n-第i楼的委员数ni的计算的整数部分三、模型的建立与求解建模分析：目标：惯例分配法和Q值分配法问题在数学上，代表名额分配问题的一般描述是：设名额数为N，共有s个单位，各单位的人数分别为pi,i=1,2,s.问题是如何寻找一组整数q1,qs使得q
5、1+q2+?qs=N，其中qi是第i个单位所获得的代表名额数，并且“尽可能”地接近它应得的份额piN/(p1+p2+ps)，即所规定的按人口比例分配的原则. 如果对一切的i=1,2,s，严格的比值恰好是整数，则第i个单位分得qi名额，这样分配是绝对公平的，每个名额所代表的人数是相同的.但由于人数是整数，名额也是整数，qi是整数这种理想情况是极少出现的，这样就出现了用接近于qi的整数之代替的问题.在实际应用中，这个代替的过程会给不同的单位或团体带来不平等，这样，以一种平等、公正的方式选择qi是非常重要的，即确定尽可能公平（不公平程度达到极小）的分配方案. 按惯例分配席位方案，即按人数比例分配原则
6、- Hamilton (哈密顿)方法惯例分配方法：按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。存在不公平现象，能否给出更公平的分配席位的方案？在数学上，代表名额分配问题的一般描述是：设名额数为N，共有s个单位，各单位的人数分别为pi,i=1,2,s.问题是如何寻找一组整数q1,qs使得q1+q2+?qs=N，其中qi是第i个单位所获得的代表名额数，并且“尽可能”地接近它应得的份额piN/(p1+p2+ps)，即所规定的按人口比例分配的原则.如果对一切的i=1,2,s，严格的比值恰好是整数，则第i个单位分得qi名额，这样分配是绝对公平的，每个名额所代表的人数是相同的.但由于人
7、数是整数，名额也是整数，qi是整数这种理想情况是极少出现的，这样就出现了用接近于qi的整数之代替的问题.在实际应用中，这个代替的过程会给不同的单位或团体带来不平等，这样，以一种平等、公正的方式选择qi是非常重要的，即确定尽可能公平（不公平程度达到极小）的分配方案.Hamilton (哈密顿)方法哈密顿方法具体操作过程如下 先让各个单位取得份额qi的整数部分qi； 计算ri=qi-qi，按照从大到小的数序排列，将余下的席位依次分给各个相应的单位，即小数部分最大的单位优先获得余下席位的第一个，次大的取得余下名额的第二个，依此类推，直至席位分配完毕. 上述6个楼的21个名额的分配结果见表1. 哈密顿
8、方法看来是非常合理的，但这种方法也存在缺陷.譬如当s和人数比例不变时，代表名额的增加反而导致某单位名额qi的减少.表1楼别人数所占比例入选人数 A235235/10003B333333/10003C432432/10004考虑上述 栋楼所选人员名额分配问题.因为有10生代表参加该委员会时可能出现不公平问题这样算A栋会多同时对B、C两栋都不公平。因此决定增加一席位用Q值法进行分配分配情况见下表表2楼别人数所占比例入选人数人数A235235/10002.5853B333333/10003.6634.C432432/10004.7524显然，这个结果对于C是不公平的，总名额多了一个，但是只有A B增
9、加名额而C名额不变。Q值法众所周知，pi/ni表示第i个单位每个代表名额所代表的人数.很显然，当且仅当pi/ni全相等时，名额的分配才是公平的.但是，一般来说，它们不会全相等，这就说明名额的分配是不公平的，并且pi/qi中数值较大的一方吃亏或者说对这一方不公平.同时我们看到，在名额分配问题中要达到绝对公平是非常困难的.既然很难作到绝对公平，那么就应该使不公平程度尽可能的小，因此我们必须建立衡量不公平程度的数量指标.不失一般性，我们考虑A，B双方席位分配的情形（即s=2）.设A，B双方的人数为p1,p2，占有的席位分别为n1,n2，则A，B的每个席位所代表的人数分别为p1/n1，p2/n2，如果
