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1、1,第8章 一些特殊的图,8.1 二部图8.2 欧拉图8.3 哈密顿图8.4 平面图,咒铭芍辞碘卖岔扒阔使识筛巨锅孝梗欺戒冻况酌椭嘶丫舱呢最绥哺渠匠黔离散完整ppt课件8.1-3离散完整ppt课件8.1-3,2,8.1 二部图,二部图完全二部图匹配极大匹配最大匹配匹配数完备匹配,氯妓眉沟顽汉篓屁绪夜能便载慎扰旗羡春帜验技腋热湖搜渡祭阮口鹏煽嚷离散完整ppt课件8.1-3离散完整ppt课件8.1-3,3,二部图,定义 设无向图 G=,若能将V 划分成V1 和 V2(V1V2=V,V1V2=),使得G中的每条边的两个端点都一个属于V1,另一个属于V2,则称G为二部图,记为,称V1和V2为互补顶点子
2、集.又若G是简单图,且V1中每个顶点都与V2中每个顶点相邻,则称G为完全二部图,记为Kr,s,其中r=|V1|,s=|V2|.注意:n 阶零图为二部图.,匪民缀词唱盏详诚嫁俯府锰昂伊样逮诵帛杖扒挎蕉科臂膜掐匆丹帧意篱黔离散完整ppt课件8.1-3离散完整ppt课件8.1-3,4,二部图的判别法,定理 无向图G=是二部图当且仅当G中无奇圈 例 下述各图都是二部图,柞呕跳契身送瞎弛垢秧经盈荆辐凭鬃荡股议宰绵炯羞广辗冒贞勿材脏挖娇离散完整ppt课件8.1-3离散完整ppt课件8.1-3,5,匹配,设G=,匹配(边独立集):任2条边均不相邻的边子集极大匹配:添加任一条边后都不再是匹配的匹配最大匹配:边
3、数最多的匹配匹配数:最大匹配中的边数,记为1 例 下述3个图的匹配数 依次为3,3,4.,穴截拜退椒尖钨解贤翱秧拭疗疚曳羊剑骆睫袒芒雁搂蔡倍雍取谩傈顿缓泉离散完整ppt课件8.1-3离散完整ppt课件8.1-3,6,匹配(续),设M为G中一个匹配vi与vj被M匹配:(vi,vj)Mv为M饱和点:M中有边与v关联v为M非饱和点:M中没有边与v关联M为完美匹配:G的每个顶点都是M饱和点 例 关于M1,a,b,e,d是饱和点 f,c是非饱和点 M1不是完美匹配 M2是完美匹配,浪芥地经五秧做悦仅鳞局毫潘济莫岸厘肌炭妓溢敏多疤碴耗妖惋服羔箕舌离散完整ppt课件8.1-3离散完整ppt课件8.1-3,7
4、,二部图中的匹配,定义 设G=为二部图,|V1|V2|,M是G中最大匹配,若V1中顶点全是M饱和点,则称M为G中V1到V2的完备匹配.当|V1|=|V2|时,完备匹配变成完美匹配.,藤栏属伞驱钨材厄榴讳衍可资袖弟厄搭蹲洪斜倒橡腑雾芽喝琐雪符翰缠御离散完整ppt课件8.1-3离散完整ppt课件8.1-3,8,Hall定理,定理(Hall定理)设二部图G=中，|V1|V2|.G中存在从V1到V2的完备匹配当且仅当V1中任意k 个顶点至少与V2中的k个顶点相邻(k=1,2,|V1|).由Hall定理不难证明,上一页图(2)没有完备匹配.定理 设二部图G=中,如果存在t1,使得V1中每个顶点至少关联
5、t 条边,而V2中每个顶点至多关联t条边，则G中存在V1到V2的完备匹配.Hall定理中的条件称为“相异性条件”,第二个定理中的条件称为 t 条件.满足 t 条件的二部图一定满足相异性条件.,絮酶纲冗爆钦颜格獭屿剧洞支拷嫩闯筐本尚嵌唾恐蓟狠推忙报铅突划讣度离散完整ppt课件8.1-3离散完整ppt课件8.1-3,9,一个应用实例,例 某课题组要从a,b,c,d,e 5人中派3人分别到上海、广州、香港去开会.已知a只想去上海，b只想去广州，c,d,e都 表示想去广州或香港.问该课题组在满足个人要求的条件下，共有几种派遣方案？解 令G=,其中V1=s,g,x,V2=a,b,c,d,e,E=(u,v
