毕业论文 克莱姆法则的推广及其应用.doc

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1、 毕业论文 题目: 克莱姆法则的推广及其应用 院(部)名 称: 信息与计算科学学院 专 业: 应数 摘 要 行列式的概念是线性代数中的基本概念之一，行列式的计算式是线性代数中最基本的计算。行列式不仅是线性代数，数学各个领域的一个重要工具，而且也是其他自然科学，工程技术各个领域中的重要工具。 通过增加方程组的未知数个数和所含方程的个数，由此引出问题：个未知数个方程的线性方程组能否象二元线性方程组一样有公式解？何时有解？ 主要内容是以阶行列式的定义为基础，讨论阶行列式的性质及其简单算法，并据此把求解二元，三元线性方程组的Cramer(克莱姆)公式推广到元线性方程组的情形。克莱姆法则正好解答了这个问

2、题，然后给出其证明.关键词：行列式，线性方程组，克莱姆法则目 录第1章 前 言5第2章 行列式的定义及性质82.1行列式的定义182.2 行列式的性质10第3章 克莱姆法则推广123.1 克莱姆法则的推广123.2 克莱姆法则的再推广14第4章 介绍克莱姆法则的各种应用164.1 用克莱姆法则讨论一元二次线性方程组的公共根上的问题164.2 借助克莱姆法则证明一类特殊不等式194.3克莱姆法则在求矩阵A的逆矩阵的应用214.4用克莱姆法则解决微分几何问题的应用244.5克莱姆法则在非齐次线性方程组的求解问题中的应用27致谢30参考文献31第1章 前 言初等代数从最简单的一元一次方程开始,在中学

3、所学的初等代数中,字母仅用来表示数,初等代数一方面讨论二元及三元的一次方程组,另一方面研究二次以上并且可以转化为二次的方程组的问题.沿着这两个方向继续发展,代数学在讨论任意多个未知数的一次方程组（也叫线性方程组的）的同时,还研究次数更高的一元方程及多元方程组,代数学发展到这个阶段高等代数.然而，线性代数是高等代数的一大分支.我们很清楚一次方程叫做线性方程.显然，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数.线性代数有三个基本计算单元：向量(组)、矩阵、行列式,研究它们的性质和相关定理,能够求解线性放程组,实现行列式与矩阵计算和线性变换,构建向量空间和欧式空间.线性代数的两个基本方法是构造（分解）

4、法和代数法,基本思想是化简（降解）和同构变换.行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的,他在1683年写了一部叫做解伏题之法的著作,意思是“解行列式问题的方法”,书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述.矩阵代数的丰富发展,人们需要有合适的符号和合适的矩阵乘法定义.二者大约要在同一时间和同一地点相遇.1848 年英格兰的 J.J Sylvester 首先提出了矩阵（来源于拉丁语）这个词,它代表一排数.1855年矩阵代数得到了Arthur Cayley 的一定培育发展.Cayley 研究了线性变换的组成并提出了矩阵乘法的定义,他还进一步研究了那些包括逆矩阵在内的代数问题.行列式

5、和矩阵如导数一样（虽然在数学上不过是一个符号,表示包括的极限的式子,但导数本身是一个强有力的概念能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情）.因此，虽然表面上看,行列式和矩阵不过是一种语言或速记,但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙.然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具.在线性代数中最重要的内容就是行和矩阵.行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意.而且关于这两个课题的文章也层出不穷,使得线性代数得到了一定的发展.其中,行列式出现于线性方程组的求解,它最早是一种速记的表达式,现在已经是数学中一种非常有用的工具.行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的.1693 年4月,莱布

6、尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式,并给出方程组的系数行列式为零的条件.1750年,瑞士数学家克莱姆 (G.Cramer,1704-1752) 在其著作线性代数分析导引中,对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述,并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则.稍后,数学家贝祖 (E.Bezout,1730-1783) 将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解.总之,在很长一段时间内,行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用,并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外,单独形成一门理论加以研究.在行列式的发展史上,第

