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1、一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1关于x的方程x22（k1）x+k20有两个实数根x1、x2（1）求k的取值范围；（2）若x1+x21x1x2，求k的值【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）方程有两个实数根，可得代入可解出的取值范围；（2）由韦达定理可知，列出等式，可得出的值试题解析：(1)4(k1)24k20，8k40，k；(2)x1x22(k1)，x1x2k2，2(k1)1k2，k11，k23.k，k3.2如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB16cm，BC6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动(1)若点
2、P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm？(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？(3)若点P沿着ABBCCD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间PBQ的面积为12cm2？【答案】（1）PQ=6cm；（2）s或s；（3）经过4秒或6秒PBQ的面积为 12cm2【解析】试题分析：（1）作PECD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；（2
3、）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm在RtPEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；（3）分类讨论：当点P在AB上时；当点P在BC边上；当点P在CD边上时试题解析：（1）过点P作PECD于E则根据题意，得EQ=16-23-22=6（cm），PE=AD=6cm；在RtPEQ中，根据勾股定理，得PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，PQ=6cm；经过2s时P、Q两点之间的距离是6cm；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，16-5x=8，x1=，x2=；经过s或sP、Q两点之
4、间的距离是10cm；（3）连接BQ设经过ys后PBQ的面积为12cm2当0y时，则PB=16-3y，PBBC=12，即（16-3y）6=12，解得y=4；当x时，BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则BPCQ=（3y-16）2y=12，解得y1=6，y2=-（舍去）；x8时，QP=CQ-PQ=22-y，则QPCB=（22-y）6=12，解得y=18（舍去）综上所述，经过4秒或6秒PBQ的面积为 12cm2考点：一元二次方程的应用3在等腰三角形ABC中，三边分别为a、b、c，其中4，若b、c是关于x的方程x2（2k+1）x+4（k）0的两个实数根，求ABC的周长【答案】ABC的周长为10【
5、解析】【分析】分a为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k值，将k值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出ABC的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式=0可求出k值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c的值，由b+c=a可得出此种情况不存在综上即可得出结论【详解】当a4为腰长时，将x4代入原方程，得：解得： 当时，原方程为x26x+80，解得：x12，x24，此时ABC的周长为4+4+210；当a4为底长时，（2k+1）2414（k）（2k3）20，解得：k，b+c2k+14b+c4a，此时，边长为a，b，c的三条线段不能围成三角形ABC
6、的周长为10【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键4已知关于x的方程mx2+(3m)x3=0(m为实数，m0)(1) 试说明：此方程总有两个实数根(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m的值.【答案】(1)0；(2)m=-1,-3.【解析】分析: （1）先计算判别式得到=（m-3）2-4m（-3）=（m+3）2，利用非负数的性质得到0，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）利用公式法可求出x1=，x2=-1，然后利用整除性即可得到m的值详解: （1）证明：m0，方程mx2+（m
7、-3）x-3=0（m0）是关于x的一元二次方程，=（m-3）2-4m（-3）=（m+3）2，（m+3）20，即0，方程总有两个实数根；（2）解：x= ，x1=-，x2=1，m为正整数，且方程的两个根均为整数，m=-1或-3点睛: 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b2-4ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根也考查了解一元二次方程5已知关于x的一元二次方程x2mx20（1）若x1是方程的一个根，求m的值和方程的另一根；（2）对于任意实数m，判断方程的根的情况，并说明理由【答案】（1）方程的另一根为x=2；(2)方
8、程总有两个不等的实数根，理由见解析.【解析】试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式与0的关系进行判断(1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=12-2=0另一根是2；(2)，方程有两个不相等的实数根考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根6为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游