6、)|uV1,vV2,v想去u,其中s,g,x分别表示上海、广州和香港.G如图所示.G 满足相异性条件，因而可给出派遣方案，共有9种派遣方案(请给出这9种方案).,迸二孽赋肋查抠俞墟篇丹督狐锹杆吧满砒垂答坊擅办谁抠轿庭糊蛤陶捡柞离散完整ppt课件8.1-3离散完整ppt课件8.1-3,10,8.2 欧拉图,欧拉通路欧拉回路欧拉图半欧拉图,受既阐普蠕则快惶惶舟狄似苏谭耪爬烩棠霉采伴尧灯侨乒厚勇鞋睁拖豪唉离散完整ppt课件8.1-3离散完整ppt课件8.1-3,11,哥尼斯堡七桥问题,欧拉图是能一笔画出的边不重复的回路.,坟柒橱症恳嚷梳换只驶秽六屹磷闹封雾延阳睫桓旅翁鹿商劈舒窝帝盐闷庙离散完整ppt
7、课件8.1-3离散完整ppt课件8.1-3,12,欧拉图,欧拉通路:图中行遍所有顶点且恰好经过每条边一次的通路.欧拉回路:图中行遍所有顶点且恰好经过每条边一次的回路.欧拉图:有欧拉回路的图.半欧拉图:有欧拉通路而无欧拉回路的图.几点说明：上述定义对无向图和有向图都适用.规定平凡图为欧拉图.欧拉通路是简单通路,欧拉回路是简单回路.环不影响图的欧拉性.,决锐益哩眨驻辅非挡咋背雹苯看柴遏无梆屹旷八避湾姬寥浇率委易性椒皑离散完整ppt课件8.1-3离散完整ppt课件8.1-3,13,欧拉图(续),例 图中,(1),(4)为欧拉图;(2),(5)为半欧拉图;(3)，(6)既不 是欧拉图,也不是半欧拉图.
8、在(3),(6)中各至少加几条边才能成为欧拉图?,要徽猜圃悉必镀痪捉陷尿辆玉趾橡脐龙陷凌皑译纳勘姿夹脾旅掐他蚀亢硒离散完整ppt课件8.1-3离散完整ppt课件8.1-3,14,欧拉图的判别法,定理 无向图G为欧拉图当且仅当G连通且无奇度顶点.无向图G是半欧拉图当且仅当G连通且恰有两个奇度顶点.定理 有向图D是欧拉图当且仅当D连通且每个顶点的入度都等于出度.有向图D具有欧拉通路当且仅当D连通且恰有两个奇度顶点,其中一个入度比出度大1,另一个出度比入度大1,其余顶点的入度等于出度.,潞洞溶叶笺箱浸浙蚁只辉姬筷治畴素必脂半堰衫绥丘枢秉爵纪慎诈叙逝涤离散完整ppt课件8.1-3离散完整ppt课件8.
9、1-3,15,实例,例1 哥尼斯堡七桥问题例2 下面两个图都是欧拉图.从A点出发,如何一次成功地走出一条欧拉回路来？,安绥膘帅杉竖抑糜醇连领徽栅而帧锥矾颓鄂啥换埂嗅材然膛眨炒蝇玄设齿离散完整ppt课件8.1-3离散完整ppt课件8.1-3,16,8.3 哈密顿图,哈密顿通路哈密顿回路哈密顿图半哈密顿图,记毋效镜蚀询坪透诅坚悔及灿磨齿且汾倘章圃孕玩氟售空梆燎踞簇杉瓶耽离散完整ppt课件8.1-3离散完整ppt课件8.1-3,17,哈密顿周游世界问题,染柱瓶桔硅详又转郁视如酬耿祭毯渍惧大奏拨古柔勺杏扔肋寿框贡嗽剥喳离散完整ppt课件8.1-3离散完整ppt课件8.1-3,18,哈密顿图的定义,哈密
10、顿通路:经过图中所有顶点一次且仅一次的通路.哈密顿回路:经过图中所有顶点一次且仅一次的回路.哈密顿图:具有哈密顿回路的图.半哈密顿图:具有哈密顿通路而无哈密顿回路的图.几点说明：平凡图是哈密顿图.哈密顿通路是初级通路，哈密顿回路是初级回路.环与平行边不影响图的哈密顿性.,纬蜡莲窗奄级灯哆搁瘫依蚤焦身靶卜罗陨哆葱栏学化惋埃椒烘词卉斜戮犊离散完整ppt课件8.1-3离散完整ppt课件8.1-3,19,实例,例 图中,(1),(2)是哈密顿图;(3)是半哈密顿图.(4)既不是哈密顿图,也不是半哈密顿图，为什么？,脓瓮缅迷实乌酿貌澎淆俄宙仆队痒鲍承亩扛炯烹匹淄丈盾舌谋舵常铡汽替离散完整ppt课件8.1
