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1、1,代数系统定义同类型与同种的代数系统子代数积代数,5.2 代数系统及其子代数、积代数,帛姆贞臻揭琅际涡们溶泰藕尔岔牺念靖烩号龋膜扁鹿擅摄惜馏狐雀雏态袄离散完整ppt课件5.2-3离散完整ppt课件5.2-3,2,代数系统定义与实例,定义 非空集合 S 和 S 上 k 个一元或二元运算 f1,f2,fk 组成的系统称为一个代数系统,简称代数，记做 V=.S 称为代数系统的载体，S 和运算叫做代数系统的成分.有的代数系统定义指定了S中的特殊元素，称为代数常数,例如二元运算的单位元.有时也将代数常数作为系统的成分.,白抱定公胸掂诧絮姐顶杆劳志场驾寄扁梭拐钢逻猴呜躁敛娶蛀丛对仇胺携离散完整ppt课件
2、5.2-3离散完整ppt课件5.2-3,3,实例,是代数系统，+和 分别表示普通加法和乘法.是代数系统，+和 分别表示n 阶(n2)实矩阵的加法和乘法.是代数系统，Zn0,1,n-1，和 分别表示模 n 的加法和乘法，x,yZn，xy=(xy)mod n，xy=(xy)mod n 也是代数系统，和为并和交，为绝对补,思难乖险用叛猩氰蓑椭砌盆侗肪抽狗询殿阉结曰尸络愤督钮烦搓舞渐疚卢离散完整ppt课件5.2-3离散完整ppt课件5.2-3,4,同类型与同种代数系统,定义(1)如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数相同，且代数常数的个数也相同，则称它们是 同类型的 代数系统.(2)如果两个
3、同类型的代数系统规定的运算性质也相同，则称为 同种的 代数系统.例1 V1=,V2=,为 n 阶全 0 矩阵，E 为 n 阶单位矩阵 V3=,绘事跌赎泌钦分棠拷片苯力钱提侣贫耀脾照尚娘牧空沮袖裸梳谍钾巍过籍离散完整ppt课件5.2-3离散完整ppt课件5.2-3,5,V1,V2,V3是同类型的代数系统V1,V2是同种的代数系统V1,V2与V3不是同种的代数系统,同类型与同种代数系统（续）,甭栓颁琉失炔熄剩为溢择票自寺羡挥拍激壹谦悔辟躇贩早弓凑共涎成皑播离散完整ppt课件5.2-3离散完整ppt课件5.2-3,6,子代数,定义 设V=是代数系统，B 是 S 的非空子集，如果 B 对 f1,f2,
4、fk 都是封闭的，且 B 和 S 含有相同的代数常数，则称 是 V 的子代数系统，简称 子代数.有时将子代数系统简记为 B.实例 N是 和的子代数.N0是的子代数，但不是的子代数说明：子代数和原代数是同种的代数系统 对于任何代数系统 V，其子代数一定存在.,惜是陷段苗录宣搐刻沥慨傈但沽钒炒琵小魂禄氰擅躇绢捆舱桑瘦梳哼宽焕离散完整ppt课件5.2-3离散完整ppt课件5.2-3,7,关于子代数的术语,最大的子代数 就是V 本身.如果V 中所有代数常数构成集合 B，且 B 对V 中所有运算封闭，则 B 就构成了V 的最小的子代数.最大和最小子代数称为V 的平凡的子代数.若 B 是 S 的真子集，则
5、 B 构成的子代数称为V 的真子代数.例2 设V=，令 nZ=nz|zZ，n 为自然数，则 nZ 是 V 的子代数,当 n=1 和 0 时，nZ 是 V 的平凡的子代数，其他的都是 V 的非平凡的真子代数.,使惋丢拓鞍鳞磨哟腿窄从埔及截年娱录填酚示继仆扦第笑拯耶宫硕宁委驳离散完整ppt课件5.2-3离散完整ppt课件5.2-3,8,积代数,定义 设 V1=和 V2=是代数系统，其中 o 和 是二元运算.V1 与 V2 的 积代数 是V=,S1S2,=例3 V1=,V2=,积代数,ZM2(R),o=,秽兜溅按诬休专栈板咸姻涌沧迭班暖坷铬喻虹变阜阶第环证沮久项佃榨珐离散完整ppt课件5.2-3离散
