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1、极坐标曲线的美丽传说 数学文化选修课程与Casio图形计算器的一次完美牵手摘要：本文是数学文化校本选修课程中极坐标曲线的一个教学设计案例，其最大的亮点在于摆脱了传统数学文化课程采用黑板或者PPT演示、教师单方面讲述的枯燥模式，尝试将数学图形计算器融入课程教学中。教师在电脑上使用fx-CG20Manager演示，学生人手一台计算器，师生同步操作，共同探究，让学生了解课本以外的各种经典曲线的同时，学会使用图形计算器作出这些图形，并结合三角函数图像变换知识进行观察归纳探索，更好地发挥了学生学习的主观能动性，调动了学生学习的积极性，让数学文化课程不再枯燥无味。关键词:Casio图形计算器；极坐标；数学
2、文化课程一、课程设计初衷与意图在极坐标系的世界里，流传着这样一个美丽的传说“17世纪法国黑死病肆虐的那个年代，数学家笛卡尔还是个乞丐时，遇上了公主克里斯汀。克里斯汀爱慕他的才华，拜笛卡尔为师学习数学。后来，师生恋自然而然发生了。国王很生气，后果很严重。笛卡尔被流放，后感染了黑死病，临死时托了一信给多年思念的克里斯汀。国王截到信件，发现那是一道数学公式，召集了全国数学家破译，无果，就放交给了公主克里斯汀。克里斯汀收到老师的信，一看，果然只有一道方程。 克里斯汀明白了，顿时泪如雨下。可惜，一切太迟了，笛卡尔大概已死去，留下了一个永远的传说和遗憾”一个偶然的机会，在查找极坐标相关资料时，笔者看到了这
3、个充满数学色彩的传奇故事。笔者手边正好有个Casio-fx-CG20图形计算器，进入图形模块输入该极坐标方程得到了对应的图形，不禁感慨传奇的浪漫！随后，笔者决定在学生们极坐标学习结束后，设计一堂校本选修课极坐标曲线的美丽传说，作为笔者开设的数学中的美与趣校本选修课中的一节，引导学生通过图形计算器破解这个传奇故事，并结合高中知识和图形计算器的功能探究各种课堂以外的著名的极坐标曲线。根据普通高中数学课程标准第98页中对于“数学文化”的要求，以及对模块坐标系与参数方程的说明与建议第6条。笔者拟定2个设计意图：1.让学生体会数学人文价值和美学价值，培养数学审美情操，开拓学生的数学视野，激发学生的数学学
4、习兴趣。2.以Casio图形计算器为辅助，能更好地发挥学生的主观能动性，打破数学文化类校本课程以往以教师展示介绍为主的单一而乏味的方式，能更好地调动学生的积极性。二、教学目标设置 1.让学生了解课本以外的各种经典曲线，学会使用图形计算器作出这些图形，并结合三角函数图像变换知识进行观察归纳，创新实践。 2.基于图形计算器学习数学文化，让学生感受数学之美的同时，培养他们的动手实践创新能力，激发数学学习兴趣。三、学生学情分析 学生在此前已经完成了人教A版选修4-4中极坐标部分的学习，已经掌握了极坐标的意义及表示，学会用极坐标的表示直线，圆锥曲线等学生非常熟悉的图形，有了学习本节课的理论基础，有能力按
5、课标建议拓展认识其它极坐标曲线，。四、图形计算器支持以往这种数学文化类选修课都采用多媒体PPT结合几何画板展示，基本是以老师讲学生听的专题讲座模式进行，因为缺少互动，往往枯燥无味。学生人手一台图形计算器，而教师在电脑上使用fx-CG20Manager进行演示，可让学生与老师同步探究，进行动手实践或者合作交流。五、教学过程（一）引入故事教师讲述开篇笛卡尔的故事，并提出问题：“你知道这个方程为什么会感动她，有什么含义在里面？”（学生好奇并开始猜想）此时可以提示学生，如果把的换成，看做一个常数，这是什么方程？（由于学生刚刚学习了极坐标方程，所以很容易得出结论）。教师可继续引导学生：“这个方程对应的图