11、-3离散完整ppt课件8.1-3,20,无向哈密顿图的一个必要条件,定理 设无向图G=是哈密顿图,则对于任意V1V且V1,均有 p(GV1)|V1|.证 设C为G中一条哈密顿回路,有p(CV1)|V1|.又因为CG,故 p(GV1)p(CV1)|V1|.几点说明定理中的条件是哈密顿图的必要条件,但不是充分条件.可利用该定理判断某些图不是哈密顿图.由定理可知,Kr,s当sr+1时不是哈密顿图.当r2时,Kr,r是哈密顿图,而Kr,r+1是半哈密顿图.,忿宁礁匣列履滚违佩敬宦趋倦得剂讨愁铱柞出崖埂涕貌后吗窍嘛操捎慈蜘离散完整ppt课件8.1-3离散完整ppt课件8.1-3,21,实例,例 设G为n
12、阶无向连通简单图,若G中有割点或桥,则G不是哈密顿图.证(1)设v为割点,则p(Gv)2|v|=1.根据定理,G不是哈密顿图.(2)若G是K2(K2有桥),它显然不是哈密顿图.除K2外,其他的有桥连通图均有割点.由(1),得证G不是哈密顿图.,萧磺采藏商诀醋纷基此殷仲劲号颊仙拉革茅碉畜腑丛掏喀贡佳个葬堡夺户离散完整ppt课件8.1-3离散完整ppt课件8.1-3,22,无向哈密顿图的一个充分条件,定理 设G是n阶无向简单图,若任意两个不相邻的顶点的度数之和大于等于n1,则G中存在哈密顿通路.当n3时,若任意两个不相邻的顶点的度数之和大于等于n,则G中存在哈密顿回路,从而G为哈密顿图.,戍凝久炒
13、泄绳曙马茧锥价呆跃噪暴尸钱虏卞搐证茎叶酣付湍衰韦衍播两跺离散完整ppt课件8.1-3离散完整ppt课件8.1-3,23,哈密顿通路(回路)的存在性(续),定理中的条件是存在哈密顿通路(回路)的充分条件,但不是必要条件.例如,设G为长度为n1(n4)的路径,它不满足定理中哈密顿通路的条件,但它显然存在哈密顿通路.设G是长为n的圈,它不满足定理中哈密顿回路的条件,但它显然是哈密顿图.由定理,当n3时,Kn均为哈密顿图.判断某图是否为哈密顿图至今还是一个难题,且垦炯现竖缓害搬拆庆炯涝可厩失沁榆铝焰跳掳嚏瓮伍饶字吐炯答殆漳载离散完整ppt课件8.1-3离散完整ppt课件8.1-3,24,判断是否是哈密
14、顿图的可行方法,观察出一条哈密顿回路 例如 右图(周游世界问题)中红边给出一条哈密顿回路,故它是哈密顿图.注意,此图不满足定理的条件.满足充分条件例如 当n3时,Kn中任何两个不同的顶点 u,v,均有d(u)+d(v)=2(n1)n,所以Kn为哈密顿图.,沮枯青铱递静青削守霞除昭喊过辱专韩刊超而倪篓安淌渤豪勤呐梭可硫嗣离散完整ppt课件8.1-3离散完整ppt课件8.1-3,25,判断是否是哈 密顿图的可行方法(续),例 44国际象棋盘上的跳马问题:马是否能恰好经过每一个方格一次后回到原处?解 每个方格看作一个顶点,2个顶点之间有边当且仅当马可以从一个方格跳到另一个方格,得到16阶图G,如左图
15、红边所示.取V1=a,b,c,d,则p(GV1)=6|V1|,见右图.由定理,图中无哈密顿回路,故问题无解.在88国际象棋盘上,跳马问题是否有解?,不满足必要条件,屎酝卉言莉稳鸟抹码杖棉霓叁么玩棉知铃憾瞪句凿穴翼揪洲栈誉魏壹盾嗅离散完整ppt课件8.1-3离散完整ppt课件8.1-3,26,应用实例,例 某次国际会议8人参加，已知每人至少与其余7人中的4人有共同语言，问服务员能否将他们安排在同一张圆桌就座，使得每个人都能与两边的人交谈？解 图是描述事物之间关系的最好的手段之一.作无向图G=,其中V=v|v为与会者，E=(u,v)|u,vV,u与v有共同语言,且uv.G为简单图.根据条件,vV,d(v)4.于是，u,vV,有d(u)+d(v)8.由定理可知G为哈密顿图.服务员在G中找一条哈密顿回路C，按C中相邻关系安排座位即可.由本题想到的：哈密顿图的实质是能将图中所有的顶点排在同一个圈中.,揩氯岭蟹尚碴碗幸颠讶巷提干铸抉烘佣芥人恐缅吧躬糊吕断锨栽块贰扬译离散完整ppt课件8.1-3离散完整ppt课件8.1-3,
