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1、基金使用方案的优化模型摘要本文在投资收益率的预测上，从投资项目的特点出发，通过回归函数来预测未来投资项目的收益，比较精确的得出各个项目收益率的预测值。在投资方案上，运用了两种方法进求解：模型（I）充分考虑投资与收益间的关系,建立线性优化模型，通过lingo编程，得到最大奖金。模型（II）充分利用项目收益率间的关系：重复投资同一种项目不如分为长短周期投资，以及项目不是很多的情况下，从而找出最优投资方案，通过先计算第年收益对应的本金，然后通过反过来计算出各年的各项目的投资额，这样大大的简化了投资方案的计算，并且得到简单的投资方式，获得最大奖金。通过比较，各有优缺点。关键词：回归函数；复收益率；本金
2、；投资期；奖金1问题的提出学校基金会计划将一笔数额为元的基金投入到学校教学或科研，投入科研与教学的分别会给学校带来的历年收益见表1。表1科研、教学收益表科研历年收益(单位:元)199920002001200220032004200520061年250252。8800808。9600606。710001012500506。2300303。8900911。72年10001017650660。9870884。814501475600610。4900915。83年3000306020502101601561898000820890009207500051055年10200104751005010316
3、80008200教学历年收益(单位:元)199920002001200220032004200520061年100001017812000122188000814990009169100001018815000152933年5000512090009233120001231315000153905年200002058015000154291200012347注:投资期表示投资到收益的时间。投资年对应的两列第一列为投资额,第二列为到期收益额。问题1:根据历年的收益,预测在未来n年内科研与教学的收益率。问题2:根据问题1的收益率,基金投资到科研和教学,并每年用部分收益奖励优秀师生。要求每年的奖金额
4、大致相同，并且使奖金额最大，同时要求在第n年仍保留原基金数额。在以下情况下，如何设计基金使用方案，并对万元，给出具体结果：1只投入到科研上不投入到教学中；2可投入到科研上也可投入教学中；3学校在基金到位后的第4年要举行建校100周年校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度多30%。2模型假设1 科研基金和教学基金收益率采用在这年内的年平均收益率。2 市场稳定，投资项目不会出现投资风险。年初投资，到期年末立即收回3 学校没有其他基金增加投入。4 投资项目之间不会相互影响。5 投资后再投资收益率不变，即在不同时间投资同一项目相互间不影响。6 行家分析得出的数据符合未来情况，是净收益率。7 每年在年终
5、表彰优秀教师和奖励优秀学生。3符号说明科研种类为1，2，3，5年和教学种类为1，3，5年对应项目1，2，3，4，5，6，7，8，9。：基金总额；：每年年终奖励师生奖金额；：项目的在第年的投资收益率；：项目的未来n的年平均收益率：投资年才收益的到期复收益率；：投资年才收益的到期最大复收益率；：投资在第收益的本金；：第年投入项目的资金：第个项目第年收益金额；：第个项目投资期年数；：第年发奖金后剩下的资金，即是可供第年投资资金；4收益预测模型4.1数据处理题目给出了到期的收益,由收益率公式:可得出科研和教学类近几年收益率的情况(见附录表1)。4.2预测模型4.2.1正弦回归由于项目已有的历年收益率数
6、据很少,任何一种预测都有较大的误差,所以根据投资规律,项目收益高时,必然吸引更多的人投资,进而使得收益率变低,受益率降到了一定程度, 投资人数随之减少了,那么收益又会变高。根据这一规律,项目收益率应该近似一个周期函数,不妨设为这个周期函数为,我们可以通过最小二乘法,真实值与函数值的差的平方和最小,求解出最优的a,b,c来,可是这样编程很难达到,算出也是近似解。4.2.2二次回归为了使预测模型简化,在一段短时间内也可以把收益率近似服从二次函数:。这样可以从已有的matlab软件二次回归(程序见附录2)。4.2.3 预测收益率 根据二次回归得到未来十年各个项目的到期收益率,见表3:项目10.013
7、4 0.01380.01420.01450.01490.01530.0156 0.01600.01640.0167项目20.0177 0.0179 0.0181 0.0183 0.0185项目30.0217 0.02140.0211项目40.0242 0.0232项目50.0197 0.0200 0.0203 0.0206 0.0209 0.0212项目60.0271 0.0277 0.0283项目70.0287 0.0287注:不同的项目投资期不同,所以只取10年内可以投资项目的次数来取得项目的未来收益率个数.4.2.3年平均收益率由于收益率是随时变化的,我们也很难瞬时投资和收益,为了解决这
