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1、两向不等压作用下圆形巷道弹塑性分析摄动解第12卷1990正第4期7月岩土工程YAKTUGOGCHENGXUE13A0Vo1.12,No.4luly,1990两向不等压作用下圆形巷道弹塑性分析摄动解魏悦广(山东矿业学皖矿建系,泰安)提要本文研究两向不等压作用下圆形巷道圈岩的弹塑性司题.假设材料是理想弹塑性的,在圆孔周围有一环状区域已进入塑巨状态,在库仑埽服条件下,甩摄动浩给出弹塑性区域考虑二阶小量的应力分布及弹塑性交界线均解析表达式.与往近似法L匀结果不同,本文的研究结果表时,巷道围岩的弹塑性交界线形状类似于椭圆,随着内摩擦角的增加更接近于圆形.一,刖雷现有的弹塑性理论对于两向不等压作用下圆形巷
2、道围岩在库仑屈服条件下的弹塑性问题,至今未能给出完整的解答.以往的研究提出的一些近似计算法或估算法0,都是以圆孔外围岩完垒处于弹性状态时的应力解(Kirsch解)为基础的.弹塑性交界线的近似算法0把Kitsch解作为弹塑性问题中弹性区的应力解,是缺乏理论根据的,而且究竟会产生多大的误差尚不清楚.文献21注意到这种近似方法的明显不足,并提出了一种修正方法.修正方法仍显现出弹性区的应力解具有Kirsch解的形式,而且它的运算又是以文献1中近似法的结果为基础的.当文献1中近似法的结果失效时,文献2中近似法的结果也将失效.文献3将Kitsch解中的圆孔半径代之以等压时的弹塑性交界线(圆)的半径,将所得
3、的应力分布作为弹性区的应力分布,导致在等压时的弹塑性交界线处径向应力为零.显然,这与实际不符.巷遘在开挖前后,周围岩石的弹性应力分布有很大的变化.在巷道周界附近区域进入塑性状态前后,围岩的应力分布也将发生改变.在塑性区域出现后,若不考虑塑性医对弹性区应力分布的影响,其计算结果的有效性是无法保证的.本文运用摄动法给出两向不等压作用下圆形巷遣围岩弹塑性问题的二阶摄动解答.本文的研究结果表明,弹塑性交界线形状类似于椭圆,并随着内摩擦角增大更接近于圆形,而不是如文献1,2中近似法所指出的那样交界线沿45.方向向外扩展.关于摄动解的有效性,本文也作了简要的讨论.二,问题与求解考虑圆形巷道在远离巷道周界处
4、受两向不等压力作用(图1).图中为任意小参数,印作者理工作单位:清华大学工程力学系.期磷日期:1989年7月lO日-0<81.巷遣较深,岩土工程l990车_按平面应变问题处理.采用极坐标系,如圈2所示.假设拉应力为正由应力变换公式可知,在远离巷道周界处的应力边界条件为;.=一-q1gsc.s.1qein20Jt,II=:一图1巷道受力情况固2象用曲极坐标系考虑在圆孔附近有一环状塑性区,其应力分布可直接通过平衡微分方程,库仑屈服条件阻及孔边应力边界条件求也.因此,该问题可化为在塑性区应力分布已知的情况下确定弹性区的应力分布及弹塑性交界线的问题.(一)塑性区的应力螺答平衡微分方程为一-+Gr
5、-CT:09+.+.,:.库仑屈服条件为(rP):十4fr.十(r+日)sin=2cc0s其中c为粘聚力,为内摩擦角.圆孔的应力边界条件为rIr.r0=0,tr?I.=O显然式(4)与d无关,由于塑性区的应力解答只与内边界条件有关,力的问题属于轴对称问题.此时tr日0其余应力分量只是坐标r的函数.由式(2)一(5)容易求得塑性区的应力分量为=一CCi()一1r=一gII_一If:一c()-1cctg11:一l(+)I.J.)frP:0/(4)可见在理性区内求解应(5)(6)第4期魏广两向不等压作用下圆形巷道弹塑性分析摄动解其中=2sinCV(1一sln)为了区别于弹性区应力的表达方式,在塑性区