6、形是什么？我们学过吗？”(学生会发现这个并不是他们熟悉的方程)（二）用图形计算器作出极坐标曲线破解传奇之谜 在充分激发学生的好奇心之后，请学生拿出图形计算器取=2进行极坐标曲线作图，【操作】p5ew 2j1-jfklu得到图1图1（学生看着这条心形曲线直呼浪漫！）教师介绍说，这条曲线就是著名的心脏线，是不是很浪漫？还好当时国王没有图形计算器！（三）对心脏线作进一步探究1）提问学生这颗心会不会受参数的影响？（学生大部分表示肯定）请学生利用计算器的动态图功能，通过改变参数从-2到2，0.5为步长，观察对心脏线的图象的影响。【操作】p6afj1-jfklrw-2l2l0.5u 图2学生讨论答案后，教
7、师小结，在其它不变的情况下，正心底朝左，负心尖朝右，的绝对值大小与心的大小成正比。不管怎样，除非=0，否则不变的都是一颗心，所以公主才会那么感动！2)取=2，教师提问，能不能通过我们学习的三角函数知识将这个心脏线顺时针旋转？提示学生利用学过的三角函数、图像变换、极坐标等知识进行思考。【操作】p52j1-jjf+Lcz4$kkl2j1-jfkl u图33)能不能让我们的心脏线绕着圆点转起来？将旋转参数变量设为动态变量A，A从0取到，步长设为,就形成转动的心，可以让学生改变步长，发现转动轨迹形成的花纹。【操作】p62j1-jjf+afkklrlw0l2LclLcPLcz3ldu 图44)教师介绍4
8、种常见心脏线方程，并和同学们一起动手把4条曲线画在同一个坐标系内（如图5），这就是智慧之花。【操作】p52j1-jfkl2j1+jfkl2j1-hfkljP1P2j1+hfklu 图5教师提问：你可以利用诱导公式推导第一个方程曲线如何变换得到后面3个吗？（诱导公式）（四）其它曲线如玫瑰线圆盘线的介绍1）教师介绍，像这样著名的极坐标曲线还有很多，比如玫瑰线， 这里的可以去整数，也可以取分数，还可以是无理数。【操作】p52j3fl2h3flu=3时，常数取2时，跟学生一起做出 图6教师提问：这两条曲线有什么区别和联系?（学生发现，它们形状一样而相对角度不同）教师继续提问：你能用三角函数知识解释下为
9、什么吗？（教师板书，引导学生一起推导，逆时针旋转了）2）利用计算器的动态图模块，观察取其他自然数时的情况，找出他们与的关系（与学生一起使用图形计算器作出各种曲线，培养学生观察归纳的能力）【操作】 图7教师和学生一起总结：如果是偶数，玫瑰线就有2个瓣，如果是奇数，则有个瓣。3）教师提出为形如的分数呢？【操作】P11ludddp62jjafzPaf+1$jfkklrw1l6l1ldeqluv 图8教师介绍这是圆盘线！4）.教师给出几个著名曲线的极坐标方程，和学生一起作出图象并一一给学生介绍其名称与背景，让学生充分感受简约的极坐标方程所带来的震撼的视觉效果。（阿基米德螺线之等速螺线，极坐标练习中出现过这个方程，正好在这里找到答案）（倒数螺线）， 图9（五）课外作业请学生课后自己去图书馆或者网络查阅，找一找还有没有其它的著名曲线的极坐标方程，并利用图形计算器作图或者改变参数进行探索（比如玫瑰线中n取无理数是什么曲线），或者利用这些曲线进行各种图形构造。最后请将查到的或者做出来的成果上传到网络共享。六、教学反思本节课通过对著名曲线极坐标方程的介绍，与学生共同动手利用图形计算器作出这些曲线，让学生对极坐标方程有了更进一步的了解。CG-20图形计算器在此类课程中的应用，很好地增强了师生互动性，使得学生不会觉得呆板枯燥，同时也增加了很多动手机会，培养学生探索创新能力。参考文献
