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1、一类次序统计量的精致渐近性摘要：对-极值吸引场（）的随机样本及非随机样本的次序统计量的精致渐近性进行了讨论，得到非随机样本的次序统计量的精致渐近性的结果是随机样本的结果当时的特况.关键词：精致渐近性；Weibull分布；最大值吸引场.Abstract: We do some research on the maximum domain of attraction of the random sample and non random samples order statistics. Then draw the conclusion that the result of the precise
2、 asymptotic of the non random samples order statistics is the special case of that of the random one.Key words: precise asymptotic; the Weibull distribution;the maximum domain of attraction1. 引言和主要结论本文假设为非退化独立同分布的随机变量列，其共同的分布函数为.记近年来，对随机变量的考虑已经有了很多的成果，但涉及到次序统计量的并不多，有文献考虑了iid的随机变量序列的分布函数属于极值分布为Freche
3、t分布的最大值吸引场的情况下的相应次序统计量的精致渐近性，本文旨在考虑极值分布是Weibull分布的最大值吸引场的精致渐近性。 首先介绍极值分布的相关概念及内容.定义 设为非退化独立同分布的随机变量列，其共同的分布函数为.若存在某适当的，及分布函数使 （1.1）则称（或）属于极值分布的最大值吸引场.注1 由Fisher-Tippett定理（参见1中的定理3.2.3）知，只有French分布，Gumbel分布，Weibull分布三种情况，其中.若，则称 (或)属于Weibull分布的最大值吸引场，记作（或），本文只关注,周知，.由1中定理3.3.7知当且仅当，其中为正值慢变函数.若，则 （1.2
4、）其中正则化常数满足.中心化常数注2（1.2）式中的极限分布在仿射变换的意义下是唯一的：（详见1）设为与序列互相独立的iid的随机变量列. 以概率1取正值且.记.则为一更新计数过程.定义随机样本的次序统计量定义非随机样本的次序统计量为在上述基础上，我们得到如下关于次序统计量和（假定这两种次序统计量都是有意义的，即以及）的精致渐近性的结果.定理1.1 设，则对有 (1.3)特别的 (1.4)注3 非随机样本的次序统计量的精致渐近性的结果（1.4）是随机样本的次序统计量的精致渐近性的结果（1.3）中时的特况.定理1.2 条件同定理1.1.则对有 (1.5)特别地 (1.6)注4 不难看出，定理1.
5、2是定理1.1中的情况，但两者的收敛速度却完全不同.同样，定理1.2中非随机样本的次序统计量的精致性的结果是随机样本情况中时的特况。2 主要引理以下均设为正常数，且在不同的地方可以不同。引理2.1设为某极值分布，则对某标准化常数，使当且仅当引理2.2设.其中，为某极值分布，则. (2.1)引理2.3设.其中，为某极值分布，则. (2.2)为了书写方便，以下记，则将代入得，.引理2.4 对上述，我们有.特别地证明：事实上引理证毕。引理2.5 若，为任意大于零的常数，则对，当n充分大时有， （2.3），. （2.4）其中为与无关的常数.证明：，先证（2.3）式成立.令.则由于为i.i.d.的随机变
6、量列，故由Markov不等式得.又由，知 （2.5）类似地有 （2.6）故以下我们只需证.事实上，由于,故存在某正值慢变函数，使得，又，从而，当n充分大时，不妨设，则 （2.7）再由Potter定理知，对充分大的.存在使得.故根据（2.7）式得.引理证毕.3.定理的证明定理1.1的证明 先证（1.3）式成立.根据引理2.4得： （3.1）再由如下不等式组及（3.1）式即得故以下我们只需证 （3.2）记，则由引理2.2知.设为充分大常数，则有，. （3.3）下证 （3.4） （3.5）事实上，由于，故有故由（3.7）式及知此即（3.5）式成立.另一方面，设，根据引理2.5得.从而.即（3.6）式
7、成立.故由（3.4）（3.5）（3.6）即得（1.3）式成立.（1.4）式的证明只需令上述计数过程中的作为（1.3）的特况.定理证毕.定理1.2的证明 先证（1.5）式成立，首先 （3.7）故由（3.7）式及下述不等式组.即得故以下我们只需证 （3.8）首先对,有 （3.9）下证. （3.10）. （3.11）当时，（3.11），（3.12）式的证明类似于定理2.1中的证明，我们不再累赘.同（1.4）的证明，（1.6）式是（1.5）式得特况.定理证毕。参考文献：【1】P. Embrechts, C.Kl$ddotu$ppelberg, T.Mikosch, Modelling Extremal
8、 Events for Insurance andFinance,1997, Springer.【2】N. H. Bingham, C. M. Goldie, J. L. Teugels, Regular variation, 1987, Cambridge, London, etc. 【3】严继高，王岳宝，成凤旸，一类非随机样本及随机样本的次序统计量的精致渐近性，系统科学与数学，26（2） （2006，4）， 237244后记时间如白驹过隙，依稀还记得去年申请莙政学者时的情景，交材料，面试，暑期研修，转眼已经到了结题的时候了。笔锋至此，心中竟充满着对这一年来莙政之路上陪伴我的人还有发生的事的
9、感动、牵挂与不舍。从面对着课题的一无所知，到一步步的学习探究，学新知识，打好基础，在我的导师的指导下，我逐渐揭开课题神秘的面纱，我对有关极限理论的文献进行研读，在暑假里，我又对严老师的论文进行了自己的思考与分析，并将严老师文章中的证明过程的每一步都细细推导了一遍。数学证明有的时候确实枯燥无味，最初，由于对概念的理解还不是特别到位，我也走了很多弯路。譬如Weibull分布的定义域是负的，一开始我就没有注意到，所以，起初的证明过程便完全不对，刚开始的工作都不完全正确。暑假过后，只得重来，于是，我又把先前的材料拿出来仔细地学习，查阅有关资料，检查其中的细节，重新思考研究我自己的证明过程。在吸取上一次
10、的教训之后，有了一些经验，我便更加细心认真了，也没有上次那样粗枝大叶了，同时我也发现了证明过程中的问题。这样我再跟严老师讨论之后，严老师又给我提供了一些他的想法。于是我又开始了我新一轮的科研工作，证明，演算，再检查，我仔细地审视着前面的结果，并认真推敲下面的过程，终于，得到自己的结果之后，我又去跟严老师讨论了一番。这次，又有一个左尾函数搞错了，表达式写得有一点问题，再反复检查之后，我终于在寒假结束之际将整个证明过程完成了。现已经成功的推导出了Weibull分布最大值吸引场的精致渐近性的结果。莙政之年，我真的收获了很多，也成长了很多，收获的不仅仅是一篇自己独立完成的科研论文，更多的还有和严老师的友谊，以及这一路走来，教务处老师们的帮助与陪伴，好朋友们的支持与鼓励。真的感谢李政道先生和秦慧莙女士所设立的莙政基金我们提供了这样一个如此广阔的平台；再次，我要感谢我的恩师严继高老师对我的细心地指导与帮助；还有我的班主任老师、我的同学朋友们给予我的信任与支持，从你们那里，我学到了很多很多