7、一个对行列式理论做出连贯的逻辑阐述(即把行列式理论与线性方程组求解相分离)的人是法国数学家范德蒙(A-T.Vandermonde,1735-1796).特别地,他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则.但就对行列式本身这一点来说,他是这门理论的奠基人.1772年,拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些理论,推广了展开行列式的方法.继范德蒙之后,又一位对行列式发展做出突出贡献的就是另一位法国大数学家柯西.1815年,柯西在一篇论文中给出了行列式的第一个几乎近代的系统.其中主要结果之一是行列式的乘法定理.另外，他第一个把行列式的元素排成方阵,并且采用双足标记法;引进了行列式特征方程的

8、术语;给出了相似行列式的概念;改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了证明及相应的结论. 19世纪的半个多世纪中,对行列式理论研究始终不渝的作者之一是詹姆士西尔维斯特 (J.Sylvester,1814-1894).西尔维斯特用火一般的热情介绍他的学术思想,他的重要成就之一是改进了多项式中消去的方法,他称之为配析法,并给出形成的行列式为零时这两个多项式方程有公共根充分必要条件这一结果,但没有给出相应的证明.在行列式理论方面最多著作的人就是德国数学家雅可比 (J.Jacobi,1804-1851),他引进了函数行列式,即“雅可比行列式”;指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用,给出了函数行列式

9、的导数公式.雅可比的著名论文论行列式的形成和性质标志着行列式系统理论的建成.由于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在19世纪也得到了很大发展.整个19 世纪都贯穿着行列式新结果的诞生.除了一般行列式的大量定理之外,还有许多有关特殊行列式的其他定理都相继得出.另外,近现代数学分析与几何学等数学分支的要求也促使了线性代数的进一步发展.另一方面,由于计算机的飞速发展和广泛应用,许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决.于是作为处理离散问题的线性代数,成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础.由于线性代数的不断发展使其应用贯穿到多

10、个学科.第2章 行列式的定义及性质2.1行列式的定义1 在引入克莱姆法则之前，先介绍一下元线性方程组的概念。含有个未知数的线性方程组 (2.1.1) 称为元线性方程组。当其右端的常数项不全为零的时候方程组（2.1.1）称为非齐次线性方程组，当全为零时，线性方程组（2.1.1）称为齐次线性方程组。线性方程组（2.1.1）的系数构成的行列式称为方程组的系数行列式 克莱姆法则 若线性方程组(2.1.1)的系数行列式, 则线性方程组(2.1.1)有唯一解,其解为 其中是把中第列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式.定义 行列式是由位于不同行和不同的列的元素构成的，并且展开式恰恰就是由所

11、有这种可能的组成，其中级行列式表示为： 等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积 （2.1.2）的代数和，这里是的一个排列，每一项（2.1.2）都按下列规则带有符号：当是偶排列时，（2.1.2）带有正号；当是奇排列时， （2.1.2）带有负号。这一定义又可以写成 其中， 表示对所有级排列求和.另外，由于行列式的行指标与列指标的地位是对等的，因而为了决定每一项的符号，同样可以把每一项的列指标排列起来，于是定义还可以写成 同样，根据以上两种定义行列式的定义还可以写成下面的形式 其中，是取自不同行不同列的个元素的乘积的代数和，是的一个排列，偶排列时符号为正，相反如果奇排列则符号为负.2.2 行列式的性

12、质性质1 将行列式的行与列互换后得到的行列式,称为的转置行列式,记为或即 则 行列式行列互换,行列式不变，即注1 由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,同理它的列也同样具有相应的性质.性质2 交换行列式的两行(列),行列式反号.性质3 数k乘以行列式的某一行，等于这个数乘以行列式. = = 注2 令k=0，如果行列式中一行为零，那么行列式为零.注3 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式的外面.性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,则这个行列式等于这两个元素对应行列式的和 则 . 性质5 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零. 注4 所

