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1、传染病问题中的SIR模型 摘要：2003年春来历不明的SARS病毒突袭人间，给人们的生命财产带来极大的危害。长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是我国及全世界有关专家和官员关注的课题。不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。在这里我采用SIR（Susceptibles，Infectives，Recovered）模型来研究如天花，流感，肝炎，麻疹等治愈后均有很强的免疫力的传染病，它主要
2、沿用由Kermack与McKendrick在1927年采用动力学方法建立的模型。应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，预测疾病发生的状态，评估各种控制措施的效果，为预防控制疾病提供最优决策依据, 维护人类健康与社会经济发展。关键字：传染病；动力学；SIR模型。一模型假设1. 在疾病传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。总人口数N(t)不变，人口始终保持一个常数N。人群分为以下三类：易感染者(Susceptibles)，其数量比例记为s(t)，表示t时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数占总人数的比例；感染病者(Infectives)，其数量比例记
3、为i(t)，表示t时刻已被感染成为病人而且具有传染力的人数占总人数的比例；恢复者(Recovered)，其数量比例记为r(t)，表示t时刻已从染病者中移出的人数（这部分人既非已感染者，也非感染病者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已退出该传染系统。）占总人数的比例。2. 病人的日接触率（每个病人每天有效接触的平均人数）为常数，日治愈率（每天被治愈的病人占总病人数的比例）为常数，显然平均传染期为1，传染期接触数为=。该模型的缺陷是结果常与实际有一定程度差距，这是因为模型中假设有效接触率传染力是不变的。二模型构成在以上三个基本假设条件下，易感染者从患病到移出的过程框图表示如下：sisiri在假
4、设1中显然有：s(t) + i(t) + r(t) = 1 （1）对于病愈免疫的移出者的数量应为 （2）不妨设初始时刻的易感染者，染病者，恢复者的比例分别为（0），（0），=0.SIR基础模型用微分方程组表示如下： （3） s(t) ， i(t)的求解极度困难，在此我们先做数值计算来预估计s(t) ， i(t)的一般变化规律。三数值计算在方程（3）中设=1，=0.3，i（0）= 0.02，s（0）=0.98，用MATLAB软件编程：function y=ill(t,x)a=1;b=0.3;y=a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2);ts=0:50;x0=0.20,0.9
5、8;t,x=ode45(ill,ts,x0);plot(t,x(:,1),t,x(:,2)pauseplot(x(:,2),x(:,1)输出的简明计算结果列入表1。i(t) , s(t)的图形以下两个图形，is图形称为相轨线,初值i(0)=0.02,s(0)=0.98相当于图2中的P0点,随着t的增,(s,i)沿轨线自右向左运动.由表1、图1、图2可以看出,i(t)由初值增长至约t=7时达到最大值,然后减少,t,i0,s(t)则单调减少,t,s0.0398. 并分析i(t),s(t)的一般变化规律.t 0 1 2 3 4 5 6 7 8i(t)0.02000.03900.07320.12850
6、.20330.27950.33120.34440.3247s(t)0.98000.95250.90190.81690.69270.54380.39950.28390.2027 t 9 10 15 20 25 30 35 40 45i(t)0.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010s(t)0.14930.11450.05430.04340.04080.04010.03990.03990.0398 表1 i(t),s(t)的数值计算结果四相轨线分析 我们在数值计算和图形观察的基础上，利用相轨线讨论解i（t）,s（t）的性质。 i s平面称为相
