中国人口增长预测要交论文.doc

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1、中国人口增长预测摘要 我国是一个人口大国，而人口问题也始终是制约我国发展的关键因素之一。本文对中国人口增长的变化趋势做出预测。 模型一：指数增长模型。我们忽略人口的年龄结构及出生率、死亡率等因素的影响，只考虑人口总数的增长率。采用微积分这一数学工具，将人口总数可微函数，并利用19902008的总人口数据，用拟合的方法求解得到19902008总人口实际值与预测值对照表。拟合效果较好。最后采用该模型对20092050年的总人口进行了预测得到表3。 模型二阻滞增长模型（Logistic模型）。因为周围环境对人口的增长起着阻滞作用，而利用模型一并不能准确的预测出人口的变化趋势，所以我们采用了Logis

2、tic模型。首先阻滞作用体现在对人口增长率r的影响上，设固有增长率为人口数目的线性函数 ,利用微分方程可以得到人口增长速度dx/dt随着x增加的变化图，用拟合的方法求解得到1990年2008年间实际值与预测值的对照表。拟合效果很好。最后我们采用该模型对20092050年的总人口进行了预测得到表6。 模型三GM（1,1）模型。因为人口变化由很多因素决定，而如此众多的因素不可能通过几个指标就能表达清楚，而且人口增长的潜在而复杂的影响更是无法精确计算，所以我们采用了模型三。首先对19902005年全国的人口数做一次累加生成得到一个新数列，并将新数列的变化趋势近似用微分方程描述，利用最小二乘拟合得到结

3、果后构造数据矩阵，求出预测模型且还原原始数据。然后可以得到19902005年人口总数实际值与预测值对照表，根据对照表，采用残差检验得到平均相对误差为0.38%，关联度检验得到关联度r=0.99985，后验差检验得到c=0.11,p=1,由检验结果可知预测结果十分理想。最后我们采用该模型对20092050年的总人口进行了预测得到表10。关键词：人口预测 阻滞增长模型 灰色理论 一、问题重述1.1问题背景 中国是一个人口大国，人口问题也始终是制约我国发展的关键因素之一。而近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化、性别比失衡，城镇化，这些都影响着中国人口的增长。1.2涉及材料背景 200

4、7年初发布的国家人口发展战略研究报告 做出了进一步的分析。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。而附录2就是从中国人口统计年鉴上收集到的部分数据。1.3问题提出 从中国的实际情况和人口增长的特点出发，参考附录中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；而且特别要指出你们模型中的优点与不足之处。二、问题分析 2.1 人口预测概述 人口预测是社会未来预测的一种，它的任务是寻找客观存在的人口规律，运用现代科学技术方法，预测人口发展过程的变化趋势，协助政府决策机构提出与人口的发展更加适应的政策。严格说来

5、，人口预测包括对未来人口发展各方面的测算和预报，以及为了消除人口未来发展的不利影响而做出的措施和决策。 2.2 人口预测分类 根据预测时间的不同，一般可分为短期、中期和长期预测三种。 短期预测约为5年，其可靠程度高，对编制未来人口和国民经济发展规划，有直接的参考作用。 中期预测一般是向前预测15至20年，它能反映出现在已经扎下根子的人口过程未 来发展变动的总趋势，其可靠程度虽比短期预测差，但对编制长远规划有积极的作用。 长期预测是指30至50年以上的预测，其意义主要在于揭示在现有规律的作用条件下，人口过程于遥远未来可能呈现的状况，一般只有参考作用。 2.3 人口预测影响因素 我们在进行预测时需

6、要考虑： 人口系统式由总人口、净增人口、男女人口、城乡人口、各年龄段人口、育龄妇女、以及出生率、死亡率、自然增长率等许多因素共同作用形成的，需要考虑这些因素对人口增长的影响。 人口总量增长的预测以及其各个结构的发展趋势预测。其中主要考虑人口老龄化趋势、出生人口性别比、乡村人口城镇化对预测的影响。 在进行预测后需要对其采取哪些有效的措施，使人口的控制与老龄化水平达到一定的均衡。三、模型假设1.假设在预测期内无自然灾害或其他因素引起的大规模伤亡。2.每个妇女，只生育一个小孩3.忽略出入境对人口的影响。4.在短期内，人口的生育率、死亡率不变四、符号说明 表示灰色预测中的原始数据序列 这些符号可在建模

