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1、商业银行操作风险评估 基于EVT理论的CVaR模型*本文得到了江苏省教育厅高校哲学社会科学基金（06SJB790025）和江苏省科技厅软科学项目（BR2006505）的资助。 摘要：近年来，操作风险的衡量呈现出模型化的趋势，本文通过极值理论（EVT）来构建操作风险的条件风险价值（CVaR）模型，以此来度量商业银行小概率，大损失特点的操作风险。并认为操作风险模型化的趋势应与加强操作风险管理有机结合起来。关键词：操作风险；风险价值（VaR）；条件风险价值（CVaR）；极值理论（EVT）中图分类号：F830.33文献标识码：A一、引言随着金融衍生产品的不断创新,金融业电子化潮流和金融业的全球化竞争,
2、各金融机构面临的操作风险呈不断上升的趋势。巴塞尔委员会（巴塞尔，2001）给出的一个关于操作风险的定义认为操作风险是“源于内部程序不完善、人为失误、系统故障或是外部事件所引发的直接或间接损失的风险”。目前，风险管理者们相信金融机构面临的风险中大约有30%来自操作风险。尽管如此，人们在数量方法度量这类风险方面所作的工作仍显得不足。在操作风险的度量上，新巴塞尔资本协议给出了从简单到复杂的三种方法,即基本指标法、标准法和内部度量法。并提出银行最终可通过估计操作风险的损失分布，采用方法估计和确定资本要求，使对监管资本的计算更加精确。尽管 VaR 和 CVaR 提出以后，有不少的计算方法出现，但它们都有
3、各自的缺陷。因为几乎所有的传统方法采用的观测值都集中在分布中部，实际上，分布尾部才是VaR 和 CVaR 计算所最关心的。分布在尾部的点都是一些极少发生又具有显著影响的观测值，或者称为极值，而极值理论正是对这些极值提供统计分析的模型。二、VaR与CVaR概述2.1 VaR的定义VaR是一种用规范的统计技术来全面综合地衡量风险的方法, 较其它主观性、艺术性较强的传统风险管理方法能够更加准确地反映金融机构面临的风险状况，大大增加了风险管理系统的科学性。VaR 方法是用概率统计原理估计金融风险的方法，其英文全称是 Value-at-risk，一般译为“风险价值”。其含义是指在未来一定时期内，在给定的
4、概率置信水平(通常比较大，一般在0.951之间)下，任何一种金融工具或投资组合所面临的潜在的最大损失。其数学定义为：其中X为某项金融资产在时刻 t 的负对数回报，当为正代表损失，为负时代表收益。置信水平为(0.9)。这样当我们已知损失的分布时，是的反函数。VaR 关心市场风险，它是金融头寸风险的一种度量，此度量用来评估或被管理委员会用来设置资本保证金，VaR 保证金融机构在一次灾难性的事件后不致于破产。2.2 CVaR的定义尽管VaR方法近年来非常流行，但研究结果和实践经验都表明，过于单纯的VaR 风险计量方法存在严重缺陷。为了克服 VaR 的不足，Rockafeller和Uryasev提出了
5、条件风险价值CVaR的风险计量技术，CVaR(Conditional Value at Risk)的提出，弥补了 VaR 的缺陷。图一反映了VaR与CVaR的区别。对于一个连续性的随机变量，CVaR是超过VaR的损失的期望值。此时有：图一：VaR与CVaR的区别2.3 CVaR的优点因下列原因，CVaR被学术界认为是一种比 VaR 风险计量技术更为合理有效的现代风险管理方法。1CVaR 是指损失超过 VaR 的条件均值，也称为期望短缺 ES(Expected Shortfall)、平均超额损失(Mean Excess Loss)、平均短缺(Mean Shortfall)或尾部VaR(Tail
6、VaR)，其数学表示为：，X 表示损失(即负的收益)CVaR 代表了超额损失的平均水平，反映了损失超过 VaR 阈值时可能遭受的平均潜在损失的大小，较之 VaR 更能体现潜在的风险价值；2CVaR 满足平移不变性、正齐次性、次可加性和单调性，因而是一致性的风险度量；3CVaR 的计算可通过构造一个功能函数而化为一个凸函数的优化问题，在数学上容易处理，如用样本均值逼近总体均值，凸规划还可化为线性规划问题，计算更加简便易行；4计算 CVaR 的同时，相应的 VaR 值也可同时获得，因此可对风险实行“双限”监管，这比用单纯的 VaR 更加保险，更不易遭受非法操纵与篡改正因为具有如此优良的性质，CVa
7、R 自提出后，在金融风险度量中也得到了深入的研究和广泛的应用。总之，如果VaR用于大多数金融情景下的风险衡量，会带来灾难性的后果。而这个问题可以被CVaR所解决。 三、EVT理论极值理论（EVT）的数学功能在于它可以预测那些从未发生过的事件发生的可能性。它通过推断过去事件的随机特征来达到这个目的。对那些大额损失操作风险来说，人们也许很少甚至根本没有经历过这种事件，并且也很难对其进行预测，此时应用EVT理论将有助于人们对这种损失进行度量，无论其发生的概率有多小。一个典型的操作损失数据表现出与高斯分布不同的分布特征。通常，操作风险的基本数据会由少数大事件和一些小事件的数据组成。出于风险管理的目的，