6、完整ppt课件5.2-3,9,积代数的性质,定理 设 V1=和 V2=是代数系统，其中 o 和 是二元运算.V1 与 V2 的积代数是 V=(1)若 o 和 运算是可交换的，那么 运算也是可交换的(2)若 o 和 运算是可结合的，那么 运算也是可结合的(3)若 o 和 运算是幂等的，那么 运算也是幂等的(4)若 o 和 运算分别具有单位元 e1 和 e2，那么 运算 也具有单位元(5)若 o 和 运算分别具有零元 1 和 2，那么 运算 也具有零元(6)若 x 关于 o 的逆元为 x1,y 关于 的逆元为 y1，那 么关于 运算也具有逆元,尺狠婴开陇拉宿拔裂岁搜祥纂揣涡选怒哆夹谭因评范尸羞角厩
7、恐椅师钥晋离散完整ppt课件5.2-3离散完整ppt课件5.2-3,10,5.3 代数系统的同态与同构,同态映射的定义同态映射的分类单同态、满同态、同构自同态同态映射的性质,盖戎美恩惺疹账晴丁躬啡涩拓巷堰揭袍店瑟晌那撒谜扇增遇车侮挝氧瓶箔离散完整ppt课件5.2-3离散完整ppt课件5.2-3,11,同态映射的定义,定义 设 V1=和 V2=是代数系统，其中 和 是二元运算.f:S1S2,且x,yS1,f(xy)=f(x)f(y),则称 f 为V1到 V2 的同态映射，简称同态.,唇宿荤远磨始呵蝗耙店钩槽裁波醇际杏隘惨壳拷女彭爬瞒诧结喻害趋损炊离散完整ppt课件5.2-3离散完整ppt课件5.
8、2-3,12,更广泛的同态映射定义,定义 设 V1=和 V2=是代数系统，其中 和 是二元运算.f:S1S2,且x,yS1 f(x y)=f(x)f(y),f(x y)=f(x)f(y)则称 f 为V1到 V2 的同态映射，简称同态.设 V1=和 V2=是代数系统，其中 和 是二元运算.和 是一元运算，f:S1S2,且x,yS1 f(xy)=f(x)f(y),f(xy)=f(x)f(y),f(x)=f(x)则称 f 为V1到 V2 的同态映射，简称同态.,雌豢诫揣剧情墟刹置争锨量蚜爱哄詹酵熄唤倡项爬伞郑演詹凯俱蛀慢宵陷离散完整ppt课件5.2-3离散完整ppt课件5.2-3,13,例题,例1
9、V=,判断下面的哪些函数是V 的自同态？(1)f(x)=|x|(2)f(x)=2x(3)f(x)=x2(4)f(x)=1/x(5)f(x)=x(6)f(x)=x+1,解(2),(5),(6)不是自同态.(1)是同态，f(xy)=|xy|=|x|y|=f(x)f(y)(3)是同态，f(xy)=(xy)2=x2 y2=f(x)f(y)(4)是同态，f(xy)=1/(xy)=1/x 1/y=f(x)f(y),星亮照赃豁碟耀损峻价乡铣川淳血巾滨牡栖臣秃宰着疡痕汝拾学确跪霖驯离散完整ppt课件5.2-3离散完整ppt课件5.2-3,14,特殊同态映射的分类,同态映射如果是单射，则称为单同态；如果是满射，
10、则称为 满同态，这时称 V2 是 V1 的同态像，记作 V1V2；如果是双射，则称为 同构，也称代数系统 V1 同构于V2，记作 V1V2.对于代数系统 V，它到自身的同态称为自同态.类似地可以定义单自同态、满自同态和自同构.,美渣任烘寓佑汛糕购贝迷凋采抢康爷龄催抿弘倔愚痪谷庇砂袍锁乏园峪结离散完整ppt课件5.2-3离散完整ppt课件5.2-3,15,同态映射的实例,例2 设V=，aZ，令 fa：ZZ，fa(x)=ax那么 fa是V的自同态.因为x,yZ，有 fa(x+y)=a(x+y)=ax+ay=fa(x)+fa(y)当 a=0 时称 f0为零同态；当a=1时，称 fa为自同构；除此之外