10、p1/n1=p2/n2，则席位分配是绝对公平的，否则就是不公平的，且对数值较大的一方不公平.为了刻划不公平程度，需要引入数量指标，一个很直接的想法就是用数值|p1/n1-p2/n2|来表示双方的不公平程度，称之为绝对不公平度，它衡量的是不公平的绝对程度.显然，其数值越小，不公平程度越小，当|p1/n1-p2/n2|=0时，分配方案是绝对公平的.用绝对不公平度可以区分两种不同分配方案的公平程度，例如：显然第二种分配方案比第一种更公平.但是，绝对不公平度有时无法区分两种不公平程度明显不同的情况：第一种情形显然比第二种情形更不公平，但它们具有相同的不公平度，所以“绝对不公平度”不是一个好的数量指标，
11、我们必须寻求新的数量指标.这时自然想到用相对标准，下面我们引入相对不公平的概念.如果p1/n1p2/n2，则说明A方是吃亏的，或者说对A方是不公平的，称为对A的相对不公平度；如果p1/n1p2/n2，此时与前一种情形相比后一种更公平.建立了衡量分配方案的不公平程度的数量指标rA，rB后，制定分配方案的原则是：相对不公平度尽可能的小.假设A，B双方已经分别占有n1，n2个名额，下面我们考虑这样的问题，当分配名额再增加一个时，应该给A方还是给B方，如果这个问题解决了，那么就可以确定整个分配方案了，因为每个单位至少应分配到一个名额，我们首先分别给每个单位一个席位，然后考虑下一个名额给哪个单位，直至分
12、配完所有名额.不失一般性，假设p1/n1p2/n2，这时对A方不公平，当再增加一个名额时，就有以下三种情形：情形1：p1/（n1+1）p2/n2，这表明即使A方再增加一个名额，仍然对A方不公平，所以这个名额应当给A方；情形2：p1/（n1+1）p2/(n2+1)，这表明B方增加一个名额后，对A方更加不公平，这时对A的相对不公平度为公平的名额分配方法应该是使得相对不公平度尽可能的小，所以若情形1发生，毫无疑问增加的名额应该给A方；否则需考察rB(n1+1,n2)和rA(n1,n2+1)的大小关系，如果rB(n1+1,n2)rA(n1,n2+1)，则增加的名额应该给A方，否则应该给B方.注意到rB
13、(n1+1,n2)rA(n1,n2+1)等价于，名额（席位）分配问题应该对各方公平是理所当然的，问题的关键是在于建立衡量公平程度的即合理又简明的数量指标.惠丁顿法所提出的数量指标是相对不公平值rA，rB，它是确定分配方案的前提.在这个前提下导出的分配方案分给Q值最大的一方无疑是公平的.但这种方法也不是尽善尽美的，这里不再探讨.引入公式于是知道增加的席位分配可以由Qk的最大值决定，且它可以推广到多个组的一般情况。用Qk的最大值决定席位分配的方法称为Q值法。对多个组（m个组）的席位分配Q值法可以描述为 1先计算每个组的Q值： Qk , k=1,2,m2求出其中最大的Q值Qi（若有多个最大值任选其中
14、一个即可） 3将席位分配给最大Q值Qi对应的第i组。这种分配方法很容易编程处理。 模型求解 按应分配的整数部分分配，余下的部分按Q值分配。 本问题的整数名额是10如下： 表3：楼别人数所占比例入选人数A2350.2352B3330.3333C4320.4324对10个席位的分配求Q值：QA=2352/（22）=90.24 QB=3332/（33）=92.40 QC=4322/（44）=93.31比较QA、QB、QC，QC最大因此最后一个席位因分给C楼，所以人数为： A：2 B；3 C：5四、模型评注以上的两中分配方法在生活中的用途很广，但Q值法对席位等的分配要比比例法更加公平精确。Q值模型系统
15、地给席位的分配方案，便于指导工作实践模型原理简单明了且公平准确，容易理解与灵活运用建模的方法和思想对其他类型也适合，易于推广到其他领域。五、最后总结：Q值法的应用应在对分配不公平的问题中进行，只有运用Q值法才能尽可能做到公平分配。但同样Q值法的饿为体也随之出现了。Q值法不比例法分配更加公平。但Q值法不能解决“分配资格”问题，使得在问题中在得利用到比例法对其先进行分配，再用Q值法对其精确的分配。Q值法不能单独对其进行分配。六、参考文献：【1】 （1）杨培谊，于鸿高中数学解题方法与技巧M北京：北京学院出版社，【2】 1993数学模型（第三版）姜启源 谢金星 叶俊 编北京高等教育出版社2003【3】 全国大学生数学建模竞赛论文格式规范2007