7、时给出表示灰色预测中的累加生成序列表示一阶微分方程模型的待估参数五、模型的建立与求解5.1建模前的准备分析工作 近年来中国人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化、性别比例失衡，城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。下面，我们将根据附录中的数据，对老龄化、性别比、城镇化三个因素做具体的分析，总结出我国人口的一些主要特点。5.1.1老龄化 由附件1可知，人口老龄化就是指人口中老年人比重日益上升的现象。而老龄化的直接原因是出生率和死亡率降低，其中最主要的是生育率降低。一般情况下，如果一个国家人口中65岁及以上老年人口比重超过7%，或60岁及以上老年人口比重超过10%，那么该国家人口类型属老年型

8、。根据附件2中的数据分别以60岁及其以上和65岁及其以上人口数进行分析说明，并分别将其进行统计得到如图一、二所示的结果： 图一 60岁以上的市镇乡人口比例 图二 65岁以上市镇乡人口比例 由图中的结果发现：城市的老年人2003后将会逐渐减少，而乡镇的老年人从2001年到2005年都是呈增长趋势的。其主要原因归于农村的养老保障制度不健全，青壮年人口大量流入城市，致使农村老龄化趋势越来越严峻，而同时另一方面也说明了，我国人口总的趋势是老龄化进程加速。5.1.2 性别比 5.1.2.1对城、镇、乡的出生人口性别比的假设检验 正常情况下，出生人口性别比是由生物学规律决定的，保持在103 107之间。

9、初生人口性别比受到众多随机因素的影响，并且各因素均非决定性的影响因素，根据大数定理，可以假定初生人口性别比服从均值为103 107之间的某个数的正态分布。 分别对于城、镇、乡的初生人口性别比，讨论如下检验问题 取显著性水平 ，利用题目附件给的1994-2005年的数据进行计算，得到检验统计量 的对应值为8.8325、6.3082、21.1871，与T分布的上分位点 3.1058比较。可见，对应值均大于上分位点，因而拒绝原假设 ，认为1994-2005年的初生人口性别比并非仅由生物学规律决定，而是受到了人为因素的影响。类似，对于城、镇、乡的初生人口性别比，讨论另一个检验问题 不难得到检验结论为：

10、接受原假设 。当然，后一个检验问题可以根据前一个检验问题的结论省略。 5.1.2.2对城、镇、乡的初生人口性别比趋势的分析用附件1中的1994-2005年的数据，由初生人口性别比对年份1到12进行分析，结果如图三所示： 图三A 市出生人口性别比趋势的回归分析图图三B 镇出生人口性别比趋势的回归分析图图三C 乡出生人口性别比趋势的回归分析图 （说明：纵坐标表示女婴数量为100时所对应的男婴数量） 由图三可知，无论是城镇还是农村，男女出生比例都大于正常值，（正常值域由生物学规律决定的，保持在103107之间），男女比例失衡现象在农村尤为明显。究其失衡的原因，主要有以下四个方面的因素：重男轻女的文化

11、环境；社会经济的发展水平；生育率下降的速度；人口工作的重点。 5.1.2.3结论 通过上述检验和分析，可以得到如下结论：出生人口性别比受人为因素影响，重男轻女的思想观念使得初生人口性别比越来越大，乡村的情况更加严重，长此以往必然产生巨大的社会问题。对1995-2005年城、镇、乡育龄妇女生育率做线性回归，得到回归直线依次为： （说明：t表示年份对应的序列111，19942005缺2000） 由此分析可知，出生率在下降，乡村出生率下降的潜力更大。 分析与预测的结果为政府决策提供参考，我们加强乡村养老保障建设，消除乡村人民的后顾之忧，降低育龄妇女生育率。5.1.3乡村人口城镇化 乡村人口城镇化是指

12、人口向城镇集中或乡村地区转变为城镇地区，从而变乡村人口为城镇人口，使城镇人口比重不断上升的过程。我们搜集了1990年到2008年之间城镇、乡村的人口总数的数据，并绘制成图，得到如图四所示： 图四A 镇人口随时间变化图图四B 乡人口随时间变化图 由图四可以看出城镇人口逐年增加而乡村人口逐年减少。尤其是进入21世纪以来，城镇化进程更为迅速，这说明了我国乡村人口城镇化的一个趋势和事实。当然，中国人口增长的特点并不仅限于此，还有一些许多的因素由于数据有限，这里就不再给予说明。5.2模型的建立与求解5.2.1模型一指数增长模型（马尔萨斯人口模型） 5.2.1.1模型背景 这一模型是二百多年前英国人口学家