8、我们感兴趣的是分布曲线的尾部特征（或最大损失）。简单地说，对于极值理论的应用基本上有两种途径。一种是基于点过程（point process）的方法，又称为阈值法，我们首先选择一个阈值，然后对阈值以上阈值事件进行分析，该方法叫做POT方法（peaks over threshold,超临界峰值）。另一种方法是考察一定期间的最大事件，该方法又称为峰值法。出于风险管理的目的，或许峰值法更易于让企业和金融机构的管理者们理解。选择给定期间的最大事件更能简化对企业和金融机构资本数量估计的判断。而且实证表明，虽然阈值法在评估 VaR 和 CVaR 时有不错的表现，但是阈值法的一个缺陷是，VaR 和 CVaR
9、值对阈值十分敏感，而阈值选择的方法又不统一，对不同的数据，不同的阈值选择又有不同的效果，这就使得用阈值法评估的 VaR 和CVaR 一定程度上带有阈值选择的主观性。而用峰值法来评估 VaR 和 CVaR 时就不会存在这种情况。四、构建操作风险的CVaR模型4.1 建立操作风险损失数据库模型损失数据库是操作风险管理的一个重要发展领域。市场风险和信用风险的管理人拥有大量的数据。例如，对市场风险，可以获得多年的电子报价。而对信用风险数据，评级机构也已拥有数年的数据（在国内，这方面还有所欠缺）。但对于操作风险而言，我们还处于数据搜集的初期阶段。在量化操作风险前，我们首要的问题就是建立一个操作损失数据库
10、。模型中必须包括影响银行经营结果的那些操作性损失。表1-1给出了一些损失类型分析。表1-1 操作风险损失类型列表损失类型原因结果（财务影响）法定责任判决、清算、外部法律以及其他由操作风险事件引起的相关费用法律诉讼失败监管、合规与课税惩罚罚金和其他处罚的直接成本，例如吊销执照引起的相关成本，不包括失去的或放弃的收入向监管者支付罚金资产损坏由于意外事件导致的企业非金融资产价值损失疏漏、意外、火灾、地震偿还偿还第三方本金和利息，或以其他形式对客户和第三方进行的补偿性支付利息偿付注：不包括法律和责任成本中提到的合法赔偿金追索权损失由于操作过错导致不能向第三方就恢复生产问题提出追索错误地向第三方进行资产
11、追索的支付。包括抵押品的不完全注册造成的损失以及不能行使代位求偿权账面价值减损由于操作性事件导致的金融资产价值的直接减损欺骗行为、错误陈述、市场（或信用）风险在这里，我们把操作风险用诸如“法定责任”或“追索权损失”等可以直接表示成货币性数量损失的方式来分类，就可以简化我们的工作。4.2 建立操作风险损失严重程度的分布我们运用上节所阐述的极值理论的峰值法来求解操作风险的损失严重程度的分布。峰值法，就是对样本数据进行分组，取每组的最大值，则最大值序列渐近服从于广义极值分布(GEV)，再利用样本数据估计广义极值分布中的参数，从而得到损失严重程度的分布。GEV分布的形式为：对于GEV分布的参数估计通常
12、采用极大似然估计法。假设分块最大值序列格服从广义极值分布，其分布函数为：分布密度为：则极大似然估计函数为：极大化该似然函数，便可求出各参数的似然估计值。只是不能得到各估计参数的显性表达式，我们可以使用数值方法来得到各参数的估计值。极大似然估计在时提供了很好的估计，而金融数据序列大都有一个正的尾部指数，即。因此，我们一般都使用极大似然估计法。 另一方面，对GEV分布的参数估计，也可以采用概率加权矩法（PWN），它比极大似然法更可靠些（这方面的讨论，参见克鲁兹2001年的文献）。 4.3建立操作风险损失频率的分布 选择最优拟合分布的过程同样可以适用于频率模型。相当多的分布，包括二项分布、几何分布都
13、适合于这项工作。不过为了分析的简便，我们将采用泊松（Poisson）分布。由于泊松分布使用简单并对大多数据拟合很好，该分布因此成为操作风险频率估计中使用最广的分布之一。泊松分布对于带有不同参数的数据也可以很好地进行拟合。这个分布还有一个特性，即Poisson(a)+ Poisson(b)= Poisson(a+b)。 泊松分布的概率函数是：累计分布函数可以通过下边的函数来计算：4.4 求解操作风险的VaR和CVaR 值 在完成损失程度与损失频率的计算后，我们需要将这二者与总体损失分布结合起来，这样可以让我们在不同的置信水平上预测关于操作损失的数据。在t时刻的总损失，具有分布函数：我们通常假定过
14、程和是统计独立的。推导上边公式，运用全概率公式，同时由于损失频率满足泊松分布，将其代入，我们得到如下基本关系式：由于的显性公式的微分在大多数情况下是不可能实现的，我们必须依靠近似、扩展、递归或数值算法来求解上边的式子。如果操作事件的频率非常之大，我们会设想中心极限效应可能有用。一个大规模的近似值类似于：上式是在大样本条件下的正态分布近似（理论依据是中心极限定理）。 其中，表示标准正态分布的分布函数；是数学期望；是方差。总体强度和频率可以通过计算机模拟来实现。关于处理总体的更多细节可以参见克鲁兹（2001）。 取不同的置信水平P，用以代替；根据所取的P值，并且由标准正态分布函数数值表得到值，从而