7、平面，相轨线在相平面上的定义域（s，i）D为 D = （s，i）| s0，i0 ， s + i 1 （4） 在方程（3）中消去并注意到的定义，可得 ， （5） 所以： （6）利用积分特性容易求出方程(5)的解为： （7）在定义域D内,(6)式表示的曲线即为相轨线,如图3所示.其中箭头表示了随着时间t的增加s(t)和i(t)的变化趋向.下面根据(3),(17)式和图9分析s(t),i(t)和r(t)的变化情况(t时它们的极限值分别记作, 和)。1.不论初始条件s0,i0如何,病人消失将消失,即： （8）其证明如下： 首先,由(3) 而 故 存在; 由(2) 而 故 存在;再由(1)知存在。其次,
8、若则由(1),对于充分大的t 有 , 这将导致，与存在相矛盾.从图形上看,不论相轨线从P1或从P2点出发,它终将与s轴相交(t充分大).2.最终未被感染的健康者的比例是,在(7)式中令i=0得到, 是方程 （9）在(0,1/)内的根.在图形上是相轨线与s轴在(0,1/)内交点的横坐标. 3.若1/,则开始有，i(t)先增加, 令=0，可得当s=1/时,i(t)达到最大值： （10） 然后s1/(即1/s0)时传染病就会蔓延.而减小传染期接触数,即提高阈值1/使得1/(即 1/),传染病就不会蔓延(健康者比例的初始值是一定的,通常可认为接近1)。 并且,即使1/,从(19),(20)式可以看出,
9、 减小时, 增加(通过作图分析), 降低,也控制了蔓延的程度.我们注意到在=中,人们的卫生水平越高,日接触率越小;医疗水平越高,日治愈率越大,于是越小,所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延. 从另一方面看, 是传染期内一个病人传染的健康者的平均数,称为交换数,其含义是一病人被个健康者交换.所以当 即时必有 .既然交换数不超过1,病人比例i(t)绝不会增加,传染病不会蔓延。五群体免疫和预防 根据对SIR模型的分析,当 时传染病不会蔓延.所以为制止蔓延,除了提高卫生和医疗水平,使阈值1/变大以外,另一个途径是降低 ,这可以通过比如预防接种使群体免疫的办法做到. 忽略病人比例的初始值有,
10、于是传染病不会蔓延的条件 可以表为 (11)这就是说，只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例（即免疫比例）满足（11）式，就可以制止传染病的蔓延。这种办法生效的前提条件是免疫者要均匀分布在全体人口中，实际上这是很难做到的。据估计当时印度等国天花传染病的接触数 =5，由（11）式至少要有80%的人接受免疫才行。据世界卫生组织报告，即使花费大量资金提高，也因很难做到免疫者的均匀分布，使得天花直到1977年才在全世界根除。而有些传染病的更高，根除就更加困难。六模型验证 上世纪初在印度孟买发生的一次瘟疫中几乎所有病人都死亡了。死亡相当于移出传染系统，有关部门记录了每天移出者的人数，即有了的实际数据，K
11、ermack等人用这组数据对SIR模型作了验证。首先，由方程（2），（3）可以得到 ，两边积分得 所以： (12)再 (13)当 时，取（13）式右端Taylor展开式的前3项得： 在初始值=0 下解高阶常微分方程得: (14)其中， 从而容易由（14）式得出： （15） 然后取定参数 s0, 等，画出（15）式的图形，如图4中的曲线，实际数据在图中用圆点表示，可以看出，理论曲线与实际数据吻合得相当不错。 七被传染比例的估计 在一次传染病的传播过程中，被传染人数的比例是健康者人数比例的初始值与之差，记作x,即 (16)当i0很小，s0接近于1时，由（9）式可得 (17)取对数函数Taylor展开的前两项有 (18) 记 , 可视为该地区人口比例超过阈值的部分。当 时（18）式给出 （19） 这个结果表明，被传染人数比例约为的2倍。对一种传染病，当该地区的卫生和医疗水平不变，即不变时，这个比例就不会改变。而当阈值提高时，减小，于是这个比例就会降低。八评注该模型采用了数值计算,图形观察与理论分析相结合的方法,先有感性认识(表1,图1,图2),再用相轨线作理论分析,最后进行数值验证和估算,可以看作计算机技术与建模方法的巧妙配合。可取之处在于它们比较全面地达到了建模的目的,即描述传播过程、分析感染人数的变化规律,预测传染病高潮到来时刻,度量传染病蔓延的程度并探索制止蔓延的手段和措施。