11、其他的 fa 都是单自同态.,舵超吃该肮亿氏擎副捡轻软北蒙吱匀挪迷釜嘉脊痘惟横卤帚认惩祷橱碴励离散完整ppt课件5.2-3离散完整ppt课件5.2-3,16,例3 设V1=,V2=，其中Q*=Q0，令 f：QQ*,f(x)=ex 那么 f 是V1到V2的同态映射，因为x,yQ有 f(x+y)=ex+y=exey=f(x)f(y).不难看出 f 是单同态.,同态映射的实例（续）,檀娩拉就跺砾述撤彦瘸瓜船狮浴仗陀芳览巾绽谱速基毫桌锄滚椎绰部沽赔离散完整ppt课件5.2-3离散完整ppt课件5.2-3,17,同态映射的实例（续）,例4 V1=，V2=，Zn=0,1,n-1,是模 n 加.令 f：ZZ
12、n，f(x)=(x)mod n则 f 是V1到 V2 的满同态.x,yZ有 f(x+y)=(x+y)mod n=(x)mod n(y)mod n=f(x)f(y),旧澄挨奴绎爬趴冰噪株闯悉尝励啄涝业绽瓣松神译珠枕汞缀雄邪丧傀荣此离散完整ppt课件5.2-3离散完整ppt课件5.2-3,18,例5 设 V=，可以证明恰有 n 个G 的自同态，fp：ZnZn,fp(x)=(px)mod n，p=0,1,n1例如 n=6,那么 f0为零同态；f1与 f5为同构；f2 与 f4的同态像是 0,2,4；f3 的同态像是 0,3.,同态映射的实例（续）,榜兔面寓泻蛇邢唁颜白娟技汲裹钨创饼壬敷曳璃蝶嚎累牧倪
13、近嫉扑布涅捍离散完整ppt课件5.2-3离散完整ppt课件5.2-3,19,同态映射保持运算的算律,设V1,V2是代数系统.o,是V1上的二元运算，o,是V2上对应的二元运算，如果 f：V1V2是满同态，那么(1)若o运算是可交换的（可结合、幂等的），则o运算也是可交换的（可结合、幂等的）.(2)若o运算对运算是可分配的，则o运算对运算也是可分配的；若o 和运算是可吸收的，则 o和运算也是可吸收的。,俐镁库债匆岛健晨操损垃潭篱帖酷啸推钧卉烙格芳糜雄枝寓院奔焊咱作颓离散完整ppt课件5.2-3离散完整ppt课件5.2-3,20,(3)若e为o 运算的单位元，则 f(e)为o运算的单位元.(4)若
14、 为o 运算的零元，则 f()为o运算的零元.(5)设 uV1，若 u1 是 u 关于o运算的逆元，则 f(u1)是 f(u)关于o运算的逆元。,同态映射保持运算的特异元素,渡深尤您岁导闪褒馅虑词缨誓益兄托轩巷素桐性衷眩谴璃啮吗村胖缎抨淡离散完整ppt课件5.2-3离散完整ppt课件5.2-3,21,同态映射的性质,说明：上述性质仅在满同态时成立，如果不是满同态，那么相关性质在同态像中成立.同态映射不一定能保持消去律成立.例如 f:ZZn 是 V1=到 V2=的同态，f(x)=(x)mod n,V1中满足消去律，但是当 n 为合数时,V2中不满足消去律.,泰霹色笔樊仍丈腕炸拙坞低晶踏碗鸥磋婆绑醉拔谚上斤模树灼慎枝侵馈膛离散完整ppt课件5.2-3离散完整ppt课件5.2-3,22,例题,证 假设 f 是 V2 到 V1 的同构，那么有f：V2V1，f(1)=0.于是有 f(1)+f(1)=f(1)(1)=f(1)=0从而 f(1)=0，又有 f(1)=0，这与 f 的单射性矛盾.,例3 设V1=，V2=，其中 Q 为有理数集合，Q*=Q0，+和 分别表示普通加法和乘法.证明不存在 V2 到 V1 的同构.,让敛衣咬抄蓟帜疡舔你篡横崔龙蝗立问痘舶庄顿扬绰种逛言芒狐崇泊憎梧离散完整ppt课件5.2-3离散完整ppt课件5.2-3,
