第12章习题解答.doc

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1、平几习题集解答第一章习题练习1（面积法）1 已知：点E、F分别在平行四边形ABCD的边DC和BC上，且AE=AF，DGAF，BHAE，G、H是垂足。求证：DG=BH。证明：连DF、BE，那么所以 。但AF=AE，于是BH=DG。2. 设AD为ABC的中线，F为AD的中点，连结BF并延长交AC于E。求证：EC=2AE。证明：因为BD=DC，AF=FD，故。3已知平行四边形ABCD中，E、F分别在CD、AD上，AE和CF相交于G，且AE=CF。求证：GB平分AGC。证明：连BE、BF，则。另一方面，所以 sinBGC=sinAGB，即BGC=AGB。所以BG平分AGC。4P是ABC中A的平分线上任

2、意一点。过C引CE/PB，交AB的延长线于E，过B引BF/PC，交AC的延长线于F。求证：BE=CF。 证明：如图，故 所以BE=CF。5E、F是任意四边形ABCD的对边AD、BC的中点，M为对角线BD延长线上任一点。若直线ME、MF分别与AB、CD相交于P、Q两点。求证：EF平分PQ。证明：由P、E、M共线，得，故。由F、Q、M共线，得，故。所以 。因为AE=ED，BF=FC，所以PN=NQ。6AD是ABC的中线，过B点的直线交AD于E，交AC于F。求证：。证明：因为CD=DB，所以。7P是平行四边形ABCD对角线BD上任一点，PEAB于E，PFBC于F。求证：PE ：PF = BC ：AB

3、。证明：因为ABCD是平行四边形，故。另一方面，由PEAB，PFBC，知，所以 。8ABC中，ACB=900，AC=BC，D为BC中点。作CEAD，分别交AB、AD于E、F。求证：AE=2BE。证明：因 为CD=BD，故。另一方面，ACCD，CFAD，故AFCCFD。所以。故AE=2EB。9已知：在ABC中，AB=AC，P为BC上任意一点，PDAB于D，PEAC于E，BF是AC边上的高。求证：PD+PE=BF。证明：连AP，那么由，得 ACBF=ABPD+ACPE。又因为AB=AC，所以PD+PE=BF。10设O是ABC内任一点，AO、BO、CO的延长线分别交对边于D、E、F。求证：。 证明：

4、如图，11设线段OA的中点为M，过A的任意直线与过O的任意（位于OA的两侧）的两直线分别相交于P、Q，Q在线段AP上，PM与OQ交于R，QM与OP交于S。求证：。证明：因为M是OA的中点，故根据平行四边形PNRQ的调和性知NQ/OA。同理，PT/OA。于是所以 。 12在ABC的边AB、AC上分别取点D、E，使DE/BC，在AB上取点F，使。求证：AD2=ABBF。 证明：因为 SADE=SBFC，2SADE=ADDEsinADE，2SBFC=BFBCsinB，所以 ADDEsinADE=BFBCsinB。由因为 DE/BC，所以ADE=B，所以，即 AD2=ABBF。13AD是RtABC的斜

5、边BC上的高，E是CB的延长线上一点，且EAB=BAD。求证：。证明：ABAC，AB平分DAE，所以 。另一方面，AEBCEA。所以。所以 。14过平行四边形ABCD的顶点A引直线交BD于P，交DC于Q，交BC的延长线于R。求证：。证明：因为AD/BC, AB/CD，所以PQDPAB。从而。15已知：AT与ABC的外接圆相切于A，与CB的延长线交于T。求证：。 证明：因为TA是切线，所以TABTCA，所以。练习2（代数法）1. 在锐角ABC中，AD、CE是两条高，交点为H，且AD=BC，M是BC边的中点。求证：MH+DH是BC的一半。证明：设AD=BC=2x，MD=y。易知CDHADB，从而有

6、 ，即有 （1） 。又由勾股定理得 ，即 （2）。（1）+（2）得 。所以 。2. ABC为等边三角形，点D、E、F分别在BC、AC、AB上。求证：DEF的周长ABC的周长之半。证明：如图，设ABC的边长为a，AF=x,，BD=y,，CE=z，EF在BC边上的投影为MN，那么同理，。所以 。所以DEF的周长ABC的周长之半。3. 已知a、b、c和a, b, c分别为ABC和ABC的三边，且对于任意实数x都为定值。求证：ABCABC。证明：设定值为m（0），那么，即 。因为此式对任意实数都成立，所以。所以 ，从而 ABCABC。4AB是O的直径，过A、B引圆的切线AD、BC，又过弧AB上任一点E