13、马尔萨斯调查了英国一百多年的人口统计资料，基于人口增长率不变的假设，并据此建立了著名的人口指数增长模型。在问题的初步分析讨论中，我们将借此模型来对中国人口总数的变化进行预测。 5.2.2.2模型建立 记时刻t的人口为x（t），我们将x（t）视为连续、可微函数。 记初始t=0时刻的人口为x0.假设人口增长率为常数r，即单位时间内x（t）的增量等于r*x（t）。考虑t到t+ 时间内人口的增量，显然有 （4）令，得到x(t)满足微分方程 , （5）由这个方程很容易解出 （6） 5.2.2.3模型求解 1）参数估计：（6）式中的参数r和，利用表1的数据，我们用拟合的方法求解，具体程序见附录一。表1 1

14、9902008年人口数（万人）年份1990199119921993199419951996总人口数114333115823117171118517119850121121122389年份1997199819992000200120022003总人口数123626124761125786126743127627128453129227年份20042005200620072008总人口数129988130756131448132129132802得到以下结果： r= 0.0082203， x0=0.0091096；2）总人口预测：用上面的参数r和x0，代入（6）式，就可得到总人口的预测结果，将计算

15、结果与实际数据作比较，如下表：表2 实际结果与预测结果对照表年份实际总人口数（万人）预测总人口数（万人）相对误差（%）19901143331158500.0132419911158231168000.008461319921171711177700.0050877 19931185171187400.001874919941198501197200.001090519951211211207100.00341419961217001223890.005598219971227101236260.007422319981237201247610.008333819991247401257860.

16、008295920001257701267430.007660120011268101276270.006399220021278601284530.004639820031292271289100.0024347 20041299881299800.000088973 20051307561310500.00224320061314481321300.005195920071321291332200.0114420081328021343200.01324并根据表格中的数据，绘制成图如下：图五 模拟值与实际值的比较图（说明：红线代表实际人口数的变化，蓝色的“+”代表计算值） 观察表2可知，误

17、差较小，；由图五我们也能够比较直观地看出，计算值与实际值相差不大，拟合效果较好。说明用这个模型基本上能够描述1990年到2008年间，中国人口的增长。从短时间内的预测效果来看，用指数增长模型来分析解决问题，还是能得到较好的效果的。 5.2.2.4 模型应用由于已经求解出公式（6）的具体形式，即 ,利用此式预测2009-2050年间的人口数量。结果如下表：表3 20092050年总人口数量（万人）的预测值年份200920102011201220132014总人口预测值135422.693136540.496137667.526138803.858139949.570141104.739年份201

18、520162017201820192020总人口预测值142269.443143443.760144627.771145821.554147025.192148238.764年份202120222023202420252026总人口预测值149462.353150696.043151939.915153194.054154458.545155733.474年份202720282029203020312032总人口预测值157018.926158314.988159621.749160939.295162267.717163607.104年份203320342035203620372038总人口

19、预测值164957.546166319.135167691.963169076.123170471.708171878.812年份203920402041204220422044总人口预测值173297.530174727.959176170.195177624.335179090.478180568.723年份204520462047204820492050总人口预测值182059.170183561.919185077.072186604.732188145.000189697.983 根据指数增长模型，人口数量与时间的函数关系由（6）式决定，根据（6）式可知，当时间趋于无穷大时，人口数量

20、也会趋于无穷大。但是实际上，任何地区的人口都不可能是无限增长的，即指数模型不能预测长时间人口演变过程。 分析指数增长模型，我们知道，得到（6）式的基本前提是：人口增长率是常数。然而实际的情况并不是这样，实际情况中，人口增长率是在不断地变化着的。排除灾难、战争等特殊时期，一般来说，人口增长到一定的数量后，增长率就会慢下来，即增长率变小。如果按照人口增长率一直不变来计算，当然会有较大的误差。为了使人口预测特别是长期预测的结果能够更好的符合实际情况，必须修改指数增长模型中关于人口增长率是常数这个基本假设。由此，我们得到改进的阻滞增长模型。5.2.3模型二阻滞增长模型（Logistic模型）5.2.3

21、.1：模型建立 分析人口增长到一定数量后增长率下降的主要原因，人们注意到，自然资源、环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，并且随着人口的增加，阻滞作用越来越大。阻滞作用体现在对人口增长率r的影响上，使得r随着人口数量x的增加而下降。若将r表示为x的函数r（x），则它应是减函数。于是方程（5）写作： ， (7) 对r(x)的一个最简单的假定是，设r（x）为x的线性函数，即： （8）这里r称固有增长率，表示人口很少时（理论上是x=0）的增长率。为了确定系数s的意义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量，称人口容量。当时人口不再增长，即增长率r(xm)=0,代入（8）得s=r/xm,于是（