6、直力分量的上方加记号().(=)弹性匹应力厦弹塑性交界钱的摄动解1.弹性区问题的提法用应力函数(r,日)表示的基本方程为(+)=o11ararr2一0ar.一:一()一一_ar,无穷远处应力边界条件见式(1).弹塑性交界线厂处的应力连续条件为,:I,:,13(7)(8)(9)其中n,分别表示弹塑性交界线厂的法线和切线.由所考虑的理想弹塑性材料殛式(9)可知lr:!r(10)再由应力变涣公式及式(9),(10)可给出用坐标应力分量表示的弹塑性交界线厂处的应力连续条件为l:1,I,:嚣另外,为了确定弹塑性交界线厂,我们还必须给出在厂处(r=rr)弹性应力分量也直满足库它伺服条件的表达式,即(一日)
7、-I-4fr日.+(r4-日)5in庐=2CC0s(18)用摄动法求解.设问题的解答形式为,:(;,+.,+.-.r=r十r十8r十:I-I-l=le0+0l2fr8fr0+e2fr04-:(r)+e(r,)+=;(r,日)+.r=Ri-月l()4-eRt(日)+(13)14岩土工程式(13)中最后一式为弹塑性交界线的摄动表述式.式中的月为s=(圆)半径,B,月为待定函数(在求解过程中定出).将式(13)代入式(8)(1)(11)及(12),对比e备次幂的系数,边各有关多项式舍取项数的具体情况分别表述如下.(1)e.阶问题基本方程0时对应的弹塑性交界线可将闻题按式(13)各式右(嘉+).,:,
8、0定解条件(毒0)+(+)sin,.R:.s(2)8阶问题基本方程的形式与式(8)完全相同,只是在各变量上方标出1.定解条件当r=R1+B月l(),有O】I)r+er(15)1】1扣(1+cos20),童qsin2口(16)在上式中保留B.改项,是由于弹塑性交界线的s阶修正使得逸些项对e次项有影响(3)e阶问题基本方程的形式与式(8)相同,只是备变量上方标出2定解条件口rIr=0,fra=0当r=RD+eRl()+8R.(口)有梅R_rll=*R_rrrr00SOCC2=nSr+一8+nO+rO0II.:一0第4期魏说广:两向不等压作用下圆形巷道弹塑性分析摄动解l50I)r+Sr+S2rr】2
9、sfr+sfr5=fr6O(,一)+(,+o.e)sin4+s(,一)+(,+)sin4,1I(,一口)+(,+I+sI(r一d)+(,+口)I+sI(o-r一)+(r+aDsin+2f:,_/(ix,一)J=2ccos(4)阶问题s.阶等情况的问题,亦可仿照上述程序提出.2.问题的解答(1)求解s.阶问题s=0对应等压轴对称问题,容易求得其应力解答为,=一(AR一z)=一(+警)月:r.(+1tgq)(n)l式中A=sin+詈c.的表达由式(7)描述.(2)8阶问题的解答将式(17)等号两边在r=月处展成泰勒级数,令e次项的系缸相等,则月()善(II.,fr4IrP=0I脚)=一r一(,+n
10、/舌.【cn)r.R一将已求得的解答代人上式并化简,可得,Im.1rfl:.!,:c0,咖r_Rj(19)(20)(21)(22)(23)l6岩士工程学攫lg9O观察式(16)及式(23)的前两式,可设=,:(r)+,(r)c.s2日,代入式(8)的第一式,一得到求解,(r)及,=(r)的两个常微分方程,解方程求得,及,后得到,再代人式(8)的后三I式并由边界条件式(16)及式(23)的前两式,可得r一;(一)一(一警+).嗍=一(+笋)+善(+等)c.I:;(+警一)snz冉将上式代入式(23)的求一式可求得l(日)=o(12eos20)其中=詈(1一sin)/(gsjn+CC05)(3)阶
11、问题的解答分别将式(19)两边在r=月处展成泰勒级数,令e次项的系数相等,可得.:z告(一吕,)+吾等(一)一卵trIR2lr.=一RR一cr+inr-R=一RR.嘉一+cs卜:雾一(;,+毒)sin+RR斋(,一(,+z(吕,一将已求得的解答代入上式并化简,则有,l:肋(;一2c.s2日+c0s硼)f2日i,.R:一4g#(sia28一sin4日)1一tTa)+(,+(24)(25)(26)(27)(28)第4期巍悦广:两向不等压作用下圆形巷道弹塑性分析摄动解17一譬f+sinb)3+sinch)c.s2012(一sin)L+2(5_sjn.s40观察式(8)及式(28)的前两式,可设应力函