7、的切线与AD、BC相交于D、C。求证：2OECD。证明：过O作OM/BC交CD于M，则M是CD的中点。因为OECD，所以OEOM。由梯形的性质得，所以 2OECD。5ABCD是圆内接四边形，对角线ACBD。求证：2SABCD = BCAD+ADBC。证明：根据托勒密定理知ADBC+ABDC=ACBD。因为 ACBD，所以 2SABCD= ACBD。所以 ADBC+ABDC=2SABCD。6一个给定的凸五边形ABCDE有下列性质：ABC、BCD、CDE、DEA、EAB的面积都等于1。证明：每一个具有上述性质的不全同的五边形都有相等的面积。证明：因为SABE = SADE，所以BD/AE，从而SA

8、BF = SDEF。同理，AC/DE，AD/BC。设AD与BE交于点F，则四边形BCDF是平行四边形，故SBDF =1。设SABF = x，那么由知 。由此解得 。所以 。7已知：PA、PB分别切O于A、B两点，E、F分别为PA、PB的中点，连结EF交PO于Q点，QH切O于H点。求证：PQ=QH。证明：因为E、F分别为PA、PB的中点，故 2PQ=PR。所以 QH2=OQ2 r2=OQ2 OROP =(QR+OR)2 OROP=QR2+2QR OR+OR2 OROP = QR2+OR(2QR+OR OP)=QR2所以 QH=QR=PQ。8AB是O的直径，P是O上任意一点，且PCAB于C。以P为

9、圆心，PC为半径的圆与O相交于D、E，DE与PC交于M。求证：M是PC的中点。证明：因为 DMME=DM(2PC PM)=CM(2PC CM),所以 2PCPM PM2=2PCCM CM2，即2PC(PM CM)=( PM CM)(PM+CM)。 因为 PM+CM=PC，所以PM CM=0，即 PM=CM，故M为PC的中点。9设ABC的内切圆与边AC相切于F，且ABBC=2CFFA。求证：ABC是直角三角形。证明：因为ABBC=2CFFA，所以。于是有 rp=(p-c)(p-a)sinB，rp2=p(p b )(p a )(p c )sinB=r2p2sinB，故 p b = rsinB。因为

10、 ，所以 ，解得B=900。故ABC是直角三角形。10ABC中，A=900，以BC为一边向外作正方形BCDE，连结AD、AE与BC交于F、G。求证：BF2+CG2+FG2=BC2。证明：因为A=900，四边形BCDE是正方形，故即 。 ，即 。 ， 即 。 由、解得从而因为 ，所以 BF2+CG2+FG2=BC2。11圆中三弦两两相交于P、Q、R。若PA=QE=RD，PC=QB=RF。求证：PQR为等边三角形。证明：由PQ+AP+QB=PR+PC+RD=QR+QE+RF， PA=QE=RD，PC=QB=RF，解得 PQ=RP=QR。所以PQR为等边三角形。12在ABC中，D、E分别是BC、AB

11、上的点，连结DE，且B=CAD=ADE。ABC、EBD、ADC的周长依次为m、m1、m2。求：的范围。证明：因为B=CAD=ADE，所以DE/AC。设BD=BC，则m1=m。由ACDBCA，知，故。所以 。13 P 为O外一点，PN是O的切线，切点为N，M为PN的中点。过P、M作O1，与O相交于A、B两点，BA的延长线交PN于Q。求证：MQ：QN：PM：PQ=1：2：3：4。 证明：如图，QMQP=QAQB=QN2，所以。由此得 ，即 ，QP=2QN。于是 。设PN=6t, 则 QM=t, QN=2t, PM=3t, PQ=4t，所以MQ：QN：PM：PQ=1：2：3：4。14两等圆O、O 相

