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1、中外著名大学经典力学教材中有关“正则变换”论述的区别与思考张立彬1，张毅1，王娟萍1，沈科济2（1. 南开大学外国教材中心，天津，300071；2.南开大学物理科学学院，天津，300071）内容摘要：20世纪物理学飞速发展，人们从“经典”物理步入近代物理，但经典力学的地位却丝毫没有减弱.本文对四本国内外著名经典力学教材进行了介绍，对正则变换与哈密顿-雅可比方程这一方法进行了突出讲解和展开分析，讨论了不同教材的讲解思路和教学讨论深广度的区别及特色，从而明确了国内外教材某些知识点的优势和侧重点.关键词：国内外经典教材；经典力学；正则变换；哈密顿-雅可比方程20世纪物理学飞速发展，人们从“经典”物理
2、步入近代物理，但是经典力学（理论力学）在整个物理学中的地位却丝毫没有减少。在国内外，经典力学仍然是本科生至关重要的学科，国内许多学校都将经典力学作为学生的学位课，其要求都要高于其他学科。经典力学课程需要学生具备一定的数学分析、微分方程、线性代数等数学基础，这样才能够理解教材中建立在缜密物理逻辑基础上的精确数学描写。1尽管经典理论在近代物理中，退出了主导地位，但是作为一门工具学科，它的重要性不言而喻。哈密顿-雅可比方程是经典力学的一种表述。哈密顿-雅可比方程、牛顿力学、拉格朗日力学、哈密顿力学，这几个表述是互相全等的。而哈密顿-雅可比方程在辨明保守的物理量方面，特别有用处。有时候，虽然物理问题的
3、本身无法完全解析，哈密顿-雅可比方程仍旧能够正确的辨明保守的物理量。哈密顿-雅可比方程是经典哈密顿量一个正则变换，经过该变换得到的结果是一个一阶非线性偏微分方程，其解答描述了系统的行为。与哈密顿运动方程的不同之处在于哈密顿-雅可比方程是一个偏微分方程，每个变量对应于一个坐标，而哈密顿方程是一个一阶线性方程组，每两个方程对应于一个坐标，哈密顿-雅可比方程可以漂亮地解析一些重要问题，例如开普勒问题。在近代物理中，许多物理学家用哈密顿-雅可比方程来分析一些问题。2哈密顿-雅可比方程是唯一能够将粒子运动表达为波动的一种力学表述。因此，哈密顿-雅可比方程满足了一个长久以来理论物理的研究目标：寻找波的传播
4、与粒子运动的相似之处。经典力学系统的波动方程与量子力学中的薛定谔方程很相似。哈密顿-雅可比方程被认为是从经典力学进入量子力学最近的门洞。3收稿日期： 修回日期：基金项目：教育部2012年研究项目比较中外著名大学“四大力学”本科课程与主流教材，探索物理学国际化创新人才培养模式（2012-28）资助.作者简介：张立彬（1964），男，河北石家庄人，教育部南开大学外国教材中心副教授，主要从事中外高等教育教材评介与比较研究工作.1 国内外各教材关于“正则变换”知识点的讲解思路在哈密顿力学中，广义坐标和广义动量处于同等地位，因而不必限于点变换，完全可以考虑更广义的变换：我们要求变换后的动力学方程仍然是哈
5、密顿正则方程，满足这一要求的变换叫做正则变换。哈密顿-雅可比方程是一阶偏微分方程，其形式为其中H是哈密顿量，S称为哈密顿主函数，,是广义坐标，是积分常数，t为时间。若能找到哈密顿函数S的形式，就可以计算出广义坐标与广义动量随时间的演变。这样，我们就可以完全的解析物理系统随时间的演化。1.1朗道：力学第五版该书对该内容的讨论主要在“第七章 正则方程”，主要包含以下章节：40 哈密顿方程， 41 罗斯函数， 42 泊松括号， 43 作为坐标函数的作用量，44 莫培督原理，45 正则变换， 46 刘维尔定理， 47 哈密顿一雅可比方程， 48 分离变量， 49 绝热不变量，50 正则变量， 51 绝
6、热不变量守恒精确性， 52 条件周期运动4。作者首先在第43节中引入了作用量作为坐标和时间函数的概念，并证明，这个函数S（q，t）对时间的偏导数与哈密顿函数的关系式为：.而对坐标的偏导数就是广义动量。在哈密顿函数中将相应广义动量用代替，于是便得出了哈密顿-雅可比方程。然后该书主要讲解了哈密顿-雅可比方程的全积分，因为在力学应用中起主要作用的哈密顿-雅可比方程不是一般积分，而是全积分。然后研究哈密顿-雅可比方程的全积分与运动方程的关系，求出运动方程的通解，从而总结出利用哈密顿-雅可比函数求解力学系统运动问题的方法。并且，对于求解哈密顿-雅可比方程全积分的重要方法（分离变量法）做出了大篇幅的教学，