8、一难题,我们引进年平均收益率,来处理收益率问题.这样就大大的简化了后面的要解决的投资方案问题.根据表3的收益率,运用平均公式:得到各项目未来十年的年平均年收益率如表4,表5:表4：科研基金年平均收益率（%）种类一年二年三年五年收益率（%）1.5841.8002.0162.232表5：教学基金年平均收益率（%）种类一年三年五年收益率（%）1.982.522.795投资方案模型根据出发点的不同,得到两种投资方法:5.1根据收益与投资间的关系:5.1.1项目收益与投入项目基金关系式（1）： （1）5.1.2项目收益与可供投资资金关系式（2）：（2）5.1.3投入项目基金与可供投资资金关系式（3）：（
9、3）5.1.4可供投资资金约束式(4)：(4)5.1.5目标函数：5.1.6综合上面的式子，得到模型（）： （）5.2利用各项目间的年平均收益率关系：5.2.1年平均收益率分析：科研种类共4种： 1年，2年，3年，5年。所以学校基金投资只能在这4种选择，即可以看作是一段时间项目分配问题。在假设中，为了去除一些不定因素，已经假设只能在年初投资，发奖金是在年终，取得是未来十年内年平均收益率，从表4数据可以算出一时间段不同分配方案所获得的复收益率。见表6：表6时间段投资方案复收益率表达式复收益率1年1个一年r1.015842年2个一年1.0319311个二年1.0363243年3个一年1.04827
10、71个二年，1个一年1.0527391个三年1.0617074年4个一年1.0648812个二年1.0739671个三年，1个一年1.0785255年5个一年1.0817492个二年，1个一年1.0909791个二年，1个三年1.1002731个五年1.116694从表6中的复收益率的表达式和数值，可以发现重复投资同一类科研项目的复收益率较低，并且投资项目的先后顺序对投资没有影响（以后投资时先投资期小的）.所以在投资中为了获得最大收益只要尽量避免重复投资同一类项目.例如表3中时间段4年的，应该将资金投资到种类为1年和3年的项目上，先投资1年的，在把到期收益全部投资到3年的，从而获得最高复收益率
11、1.078525.应此前5年的投资最大复收益率见表7：第i年（i）12345最大复收益率1.015841.0363241.0617071.0785251.116694表75.2.2投资定理定理1：年头数是整数n，以科研项目投资期年数5，3，2，1为因子，使得较大因子取满，才能取较小因子，则时间n年可以唯一表达成如下式子（1）： （1）注：表示取整。定理2：只要把科研按照a,b,c,d重复数来投资对应的项目，在第年就能获得最大复收益率和最大的奖金.即。举例：时, 只能表成，而不能表示成等。即把资金投入到种类为5年和3年就能获得最大复收益率：1。5.2.3定理证明（1）根据代数的分解因式知识显然可
12、以得到定理1。（2）从表6的复收益率的表达式子可以得到下面不等式：所以我们可以用不等式左边的投资方案代替右边的投资方案，就能获得最大收益.故可以得到定理2。当然教学项目年平均收益率之间也有这样的关系，也满足定理1，2。5.2.4建立模型故根据定理1，2建立模型（）： （）如果第四年的奖金是其他年份的30，则我们对模型（）做一点变动得到模型（）： （）6问题2投资方案的解答6.1根据模型（）解题6.1.1只投资科研只投资科研，则项目共有4个，分别为项目 1,2,3,4；即把表1数据带入到模型（）中，通过lingo软件计算（程序见附录3）获得最大奖金为：1.7996万元，相应的投资方案如下表8：
13、年份种类1234567891011.7715291.69953.324834.88291.705896.494551.64689.9061.6461.646 6.1.2投资科研和教学可以投资科研也可投资教学，通过对表1与表2年平均收益率看，教学的收益率比科研的高，所以如果投资同一种类（同一投资期）的项目，只投资教学的就行了.例如同时3年的项目5和8，只投资项目8就达到目的。在计算时可以把同一种类的教学收益率代替科研收益率，采用问题1方法，带入数据，通过软件计算，只要每年都把100万元投资到教学种类为一年的项目7上，就能获得最大奖金为1.98万元。6.1.3奖金有变动由于第4年的奖金要比其他年份
14、的多（1） 只是投资科研，根据问题1方法可以算出最大奖金为1.7459万元。（2） 科研与教学都投资，根据问题2方法可以最大奖金为1.9208万元。6.2根据模型（）解题6.2.1只投资科研根据定理2得到最优投资科研方案如表9：表9收益的年份12345678910投资的种类1231，351，52，53，51，3，55，5最大复收益率R1.0161.0361.0621.0791.1171.1341.1761.2481.2681.247对应的投资额m2.2062.1632.1112.0782.0071.9761.906 1.7961.76881.989把数据，最大复收益率R带入到模型（），通过li
15、ngo求解（程序见附录4），获得的最大奖金为2.241242万元.根据的大小，以及投资方案进行倒推.例如在第2年投入投资期为3年的科研即项目5投资资金有2个去向：第4年、第9年，则.故根据此方法得到每年各种科研的具体投资如表10：表10 没有数字的表示在那年不投资这类科研（单位：万元）年份种类1234567891018.028 24.069 33.907 3.907 1.976 583.996 2.007 1.976 1.937 91.557 6.1.2投资科研和教学通过对表1与表2年平均收益率看，教学的收益率比科研的高，所以如果投资同一种类（同一投资期）的项目，只投资教学的就行了.在计算时可