12、交于P、Q两点，并且一圆经过另一圆的圆心，PQ交OO于A点，O与O内切，与O外切，并在OO的P点的一侧与OO相切于C点，BC是O的直径。求证：BCAP是正方形。证明：如图，设等圆的半径为r，另一圆的半径为r，CO=x，那么(r + r )2 = r 2 + (x + r)2，(r r )2 = r 2 + x2,即 2rr = x2 +2xr，r2 2rr = x2。解得 。所以 于是由APAC，BCAC知四边形ACBP是正方形。 练习3（三角函数法）1 在ABC中，AB=AC，P为BC上任一点，PDAB，垂足为D，PEAC，垂足为E，CGAB，垂足为G。求证：PD+PE=CG。证明：因为AB

13、=AC，故B=C，由知PD+PE=sinB(BP+PC)=BCsinB=CG。2 在ABC中，ACB=900，CDAB于D。求证：。证明：因为ACB=900，CDAB，所以 。所以 。 3. 在ABC中，ACB=900，P为BC中点，PDAB，垂足为D。求证：AD2 BD2 = AC2。证明：因为ACB=900，P为BC中点，PDAB，所以所以 4已知在ABC中，AB=AC，A=900，D在AB上，E在AC上，。求证：ADE=EBC。证明：如图，故 。由此解得 。所以ADE=EBC。5ABC的两条高AD、BE相交于H，延长AD交外接圆于K。求证：HD=DK。证明：如图，所以 HD=DK。6以O

14、上一点为圆心作O，记O与O的一个交点为A，O的直径AB交O于C。求证：ABAC=2OC2。证明：如图，作OD垂直AC于D，则由OA=OC可知AD=DC。于是由射影定理得，即 ABAC=2OA2=2OC2。 另证：由知 ABAC=2OA2=2OC2。7过正方形ABCD的顶点A，任作一直线交BC于E，交DC的延长线于F。求证：。 证明：如图，AEcosBAE=AB, AFsinBAE=AD=AB，所以 ，即 。8在RtABC中，A=900，ADBC，垂足为D，BC上有一点E，且BE=CD，过A、D、E三点作圆，并过B作圆的切线，切点为F。求证：。证明：如图，因为A=900，ADBC，故BDCD=A

15、D2，DAB=C。那么 所以 。9在矩形ABCD中，过A作对角线BD的垂线AP，垂足为P，过作BC、CD的垂线PE、PF与BC、CD分别交于E、F。求证：AP3=BDPEPF。证明：如图，记ADB=，那么BAP=PBE=DPF，故所以 AP3=BDPEPF。10设ABCD是已知O的内接矩形，过A作该圆的切线，与CD、CB的延长线交于E、F。求证：。证明：如图，记ADB=，那么FAB=AED，故。所以 。11已知：半圆的直径AB，半圆外的直线l与BA的延长线垂直，垂足为T（ATBC，B=450，O和I分别是三角形ABC的外心和内心，且，求sinA 。 （198年，中国数学奥林匹克）证明：如图，设

16、O、I分别为ABC的外心和内心，D、E分别为O、I在BC上的投影，那么。（1）当OIAB时，由I在AB的中垂线上可知ABI是等腰三角形，于是 ABI=BAI。所以A=2BAI=2BAI=B=450，即。（2）当OI/AB时，有 所以 。化简，得 因为B=450，故A+C=1350。所以。所以 。于是 。综上所述，或 。14. 如图，在ABC中，ACB450，D为AC上一点且ADB600，AB切BCD的外接圆于B，求证：AD ：DC2 ：1。 证明：因为ACB450，ADB600，AB切BCD的外接圆于B，所以CBD150，ABD450，A750。 根据正弦定理知。于是有 。所以AD ：DC2

17、：1。第二章证题术练习1（线段相等）1. 证明：等腰三角形两底角的平分线相等；两腰上的中线也相等。证明：如图，设AB=AC，BE、CF分别是ABC与ACB的平分线，那么由ABC=ACB，EBC=FCB，BC=BC知BCECBF，所以BE=CF，即等腰三角形两底角的平分线相等。再设BE、CF分别是AC、AB边上的中线，那么由ABC=ACB，BF=CE，BC=BC知BCECBF。所以BE=CF，即等腰三角形两腰上的中线相等。2. 正方形ABCD中，E、F分别是边CD、DA的中点。连BE与CF交于点P，求证：APAB。证明：因为E、F分别是边CD、DA的中点，故BCECDF，从而BECF。过A作BE