7、主要包括在各个坐标系下的分离变量。1.2俄罗斯 A.马尔契夫：理论力学第三版该书对此内容的讨论主要在“第十一章”，主要包含以下章节：1雅可比乘子， 2含循环坐标的系统， 3泊松括号与第一积分 ，4正则变换，5 运动方程积分的雅可比方程， 6作用-角变量 ，7摄动理论中的正则变换5。 该书是俄罗斯的经典数学教材，作者首先利用正则变换提供了积分正则方程的雅可比方法，从而导出哈密顿-雅可比方程，然后通过雅可比方程为基础研究提供了求解动力学方程的方法，由于不存在寻找哈密顿-雅可比方程全积分的一般方法，所以该书给出一些寻找全积分的特殊方法：（1）含循环坐标系统的哈密顿-雅可比方程，（2）保守系统和广义保
8、守系统的哈密顿-雅可比方程，（3）哈密顿特征函数，（4）分离变量。最后给出了哈密顿系统完全可积的刘维尔定理。1.3梁昆淼：力学（理论力学）第四版该书关于哈密顿理论的章节目录：“第九章 正则变换；哈密顿-雅克比方程”主要内容有：（1）正则变换的条件；（2）母函数；（3）正则变换举例；（4）泊松括号的不变性；（5）无限小正则变换；（6）哈密顿雅克比方程：哈密顿主函数，哈密顿特征函数，例题6。该书作者将正则变换分出一章，可见对其的重视程度。首先提出了正则变换，并且举出了例子来告诉读者什么样的变换是正则变换，然后引出了母函数的概念，并且对母函数做出了相当多的讨论，并给出了不少例题，这是其他教材所没有的
9、，然后通过寻找将力学系统所有正则变数变为常数的正则变换，来引出哈密顿-雅可比方程，将哈密顿正则方程的求解问题归结为哈密顿-雅可比方程的求解。然后该书将哈密顿-雅可比方程解算动力学问题的步骤分条写出：（1）将哈密顿函数H（p, q, t）中的用代替，写出哈密顿-雅可比方程。（2）解出哈密顿主函数（3）将积分常数当做变换后的“动量”，并用S作为正则变换母函数，变换后的正则变换全是常数。（4）求出变换公式，按变换公式回到原来的正则方程变数就解决了问题。作者将步骤按条写出，思路清晰，使读者易于理解，可读性强。该书具有典型的中文教材的风格，在整章开头，作者通过比较哈密顿方程与拉格朗日方程，指出了哈密顿方
10、程较拉格朗日方程更高的理论价值，并由此引出正则变换，让读者明确理论价值，使读者更加容易接受。在正则变换之哈密顿-雅可比方程的讲解中，作者对每一步公式的推理，以及物理意义的阐述都非常的详细。书中精心挑选的例题有助于帮助读者深入理解，而且作者在书中将重点逐条列出，条理清晰，非常适合初学者学习。1.4 金尚年：理论力学第二版该书对此内容的讨论主要在“第八章 经典力学的哈密顿理论”。内容包括：8.1正则共轭坐标，8.2哈密顿函数和正则方程，8.3变分问题的欧拉方程，8.4哈密顿原理，8.5正则变换，8.6泊松括号，8.7哈密顿-雅可比方程，8.8用哈密顿理论解开普勒问题7。该书作者将正则方程和雅可比方
11、程作为两节讨论，内容量相对于梁昆淼版本书目相对较少，书中同样利用正则变换，使哈密顿函数结构简化，使H=0之后导出哈密顿-雅可比方程。但是该书的推导比较详尽，使读者易于理解。然后作者又对哈密顿主函数S的物理意义进行了讨论，将主函数S与拉氏量L联系在一起。最后，通过讨论哈密顿函数H为常数E时的哈密顿-雅可比方程的解（即能量守恒或广义能量守恒问题，以及纯力学的问题），得到偏微分方程的解，则体系的运动轨道和正则坐标，正则动量的完全积分就全部解决了。2 教学讨论的区别及特色总体上看，国内的教材编写得中规中矩、各有侧重，而国外教材风格的个性化则更加明显。国内教材喜爱以数学推导为线索将一些知识点引出，编者多