22、8）式为 （9） （8）式的另一种解释是，增长率r（x）与人口尚未实现部分的比例成正比，比例系数为固有增长率r。将（9）代入方程（7）得 ， （10）方程（10）右端的因子rx体现人口自身的增长趋势，因子则体现了环境对人口增长的阻滞作用。显然，x越大，前一因子越大，后一因子越小，人口增长是两个因子共同作用的结果。 如果以x为横轴、dx/dt为纵轴作出方程（10）的图形（图六），可以分析人口增长速度dx/dt随着x的增加而变化的情况，从而大致地看出x(t)的变化规律。 图六 Logistic模型dx/dtx曲线 由图六可以看出，当x=xm/2时，dx/dt取得最大值，即当人口数量达到最大值的一半

23、时，人口增长率最大。求解微分方程（10），可得： （11）5.2.3.2模型求解 1）参数估计：（7）式中的参数r和，利用表4的数据，我们用拟合的方法求解，具体程序见附录二。表4 19902008年总人口数年份1990199119921993199419951996总人口数（万人）114333115823117171118517119850121121122389年份1997199819992000200120022003总人口数（万人）123626124761125786126743127627128453129227年份20042005200620072008总人口数（万人）1299881

24、30756131448132129132802得到以下结果： Xm=153535.1，r=0.04773）总人口预测 我们运用上面得到的结果，将参数xm和r代入（12），就可得到1990年2008年间的预测结果，将这些预测结果与实际结果相比较，如下表： 表5 总人口实际值与预测值对照表年份总人口实际值（万人）总人口预测值（万人）相对误差（%）19901143331143320.0132419911158231157080.008461319921171711170520.0050877 19931185171183620.001874919941198501196390.00109051995

25、1211211208820.00341419961217001220910.005598219971227101232670.00742231998123720124410.008333819991247401255190.008295920001257701265950.007660120011268101276380.006399220021278601286490.004639820031292271296280.0024347 20041299881305750.000088973 20051307561314910.00224320061314481323760.0051959200

26、71321291332310.0114420081328021340570.01324由表5中的数据，我们可知，预测值与实际值非常接近，误差也十分小。所以根据表中的数据，绘制成图如下： 图七 模拟值与实际值的比较图（说明：红线代表实际人口数的变化，蓝色的“+”代表计算值） 观察表5可知，误差很小；由图我们也能够比较直观地看出，计算值与实际值相差很小，拟合效果很好。说明用这个模型基本上能够描述1990-2008中国人口的增长。从短时间内的预测效果来看，用阻滞增长模型比指数模型预测效果更好。 5.2.3.3模型应用 由于已经求解出公式（9）的具体形式，即： ，（1990年时，t=0）,代入相应的时

27、间t就可预测中国人口的数量。在此，我们预测2009年到2050年间的人口数量，结果如下表：表6 0950预测值与实际值年份200920102011201220132014预测结果134853.907135622.560136363.614137077.730137765.582138427.853年份201520162017201820192020预测结果139065.232139678.412140268.087140834.949141370.690141902.995年份202120222023202420252026预测结果142405.545142888.012143351.0601

28、43795.342144221.501144630.169年份202720282029203020312032预测结果145021.963145397.490145757.340146102.090146432.304146748.530年份203320342035203620372038预测结果147051.300147341.133147618.531147883.982148137.960148380.920年份203920402041204220422044预测结果148613.307148835.548149048.056149251.232149445.461149631.113年

29、份204520462047204820492050预测结果149808.548149978.110150140.132150294.933150442.821150584.0925.2.4模型三GM（1,1）灰色预测5.2.4.1模型建立 一个国家的人口变化是由很多因素决定的，如：社会制度、自然环境、生活水平、科学文化水平等，都能严重影响社会人口发展过程。而如此众多的因素不可能通过几个指标就能表达清楚，它们对人口增长的潜在而复杂的影响更是无法精确计算。因此，在本模型中，我们首先不考虑这些因素，仅仅只是利用19902005年全国的人口数，采用灰色预测相关知识，来对中国人口的预测，并将预测数据与原