18、的垂线分别交BE、BC于H、G，那么ABGBCE，故BG=CG。根据GH/CP知BH=HP。所以ABP是等腰三角形，且AP=AB。3. 正方形A1B1C1D1在正方形ABCD内，又A2B2C2D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点，求证：A2B2C2D2也是正方形。证明：设O是正方形A1B1C1D1和正方形ABCD的相似中心，那么OA1AOB1B，故。因为A2、B2分别是AA1与BB1的中点，从而，所以 OA1A2OB1B2。于是由OA1与OB1垂直且相等知OA2与OB2垂直且相等。 同理，OC2与OB2垂直且相等，OC2与OD2垂直且相等。所以A2B2C2D2是正方形。4. 在等边A

19、BC中，延长BC至D，延长BA至E，且使AEBD，求证：CEDE。证明：过E作EFBD于F，那么由知CF=FD，即F是CD的中点。所以CDE是等腰三角形，且CE=DE。5. 锐角ABC的高交于点O，在线段OB和OC上各取点B1和C1，使得AB1C=AC1B=900。求证：AB1=AC1。证明：因为BEAC，CFAB，所以B、C、E、F共圆，故AEAC=AFAB。又因为AB1CB1，AC1BC1，所以，故AB1=AC1。6. 已知一个三角形三个角的比为1：2：4,求证：角平分线与对边的交点是一个等腰三角形的顶点。证明：如图，设AD、BE、CF分别是A、B、C的平分线，则。 （1）因为DAC=DC

20、A，FCB=FBC，AFI=FAI，AIE=AEI，所以 AD=DC，BF=CF，FI=AI=AE。 （2）由ADBCAB知 ，故 。 （3）由（1）、（3）可得 （4）由AICCAB知 ，故 ，即 ab+bc=ac。 （5）由AFCACB知 ，故 ，即 b(a+b)=c2。 （6）又由等腰三角形的性质知， （7）（8）由（7）和（8），即得 DE=DF，即DEF是等腰三角形。7. 已知等腰ABC底边上的高为AH，从一条边上的点P向另两条边作垂线PD、PE，若AHPD+PE，求证：ABC为正三角形。证明：如图，因为AB=AC，故PD+PE=BF=AH，所以 AC=BC，从而AB=BC=CA，即

21、ABC为正三角形。8. 以任意三角形的边为底向形外作底角为300的等腰三角形ABC、BCA、CAB。求证：ABC是正三角形。证明：设AB=x, CA= y, BC=z，因为ABC、BCA、CAB都是底角为300的等腰三角形，所以。同理，所以AB= BC= AC，即ABC是正三角形。9. 已知ABC的高AD、BE交于H，ABC、ABH的外接圆分别为O和O1，求证：O和O1的半径相等。证明：因为AD、BE分别是ABC的高，故BHC+A=1800。所以O和O1的半径分别为。所以O和O1的半径相等。10. 若一个圆外切四边形有一对对边相等，求证：圆心到另一对对边中点的距离相等。 证明：如图，设AB=C

22、D，H、F分别为AD与BC的中点，E、G为切点，那么。因为ABCD是O的外切四边形，故AD+BC=AB+CD=2AB，AE+DG=AD，BE+CG=BC，所以所以OH=OF，即圆心到另一对对边中点的距离相等。练习2（角相等）1. 在ABC中，ACBC，ACB900, D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，又2AEBD，求证：BD是ABC的平分线。证明：因为ACBC，ACB900，2AEBD，所以。于是 。由积化和差公式可得。所以sin(ABD ABD)=0，即ABD =ABD。所以BD是ABC的平分线。2. 从ABC的顶点B、C分别作A的平分线的垂线，垂足为D、E，直线BE与CD相交于P

23、。求证：AP平分A的外角。证明：如图，连AP，因为AD是A的平分线，CEAD，BDAD，所以CE/BD，且AECADB。于是。所以AP/CE，故APAD。所以AP平分A的外角。3. 在ABC中，C900, D是AB上一点，作DEBC于E，使BEAC，且2BD1，又DE + BC1,求证：ABC300。证明：因为DE/AC，故BDEBAC。所以。因为BE=AC，故 。由 DE+BC=1知，由此即得 AC2+BC2=BC。 （1）又由 BD2 = BE2 + DE2 = AC2 + (1 BC)2 = AC2 +BC2 +1 2BC = AB2 +1 2BC得。 （2）由（1）、（2）解得 。所以