12、长年从事基础研究，对于读者所具备的功底要求较高。国外教材的编写在上述基础上或多或少加入了编者自身的喜好并结合了自身科研经历的体悟，内容上更平易近人，不同的教材思路迥异。编者有时会站在自身研究领域的角度对某些内容作深入浅出的解析，同时在避免繁琐推导，增强读者兴趣方面，比国内教材做得更好一些。开始部分偏重概念的解读，读者透彻理解以后才进入数学推导世界。2.1朗道：力学第五版和其他中文教材不一样，朗道的力学完全是从物理含义中推出了数学表达式，让物理完全驾驭在数学之上，所涉及的知识都是从最最基本的概念出发。该书的特点就是简明，重点突出，但是难度稍大。简明的代价就是叙述较为简略，解释也比较简略，他的例题
13、的计算均只有主要步骤而省略了计算过程，一些重要定理也多是只给出证明的主要思路或者简单情况下的证明，这就要求读者在阅读的时候需要自己把它们都补充完整，多少增加了本书的阅读障碍。在整个哈密顿-雅可比方程一节中可以看出，能找到的方程寥寥无几，主要专注物理问题的描述，对初学者的难度比较大，在读者学习该版教材的时候，最好和其他教材进行参考比较，相辅相成。2.2俄罗斯 A.马尔契夫：理论力学第三版此教材体系严密，论证严谨，特点是知识量大，讲解详细。该书涵盖了国内理论力学和高等力学的知识，甚至时有内容超出。具体内容有质点和质点系的运动学；动力学，包括微分变分原理，静力学，质量几何以及刚体动力学，天体力学，变
14、质量系统动力学，分析动力学微分方程，动力学方程积分，撞击运动理论，积分变分原理，保守系统在平衡位置附近的微振动，及运动稳定性。该书的突出特点是叙述简约，包含内容丰富，逻辑严谨流畅，完全按照学科内在逻辑展开，特别是在有些重要的专题内容给出相关文献供读者思考。不足之处是该书例题不多，除个别思考题外几乎没有习题，对与现实世界的联系也略显不足。该书的风格更像一部数学专著，简洁清晰严谨地陈述理论力学的定义，公理，定量和推论。2.2梁昆淼：力学（理论力学）第四版从内容上说，本书的物理特征明显，不像有些教材看起来更像数学读本。同时，按照国内的分类方法，本书适合理科学生阅读，内容深入，但是可读性差强人意。本书
15、的另一特点是在数学推导的同时更加关注对定理、定律以及公式的物理的、直观的理解，使读者更加易懂。比如拉格朗日动力学中关于广义坐标和广义速度什么时候应视作独立的，什么时候又是关联的；哈密顿力学一章中关于相空间中广义动量和广义坐标的独立性的解释等等。所以比较适合作为理科学生理论力学的入门教材。2.3金尚年：理论力学第二版金尚年的理论力学第二版，在第八章的部分介绍了哈密顿理论。这之前已经介绍过拉格朗日理论，读者对于广义坐标有了一定的了解，更容易接受哈密顿理论中正则共轭坐标的概念。作者在介绍哈密论理论之前分析了在牛顿力学，拉格朗日力学等范畴中坐标的选取方式对动力学问题的简化的重要性，而坐标概念的推广也意
16、味着理论力学的发展。不同于拉格朗日力学以广义坐标以及广义速度为系统自由度，哈密顿理论以广义坐标和广义动量作为系统自由度。之后作者从拉格朗日函数以及拉格朗日方程推得哈密顿函数和哈密顿正则运动方程。指出两者在解决动力学问题时的等价性。而在变分问题中，通过最速落径问题作为例子，引出了哈密顿最小作用量原理，并给出哈密顿作用量的形式，并由哈密顿最小作用量原理推出哈密顿正则方程。指出哈密顿原理本身就是动力学规律的一种表示形式，可以作为动力学中的第一性原理。可是有了哈密顿原理，如果选择与拉格朗日理论一致的正则坐标，得到的动力学方程将是一样的，这样就没有在实质上简化解动力学方程的解。在提出这样的问题后，作为铺
17、垫，作者先介绍了哈密顿理论中的正则坐标变换理论。由拉格朗日方程的坐标变换说起，提出满足正则方程的变换所需的条件。正则变换的意义在于简化新的哈密顿量，使广义坐标尽可能的变为循环坐标，从而使正则方程求解大大化简。接着就是正则变换在实际问题中的应用，也就是哈密顿雅可比方程形式。通过正则变换可将新的哈密顿量变为零，对应的正则变量为常数的简单形式，而原来的正则方程的解就可以表示为这些常数参数的函数。这里作者先给出了这一可行的简单方案，接着提出问题：这种正则变换是否存在？通过选取第二类母函数作为特例，经过简单的参数变换，得到了哈密顿-雅可比方程。从而将正则方程的求解转化为满足该方程的母函数或者哈密顿主函数