12、数的形式为:日l(r)+口.(r)c.s20+ga(r)c.s4口将其先代入式(8)中第一式可求出g,g.,然后代入第二至第四式并利用边界条件式(18)厦式(28)前两式,求出8阶的应力分量为,=肋等一.岛qcos20(一等+3R4)一岛ax(一10RB)c.s=一缸誊州肋R4cosz.(.罟)a(29)2.(等一s)s岛a(.一s手)i再将上式代入式(28)第三式得日)=一2I(5+sjn)+4(1-3Sin扯.s2日3-5sin)c.s4(30)至此,已经得到圆形巷遒在远离巷道周界受两向不等压作用时,弹塑性问翘i包括应力及弹塑性交界线的=阶摄动解答.8o阶的弹塑性交界线r为rI=R考虑e阶
13、小量修正的弹塑性交界线厂为f=RI+I(口)(32)考虑到s阶小量修正的弹塑性交界线厂为r=R1+eRI(日)+月2(日)(33)式中月,月(日)及R(口)分别由式(20)第三式,式(25)及式(30)确定.算甜1由两种计算方案计算出弹塑性交界线.由子弹塑性交界线关于,轴对称,只取四分之一区域进行计算.一些特殊点的位置坐标如表1所示,箍出两种方案,弹照性交界线图形如图3所示.岩土工程l1弹量性交界螋位置(rf)数据寰计算条件f0一1530一56075901.42811.428l1.42811.42811.42811.42811.46181.4951.52011.52921.42:l1.4e66
14、1.48991.51481.5240方案2.O1.84031.84031.84031.84031.84031.84031.8403厂=3o.c2.45MPa1.76191.78291.84031.91871.99722.05462.0756g=24.5MPa厂E=0.2l1.75351.7201.82361.89701.97382.03212.05390=lm厂往:衰中,c取值与文献:1算铡的取值耜同,rr/mW.图3摄动解的弹塑性交界线算啻l2对于两向不等压作用下含圆孔无限大平面,在Tresca屈服条件及Mises屈眼条件下弹塑性交界线为一椭圆(此时两个屈服条件具有完垒相同的形式).Tres
15、ca屈服条件没有考虑应力第一不变量对屈服的影响.而库仑屈服条件则考虑了这一效应,从本文的结果可看出,库仑屈服条件下弹塑性交界线也类似于椭圆.下面以文献5中给出的三组口/值为例(口=,=(,/a)一1),讨论上述两个屈服条件下弹塑性交界线形状的差异(口/在库仑屈服条件时对应q/2c)o对比两种情况下椭圆的长短轴比值:a/b,见表2.通过上述两个屈服条件下的计算数据比较可知,由于库仑屈服条件考虑了第一应力不变量对屈服的形响,使得弹塑性交界线的形状为接近予圆形的椭圆.岩石的内摩擦角禽大,共第d期魏_兑广:两向不等压作用下圆形巷道弹塑性分析摄动解弹塑性交界线与圆愈接近.衰2两种准一下艟曩I蓐鼻曩性交界
16、线长短轴比(a=詈)对厢衰屈服准则去_1.4旨_1.3去=1.2(.)=0.0714e=0.1538e=0.280001.22231.50001.8571151.05981.18981.3l15201.07071.15021.2404251.05891.1l8l1.1879301.0d431.09831.1478库仑351.08871.07371.1104401.O2771.05801.0868451.02161.O462501.0106三,结语本文在库仑屈服条件下,用摄动法处理了两向不等压作用下圆形巷道的弹塑性问题.通过本文方法的结果与以往近似法的结果比较,大体有以下结论.1.本文是以弹塑性