30、始数据相对比，用一些参数来作为对比的指标，由此来判断此模型对解决本问题是否具有可用性。 GM（1,1）模型(Grey Dynamics Model,GM)是以时间序列进行研究分析，用数列建立方程，将无规律的原始数列经过转换，使之成为较有规律的生成数列后再建模的一种预测方法，其建立模型的步骤如下所示： a)是所要预测的人口总数的原始数据，（这里对符号应作些说明）对原始数据做一次累加生成处理。即： (12)这样就可以得到一个新的数列。这个新的数列与原始数列相比，其随机性程度大大弱化了，而且平稳性大大增加。 b)将新数列的变化趋势近似用微分方程描述。即： (13)其中，a，u为待定系数，利用最小二乘

31、拟合得到： (14) c)构造数据矩阵。式（14）中为列向量，B为构造数据矩阵， d)求出预测模型。即： (15) e)还原原始数据。即： (16) 利用上述的步骤，我们就可以得到预测的总人口数据。 上述叙述似乎与本题联系不明显。5.2.4.2模型求解. 利用19902005年中国全国人口的统计资料，对未来五年内全国人口作出预测。 表719902005年全国人口总量年份19901991199219931994199519961997人口总量（万人）114333115823117171118517119850121121122389123626年份199819992000200120022003

32、20042005人口总量（万人）124761125786126743127627128453129227129988130756原始数据序列为：一次累加后生成的数列为：为求出B矩阵，我们先求出Z序列：程序：x=114333,230156,347327,465844,585694,706815,829204,952830,1077591,1203377,1330120,1457747,1586200,1715427,1845415,1976171;z(1)=x(1);for i=2:10 z(i)=0.5*(x(i)+x(i-1);endformat long gz结果：z（114333,172

33、240,288740,406590,525770,646250,768010,891020,1015200,1140500,1266700,1393900,1522000,1650800,1780400,1910800）所以可以得到：B 下面求解和：B=-172240,-288740,-406590,-525770,-646250,-768010,-891020,-1015200,-1140500,-1266700,-1393900,-1522000,-1650800,-1780400,-1910800,ones(15,1);Y=115823,117171,118517,119850,1211

34、21,122389,123626,124761,125786,126743,127627,128453,129227,129988,130756;format long ga=inv(B*B)*B*Y结果：a = -0.0085929 1.1531e+005所以 ： -0.008593，115310人口总量预测方程为： （17）5.2.4.3模型检验：a) 残差检验：将0,1,2，15代入式（15）中，再利用式（16），得到19902005年全国人口总量的预测值。：第t年预测值与实际值的绝对误差,：第t年预测值与实际值的相对误差。 绝对误差: 相对误差:表8 总人口实际值与预测值对照表年份19

35、901991199219931994199519961997实际值114333115823117171118517119850121121122389123626预测值114333116794117801118818119844120878121921122973绝对误差0-971-630-3016243468653相对误差0-0.0084-0.0054-0.00250.0000050.0020.00380.0053年份19981999200020012002200320042005实际值124761125786126743127627128453129227129988130756预测值12

36、4034125105126184127273128372129480130597131724绝对误差72768155935481-253-609-968相对误差0.00580.00540.00440.00280.00063-0.00196-0.0047-0.0074由上表可知：平均相对误差为0.38%，模型精度比较高。b)关联度检验 原始序列和模拟序列的绝对关联度为： 其中： 由上述公式，代入相应的数据，可得出： 关联度=0.99985c)后验差检验 由原始序列和绝对误差序列计算得原始数据序列和绝对误差序列的方差分别为： 其中 =5089.98 其中 =555.85其中=（0,-971,-63

37、0,-301,6,243,468,653,727,681,559,354,81,-253，-609,-968）后验差比为: 0.11 小误差概率1表9 灰色预测精度检验等级标准模型精度等级均方差比值C小误差概率P1级（好）C=0.952级（合格）0.35C0.50.80=P0.953级（勉强）0.5C0.650.70=p0.65P0.70 由检验指标p和C与灰色预测精度检验等级标准对比可知，预测模型很理想。5.2.4.3.模型应用因此，上述模型可用于预测。将t=17，18，62代入式（15）和式（16），经过计算得20062050年全国人口总量预测值，见表10。表10 2006-2050年全国

38、人口总量（万人）的预测值：年份20062007200820092010201120122013人口总量132861134008 135164136330137507138694139891141098年份20142015201620172018201920202021人口总量142316143544144783146032147292148563149846151139年份20222023202420252026202720282029人口总量152443153759155086156424157774159135160509161894年份2030203120322033203420352036203