16、以把同一种类的教学收益率代替科研收益率.跟只投资科研的方法相同，但要注意到2次投资种类为一年的教学的复收益率1.03999大于投资种类为二年的科研的复收益率1.03632，所以把也可以重复投资一年期教学代替二年期的科研.于是得到最大复收益率如表11：表11 最大复收益率表收益年份12345678910最大复收益率R1.01981.041.0781.0991.1481.171.1931.2361.261.3168把数据带入到模型（），通过lingo软件求解，获得最大的奖金为：2.763380万元.对应每年具体投资的如表12：表12投资方案表（单位：万元）年份种类1234567891019.777
17、 24.973 34.799 4.781 2.449 580.450 2.399 2.400 2.410 87.149 6.1.3奖金有变动只投资科研:把数据带入模型（），通过lingo软件求解，获得最大的奖金为：2.1730万元。投资科研和教学把数据带入模型（），通过lingo软件求解，获得最大的奖金为：2.6793万元。7模型的评价7.1预测模型的评价通过回归函数,来预测未来项目的收益率,虽然存在误差,但是由于数据少,其他的预测模式也很难实现较为精确的值.本文仅提供一种预测思想,根据预测对象的性质和特点,可以通过回归据有此性质和特点的函数来预测他,此方法是可行的。7.2投资方案模型的评价7
18、.2.1模型（）充分利用投资与收益的关系，解决实际基金投资问题，思想容易理解，通过lingo编程容易得到最大奖金.但是我们看到这种投资方式比模型（）投资方式奖金少一些。7.2.2模型（）、（）充分利用项目收益率间的关系：重复投资同一种项目不如分为长短周期投资，以及项目不是很多的情况下，从而找出最优投资方案，使得奖金获得最大.通过先计算第年收益对应的本金，然后通过反过来计算出各年的各项目的投资额，这样大大的简化了投资方案的计算，并且得到简单的投资方式，容易被人们接受。可是模型需要的条件较苛刻，如重复投资同一种项目收益率较低，项目不能很多.所以模型应用到实际中有局限。8模型的推广8.1 预测模型的
19、推广在模型评价中已经说明他的广泛应用,只要从项目的性质和特点,我们可以引入我们熟悉的方程:一次,二次,对数,三角等函数,通过最小二乘法,真实值与函数值差的平方和最小,从而得到最优的预测解。8.2 投资方案模型的推广我们也可以在直接采用各年的预测值，各项目的一次投资限额，建立更为一般的模型（IV）：（IV） 参考文献：1徐玖平，胡知能，李军.运筹学M，北京：科学出版社，20042韩中庚.数学建模方法及其应用M，北京：高等教育出版社，20053 谭永基，蔡志杰.数学模型M，上海：复旦大学出版社，附录附录1科研类项目10.0110.01110.01160.0120.01240.01280.013项目
20、20.01650.01680.0170.01720.01730.0175项目30.0210.01230.0260.01240.0230.02 教学类项目40.0270.02650.025项目50.01780.01820.01860.01881.01881.0195项目60.0240.02590.02610.026项目70.0290.02860.0289附录2p2=1.01651.01681.01701.01721.01731.0175;p3=1.0211.0231.0261.0241.0221.020;p5=1.0271.02651.0250;q1=1.01781.01821.01861.01
21、881.01881.0195;q3=1.0241.02591.02611.026;q5=1.0291.02861.0289;i=1:3p=polyfit(i,p5,1)j=4:5y=polyval(p,j)sum(y)/2附录3 model:sets:nian/1.10/:z;mu/1,2,3,5/:P;link(mu,nian):y,x;endsetsdata:M=100;!p=1.0198 1.01800 1.0252 1.0279;p=1.01584 1.01800 1.02016 1.02232;enddatamax=s;y(2,1)=0;y(3,1)=0;y(3,2)=0;y(4,1
22、)=0;y(4,2)=0;y(4,3)=0;y(4,4)=0;z(10)=100;for(nian(i):y(1,i)=x(1,i)*p(1);for(nian(i)|i#gt#1:y(2,i)=x(2,i-1)*p(2)2);for(nian(i)|i#gt#2:y(3,i)=x(3,i-2)*p(2)3);for(nian(i)|i#gt#4:y(4,i)=x(4,i-4)*p(2)5);for(nian(i)|i#ne#4:z(i)=sum(mu(k):y(k,i)-s);z(4)=sum(mu(k):y(k,4)-1.3*s;sum(mu(k):x(k,1)=M;for(nian(i)|i#gt#1:sum(mu(k):x(k,i)=z(i-1);end附录4model:sets:nian/1.10/:m,R;endsetsdata:k=100;n=10;R=1.016 1.0361.0621.079 1.1171.1341.1761.2481.2681.247;enddatasum(nian(i):m(i)=k;for(nian(i)|i#ne#n:m(i)*R(i)=s);m(n)*R(n)=s+k;end