17、问题的基本方程,边界条件殛弹塑性交界处的应力连续条件为基本出发点的,采用摄动法逐阶给出摄动解答.这样则可将误差限制到一个极小量级之内.而以往的近似法则是凭借弹性解的结论,预先假设弹塑性问题弹性区的应力分布符合Kitsch解的形式,弹塑性交界线的计算也是在此基础上进行的,这样做究竟会引起多大的误差是不清楚的.2.由摄动理论可知,摄动船答为一渐近展开武,往往只需取其前面几项(一般取劐阶项,其绝对误差与es阶项同量级)就能得到令人相当满意的结果.因为摄动渐近展开式的系数值一般随着项数的增加而递减得相当快,所以即使渐近级数不收敛,取摄动解的前几项也是有效的.在0<e<1的情况下,渐近级数是
18、收敛的,摄动解答的有效性尤其突出.有时甚至在e>l的情况下摄动解法也是有效的.笔者给出在Tresca屈服条件下,用摄动法处理圆洞受两向不等压作用的弹塑性问题,所得二阶摄动结果与精确解相比误差极小.当摄动参数高达0.5348时,=阶摄动船的误差也不超过2?5.本文的结果指出,两向不等压作用下圆形巷遘围岩弹塑性问题弹性区的应力分布不符合Kirsch解的形式,以往的近似法误差是很大的.笔者在此对我院陈子荫教授的支持和帮助表示衷心感谢I岩土工程1890晕参考文献1H.卡斯特紊,隧道与坑道静力学,上海科学技术出版社,198O,P.120.2子学馥等,地下工程围岩稳定分析,第八章,煤炭工业出版社,1
19、983.9严克强,不对称荷载作用下圜洞围岩塑住黑的估算方法,岩圭工程,voI.4,No.2.1982,P.5d.4郑颖人,圜彤洞室围岩塑性区应力和边界线的近似计苒,地下工程,No.9,1980,PP.卜75raE,.A.,nmoc髓ynpyroacT:IecEaHaaa,npHKaEaaTeaT;iaEMe=a-gKa,T0MX,1946,P.63.6Nuyfeh,A.H.PertarbatloaMfho出,Wiley,NewYork,1973.7Chlen,W.Z.,ChineseJ.Physics,Vo1.7,No.21947,P.102.B魏悦广,Tresea准则下圈洞受两向不等压作用的
20、摄动解,晓用数学和力学,待发表.Perb?rat!onSolutionsforElastopasticAnalysisofCircularTunnelunderUnequalCompressioninTwoDirectionsWeiYueguang(ShandongInstituteDfMinnlngsadTechnology)AbstractInthispaper,wehavedlscnsaedtheelatoplatleproblemoftheelreuIarttmnelunderunequalcompressionintwodirections.Itisassumedthatthemat
21、erialsmaybeideal/nedU9elastoperfectlyplatlcandthemediantheneighborhoodoftheholehavebeenalreadyintheplasticstate.UsingtheCoulombYieldingCriterionandcons/一derlngthesecondorderinfinitesimal,thestres*distributionandelastoplasticinterfaceUfCgiven.Unllketheresultsgivenbypreviousapproximatemethods,thefe?P.archreaultinthispaperindleutethattheelastoplasticinterfaceissimilartoetllpdbecomecircalur1rhentheangleofinternal(rlctionincreases.