24、 ，故B=300 。4. 在凸四边形ABCD的边BC上取两点E、F（E比F离B较近），若BAECDF，且EAFFDE，求证：FACEDB。证明：因为 A(BF, CE)=(BF, CE)=D(BF, CE)，故。因为BAECDF，EAFFDE，所以，即。解得 FACEDB。5. 在四边形ABCD中，对角线AC平分BDA，在CD上任取一点E，连BE交AC与F，延长DF交BC与G。求证：GACEAC。证明1 如图，过A作AC的垂线AH，连BD分别交AC、AH于I、H。根据角平分线的性质知（BD，IH）=1。连GE交AH于H，交AC于J。根据完全四角形CEFG的调和性知（BD，IH）=1，由 （BD

25、，IH）=（BD，IH）知H与H 重合。由AC与AH垂直，且（GE，JH）=（BD，IH）=1知AC与AH是GAE的内外平分线。所以 GAC=EAC。证明2：如图，过C作AB的平行线交AG的延长线于K，过C作AD的平行线交AE的延长线于L，那么 (i)又AJ平分BAD，故 (ii)因为CJ、BE、DG共点，故根据塞瓦定理知 (iii)由(i), (ii), (iii)得，即CK=CL。另一方面，因为AC平分BAD，故，同理 ，即有ACK=ACL。由CK=CL，AC=AC，ACK=ACL，知 ACKACL，所以GAC=EAC。6. 在平行四边形ABCD中，E为AD上一点，F为AB上一点，且BED

26、F，BE与DF交于G，求证：BGCDGC。证明：如图，连CE、CF，作CLDF于L，CMBE于M，作FJCD于J，EKBC于K，那么SBEC=SABCD/2= SDFC。因为2 SBEC=BECM，2 SDFC=DFCL，BE=DF，故CL=CM。从而RtCLGRtCMG。所以BGCDGC。7. 设O是平行四边形ABCD内一点，且AOB+COD1800。求证：OBCODC。证明：过C作CO/BO，过D作DO/AO，两线交于O，那么ABODCO。故AOBDOC，且AOOD、BOOC都是平行四边形。因为AOB+COD1800，所以DOC +COD1800，所以O、C、O、D共圆。所以ODCOOC=

27、OBC。8. 梯形ABCD中，AB/CD，ABCD，K、M分别是腰AD、BC上的点，若DAMCBK，求证：DMACKB。证明：因为DAMCBK，所以、M共圆。故DKMCBA，AKBAMB。因为AB/CD，所以DCM+CBA1800，于是DCM+DKM1800，从而D、C、M、K共圆。所以DKCDMC。于是CKB=1800 AKB DKB=1800 AMB DMC=DMA。9. 在四边形ABCD中，ADBC，E、F分别为AB、CD的中点，延长AD、BC分别交EF的延长线于H、G，求证：AHEBGE。证明：如图，连BD，取BD的中点M，连EM、FM。因为E、F分别为AB、CD的中点，故EM/AD,

28、 FM/BC，且2EM=AD，2FM=BC。因为AD=BC，所以EM=FM。于是MEFMFE。所以 AHEMEFMFE=BGE。10. 正方形ABCD中，E为AD中点，F为ED中点。求证：FBC2ABE。证明：不妨设AB=4，那么AE=2，EF=FD=1。所以。由 ，即得FBC2ABE。练习3（平行于垂直）1. 在ABC中，BAC900, ABAC，M为AC中点，N在BC上，且BN2NC。求证：ANBM。证明：过N作ND/AB交AC于D，则CD=DN。又2CN=BN，故2CD=AD。由ABAC，ADDN，知BAMADN，所以ANBM。2. 已知ABC和ADE都是等腰直角三角形，B、D都在AEC内部，M是EC的中点。求证：BMDM。证明：过C作CFBD于F，过E作EGBD于G，过A作ANBD于N，那么由AB=BC，ANB=900=BFC，BAN=CFB，知ANBBFC。同理，ANDDGE。于是M到BD的距离就是梯形CFGE的中位线，它等于CF与EG的半和即BD的一般，所以BMD是等腰直角三角形。所以BMDM。3. 设D是等腰直角ABC底边BC的中点，P是直线BC上的任意一点。引PEAB于E，PFAC于F。求证：DE与DF垂直且相等。证明：因为CF=FP=AE，AD=DC，DAE=1350=DCF，所以ADECDF。那么由ADDC，即知DEDF。