18、的求解问题。作为特殊情况，作者考虑了哈密顿为常数时哈密顿-雅可比方程的求解，得到一个简单的一阶偏微分方程并给出了它的解。进而通过该解得到粒子的运动轨道和坐标、动量的时间变化率。在接下来的章节中，通过开普勒问题的求解作为例题，展示了利用哈密顿-雅可比方程的求解步骤。作者在该部分讲解中使用提出问题，解决问题，先给出目的，再去找方法的顺序。这种结构的安排使读者十分清楚每一步的讲解意图，有利于产生一个系统的理论框架，对知识的理解更深刻。另外书中用到了许多的数学公式，每一步的推导都很严谨，使读者知道每个方程的渊源，但另一方面过多的数学推导多少会令读者产生烦躁感，显得晦涩。此外虽然书中有少量的例题作为参考
19、，不过数量略显不足，不能很好地使读者学会解决动力学问题的步骤及过程。3 启示与思考理论力学既是四大力学的课程之一，也是本科阶段最重要的课程。尽管经典物理已经被近代物理所代替，但是，作为一门基础学科，同时作为一门工具学科，它在量子力学、量子场论、广义相对论等学科中有广泛的应用价值。其目的旨在使学生学习到建立在严密的逻辑基础上的经典力学，使用更严谨的数学分析观点来理解物理世界，是许多基础和应用学科科研领域的工作者不可或缺的知识，拥有坚实的理论力学基础尤为重要。当然，在本科的学习，仅凭有限的课上时间是远远不够的，更多的还需要课余时间的自学，这样书本教材便充当了最好的老师。好的教材与参考书就是学生攻克
20、难关，掌握知识的利器，所以教材的编写与参考书的选取直接影响了人才培养的质量。从国内外的教材来看，核心内容都是用拉格朗日力学和哈密顿力学体系替代牛顿力学体系进行教学。国外优秀教材的例题以及题目都经过精挑细选，比较新颖，实用，许多课后题是对教材的拓展，延伸，甚至一些国外教材的习题，是整本书最精华的部分，而国内的教材课后习题部分相对来说比较传统，主要是对上课知识的巩固和理解，让学生能够更好的进行后续的学习。而且相对于国内教材，国外教材的篇幅远远大于国内教材，比如说同为本科四大力学的电动力学，普林斯顿大学使用的杰克逊的经典电动力学与中国大部分学校使用的郭硕鸿的电动力学相比，前者篇幅是后者的4到5倍。可
21、见，国外学生的接受的知识量远远大于国内学生。综上所述，国内教材与国外教材相比，仍有许多不足之处，特别是与实际的联系，以及科学，技术，社会间的相互作用。在教材中，许多课外拓展可以用课后题的形式出现，既拓展了学生的视野，又不影响教学进度，让学生在课后按自己兴趣学习了解。当然，在教学的编写中，同时也要注意培养学生的兴趣，让学生乐在其中，增加学生对该学科学习的主动性，而不是烦躁，消极的负面影响。参考文献：1 H. Ibrahim, “Existence and uniqueness for a nonlinear parabolic/Hamilton-Jacobi coupled system des
22、cribing the dynamics of dislocation densities”. e-Print: arXiv: math/0703783(2011).2 Jie Ren,Xin-He Meng,Liu Zhao, “Hamiltonian formalism in Friedmann cosmology and its quantization”. Phys.Rev.D76:043521,2007 (2007).3 Vassili Kolokoltsov，Wei Yang.“Sensitivity analysis for HJB equations with an application to a coupled backward-forward system”. e-Print: arXiv: math/0703783(2011).4 朗道.理论物理教程第一卷（力学）, 第五版, 高等教育出版社,2007.5 A. 马尔契夫,理论力学,第三版. 高等教育出版社,2006.6 梁昆淼.力学（理论力学）第四版.高等教育出版社2009.7 金尚年.“理论力学”. 第二版. 高等教育出版社, 2003.
