“特征信息”的捕捉与解题的最优化.doc

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1、“特征信息”的捕捉与解题的最优化 丁保荣在文1中,提出了一个十分重要的:通过捕捉题设(或结论)中的“特征信息”,优化解题思路罗增儒教授在他的许多文章中也有精辟的论述,尤其是在解题中,非常重视解题速度、解题的最优化问题23 ?文1的例1、例2的“特征信息”,其实都可以联系到一个重要不等式: ?定理若,则()24 ?文1的例1尽管给出了三种解题思路,但是却有美中不足:尚未揭示出其最优解题思路;例2虽巧妙地构造出二次方程,但仍然缺乏最优化思考 ?本文旨在展示平凡的定理()4在“特征信息”聚焦时的最优化解题特征 ?首先,通过“等导不等”来证明这个定理: ?()4()4, 当且仅当时,等号成立 ?下面列

2、举一系列数学问题,其“特征信息”均可或显或隐地聚焦于定理()4限于篇幅,解题时不作一一分析,只展现定理的最优化解题思路 ?例1已知实数,满足等式6,9,求证:(文1例1) ?证明:依定理()4,即64(9),得0,从而6,90,解得3,故证毕 ?例2若()4()()0,则,成等差数列(1979年全国高考题) ?证明:由题设知()4()(),而依本文定理,则有()()()()4()(),可见,从而,成等差数列 例3方程组2,的实数解的组数是() 1 ?123无穷多(1987年上海市初中数学竞赛试题) ?解:依定理知,()4,则24(1),得0,原方程组化为 2,显然只有一解1,故选 1, ?例4

3、已知,都是实数,且0,1,求证:,中必有一个大于32(1991年“曙光杯”初中数学竞赛试题) ?证明:由题知,中必有一个是正数,不妨设为正数依定理()4,得()?4(1),或4,于是  32,故得证 ?注意:此处还有意外收获,原题结论还可改进为:求证:,中必有一个不小于  ?例5,都是小于1的正数,求证:在4(1),4(1),4(1),4(1)中,不可能都大于1(1962年美国数学竞赛试题) ?证明:巧妙地逆用定理,注意4(1)4(1)4(1)4(1)4(1)4(1)4(1)4(1)(1)(1)(1)(1)11111,由此可见,4(1),4(1),4(1),4(1

4、)中不可能都大于1 ?例6已知0,0,且4,(6)(5),求S的最大值 ?解:依定理,知44(6)(5)(6)(5)11()(114)49,494,当212,112时,494 ?当然,定理最主要还是于巧证不等式方面 ?例7已知 2,求证:4(文1例2) ?证明:由题设,知 2依定理,知( )42,或28,即4,证毕 ?纵观以上各例,依定理解题,显得有序,思路清晰,简便,且显然优于原来的方法 ?例8正数,满足条件求证:(1987年(前)苏联数学奥林匹克试题) ?证明:传统证法大半是构造正三角形或正方形,利用面积关系证之今依定理,即刻知 ?444()()()3, ?于

5、是,(34),故证毕 ?可见,依定理还有意外收获,得到原式的一个加强式:(34)而这一加强难在传统证法中体现出来 ?例9已知1,1,1,求证: ?(1)(1)(1)12 ?证明:依定题,知(1)14(1)14(1)同理4(1),4(1),于是,(1)(1)(1) 4(1)(1)(1)(1)(1)(1)43 12,证毕 ?例10设,为非负数,且满足1,求证: ?1   2  ?证明:考虑(  )2()22 42 ,或   ,依题知及定理,有04()1,故     ?于是1   2 ,证毕 ?定理()4的优化解题功效远不止这些,只要留心些,读者必定还会有所发现和创新令人振奋的是,从基本不等式2 ,平方即可得()4;但令人遗憾的是,2 的,已是老生常谈,而()4却少见报道笔者试图通过本文,借以引为重视! ? ?1丁保荣信息与解题中学数学教学参考,2001,5 ?2罗增儒看透本质,优化过程中学数学教学参考,2001,6 ?3罗增儒数学解题学引论西安:陕西师范大学出版社,1997  

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