9、”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？【答案】共有35名同学参加了研学游活动【解析】试题分析：由该班实际共支付给旅行社3150元，可以判断出参加的人数在30人以上，等量关系为：（100在30人基础上降低的人数2）参加人数=3150，得到相关解后根据人均活动费用不得低于80元作答即可试题解析：10030=30003150，该班参加研学游活动的学生数超过30人设九（1）班共有x人去旅游，则人均费
10、用为1002（x30）元，由题意得：x1002（x30）=3150，整理得x280x+1575=0，解得x1=35，x2=45，当x=35时，人均旅游费用为1002（3530）=9080，符合题意当x=45时，人均旅游费用为1002（4530）=7080，不符合题意，应舍去答：该班共有35名同学参加了研学旅游活动考点：一元二次方程的应用7已知：关于x的方程x24mx4m210.(1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)若ABC为等腰三角形，BC5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长2【答案】(1) 有两个不相等的实数根（2）周长为13或17【解析】试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别
11、式，可得出=40，由此可得出：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据等腰三角形的性质及0，可得出5是方程x24mx+4m21=0的根，将x=5代入原方程可求出m值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论试题解析：解：（1）=（4m）24（4m21）=40，无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根（2）0，ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，5是方程x24mx+4m21=0的根将x=5代入原方程，得：2520m+4m21=0，解得：m1=2，m2=3当m=2时，原方程为x28x+15=0，解得：x1=3，x2=53、5、5能够组成三角形，该三角形的周
12、长为3+5+5=13；当m=3时，原方程为x212x+35=0，解得：x1=5，x2=75、5、7能够组成三角形，该三角形的周长为5+5+7=17综上所述：此三角形的周长为13或17点睛：本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x=5求出m值8已知:如图，在中，cm，cm.直线 从点出发，以2 cm/s的速度向点方向运动，并始终与平行，与线段交于点.同时，点从点出发，以1cm/s的速度沿向点运动，设运动时间为(s) () .(1)当为何值时，四边形是矩形?(2)当面积是的面积的5倍时，求
13、出的值;【答案】（1）；（2）。【解析】【分析】（1）首先根据勾股定理计算AB的长，再根据相似比例表示PE的长度，再结合矩形的性质即可求得t的值.（2）根据面积相等列出方程，求解即可.【详解】解：（1）在中， ，当时，四边形PECF是矩形， 解得 （2）由题意 整理得，解得，面积是的面积的5倍。【点睛】本题主要考查矩形的动点问题，这是近几年的考试热点，必须熟练掌握.9自年月日零时起，高铁开通，某旅行社为吸引广大市民组团去仙都旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过人，人均旅游费用为元，如果人数超过人，每增加人，人均旅游费用降低元，但人均旅游费用不得低于元如果某单位组织人参加仙都旅游，那么需支付
14、旅行社旅游费用_元；现某单位组织员工去仙都旅游，共支付给该旅行社旅游费用元，那么该单位有多少名员工参加旅游？【答案】（1）2280；（2）15【解析】【分析】对于（1）根据人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求解；对于（2）设这次旅游可以安排x人参加，而由1020020002625，可以得出人数大于10人，则根据x列出方程：（10x）（2005x）2625，求出x，然后根据人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求出x的范围，最后得出x的值.【详解】（1）因为因此参加人比人多，设在人基础上再增加人，由题意得：解得，经检验是方程的解且符合题
15、意，（舍去）答：该单位共有名员工参加旅游【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，根据题意作出判断，列出一元二次方程，求解方程，舍去不符合题意的解，从而得出结果.10若两个一次函数的图象与x轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x牵手函数”，这个交点为“x牵手点”（1）一次函数yx1与x轴的交点坐标为 ；一次函数yax+2与一次函数yx1为一对“x牵手函数”，则a ；（2）已知一对“x牵手函数”：yax+1与ybx1，其中a，b为一元二次方程x2kx+k40的两根，求它们的“x牵手点”【答案】（1）（1，0），a2；（2）“x牵手点”为（，0）或（，0）.【解析】【分析】（1
16、）根据x轴上点的坐标特征可求一次函数y=x-1与x轴的交点坐标；把一次函数y=x-1与x轴的交点坐标代入一次函数y=ax+2可求a的值；（2）根据“x牵手函数”的定义得到a+b=0，根据根与系数的关系求得k=0，可得方程x2-4=0，解得x1=2，x2=-2，再分两种情况：若a=2，b=-2，若a=-2，b=2，进行讨论可求它们的“x牵手点”【详解】解：（1）当y0时，即x10，所以x1，即一次函数yx1与x轴的交点坐标为（1，0），由于一次函数yax+2与一次函数yx1为一对“x牵手函数”，所以0a+2，解得a2；（2）yax+1与ybx1为一对“x牵手函数”，a+b0a，b为x2kx+k40的两根a+bk0，x240，x12，x22若a2，b2则y2x+1与y2x1的“x牵手点”为；若a2，b2则y2x+1与y2x1的“x牵手点”为（，0 ）综上所述，“x牵手点”为或（，0）【点睛】本题考查了根与系数的关系、一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征的运用