15、有：在得到之后，我们开始推导CVaR的值。由于：，所以要求CVaR，现在只需求出，令VaR=u，把u看成一个临界值，令超额损失Y=X-u，其分布由条件分布函数F的尾部给出，即： 当时，额外损失的极限分布就是广义Pareto分布，根据Pareto分布的形式，令，得到函数形式：其中， 这样，。损失频率依旧满足泊松分布，令为泊松分布的参数，这样就得到超额损失Y的期望值：这样，由我们就得到了操作风险的CVaR值：至此，我们己经完成峰值法的操作风险VaR 和 CVaR 公式的理论推导。在实际处理时，需要研究分组的问题。因为如果每组数据的个数太多，会使最大值序列的个数太少，而数据值过大，使拟合的分布尾部过
16、肥，从而导致高估 VaR 和 CVaR。而如果每组数据的个数太少，会使最大值序列的个数太多，而将部分不能作为极值的数据当作极值来处理，使拟合的分布尾部不肥，从而导致低估VaR 和 CVaR。建议，在用峰值法评估 VaR 和 CVaR 的过程中，先对数据进行多种分组，再分别对其最大值序列拟合一个广义极值分布。五、结论1. 通过EVT理论，我们得到了衡量操作风险的CVaR模型。运用该模型，我们可以量化商业银行的操作风险。2. 该模型的实际运用还需要在近似计算和参数估计上有待改进。3. 更加精确的衡量操作风险是操作风险管理的前提，未来的发展方向应是如何建立一个统一的标准化的衡量模型。参考文献1 Ro
17、ckafeller T, Uryasev S. Optimization of conditional value-at-risk. Journal of Risk, 2000, 2(3): 2124.2 Alexander J.McNeil. Estimating the Tails of Loss Severity Distributions using Extreme Value Theory. ASTIN Bulletin, 1997, 27: 117 137.3 Embrechts P., Resnick S., and Samorodnitsky G. Extreme value
18、theory as a risk management tool. Manuscript, Department of Mathematics, ETH, Swiss FederalTechnical University, 1998.4 Embrechts P. Extreme value theory: potentials and limitations as an integrated riskmanagement tool. Manuscript, Department of Mathematics, ETH, Swiss Federal Technical University,
19、2000.5 Alexander J.McNeil and Rudiger Frey. stimation of Tail-Related Risk Measures for Heteroscedastic Financial Time Series: an Extreme Value Approach. Journal of Empirical Finance, 2000,7:271300.6 Giorgio Szego. Measures of risk. European Journal of Operational Research, 2005:519.7 于红香. 基于极值方法的Va
20、R和CVaR评估D .华中科技大学，2005年. Assessing Operational Risk of Commercial BanksUsing CVaR model of Extreme Value TheoryPan Hao Sun Yang(School of Finance,NanJing University of Finance and Economics,Nan Jing 210046 ,China)Abstract : Recently, there takes on a trend of using models in operational risk measure
21、ment. This paper selects extreme value theory to constitute the CVaR model of operational risk. And by this way, we can use this model to measure operational risk that the characteristics are little probability and big loss for commercial banks . However, this trend must be combined organically with the reinforcement of operational risk management .Key Words : Operational Risk, Value-at-Risk, Condition Value-at-Risk, Extreme Value Theory第 10 页 共 10 页