13、谓两行相同就说两行的对应元素都相等. 性质6 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零. 性质7 把一行的倍数加到另一行，行列式不变. . 第3章 克莱姆法则推广 克莱姆法则是高等代数中很重要的内容，论文对克莱姆法则进行了推广并且介绍了几种应用。3.1 克莱姆法则的推广 定义 设是数域上的一个阶行列式，又为上的矩阵，若将中的某一行或某一列中的元素依次换为后所得到的行列式称为广义行列式。（广义行列式是上一个确定的矩阵）。根据广义行列式的定义，利用矩阵的加法以及数乘运算的法则可知，普通行列式的性质及展开定理，对广义行列式也同样成立。广义Cramer（克莱姆）法则：设是上的数，均为上的矩阵，又为未知的

14、矩阵，则当矩阵方程组 (1)的系数行列式是，方程组（1）有唯一解；其中为将的第列元素换成矩阵后所得到的广义行列式证明：（1）唯一性设方程组（1）有解，且为其任意解，于是（1）式就变为个矩阵等式，根据广义行列式性质，有 由于,故（2） 存在性：考虑要两行相同的阶广义行列式 由于，故同理可验算：也满足其余方程。3.2 克莱姆法则的再推广 定理 1 ，是的阶子式阵，考虑方程组 （2）式中，换句话说，就是每次取个值的乘积，而且前后次序是按字典排列法排列的。 如果行列式，则方程组（2）有唯一解：其中而依次为阶子式在中的代数与子式。 为了推广定理1需要下列的预备知识 引理1 设是阶行列式，在中任取行（列）

15、，则位于这行（列）中所有的阶子式与另行（列）（即与前面所取得行或列不完全相同）中对应的子式的代数与子式乘积等于零。定理2 设是数域上的维线性空间，是上的方阵，是的阶子式阵，考虑向量方程组： （3）式中是中的未知向量，均是中已知向量，每次取个的乘积，而且前后次序按字典排列法排列。若行列式，则方程组有唯一解，（4）。，而依次为阶子式在中的乘代数与子式。证明 先证解得唯一性，用依次乘方程组（3）中的第个方程的两端，然后加上由Laplace定理即引理1可得由于，故。同理可证此示当为（3）的任一解时这个解必为（4），即解是唯一的。再证解的存在性，将（4）代入方程组（3）中的第一个方程的左端，再由Lapl

16、ace展开定理即引理1得 即（4）满足（3）的第一个方程同理可证（4）也满足方程组（3）的其余各方程，故（4）是方程组（3）的一个解。显然，当时，此时定理2为推论 设向量方程组 （5）的系数行列式，则（5）有唯一解，其中是数域上的线性空间的位置向量，是中的已知向量，。而，依次是在中的代数与子式。 第4章 介绍克莱姆法则的各种应用克莱姆法则 若一个线性方程组的系数行列式, 则该线性方程组有唯一解,其解为 其中是把中第列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式.4.1 用克莱姆法则讨论一元二次线性方程组的公共根上的问题一元二次方程，就是只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程，其一般

17、形式为 ； 定理 1 两个一元二次方程 （I）仅有一个共根的充要条件是： 且 证明：令，方程（1）化为： （II）由克莱姆法则知（2）只仅有一个共根 且 由上可得推论：若两个一元二次方程（1）和（2）仅有一个公共根，则这个公共根为： 且 同样根据克莱姆法则可得出一元二次方程（1）有两个公共根的充要条件。定理2 或者 且 证明 令 的方程组 （II），则方程（1），（2）有两个公共根 ；例 给出两个方程 和 ， 取何值时，两个方程有相同的根，并求之。解 由定理 1 ，2 可知，两个方程至少有一个公共根 即 ： 解得： 。当 时，原方程变为 ： 和 它们有两个公共根： 当 时 ，两个方程仅有一个相

18、同根： 。例 若三个一元二次方程 有公共根试证 证明 分两种情况证明：1） 若方程（1），（2）仅有一个公共根，则由定理 1 ，推论，公共根为： 且 将它代入方程（3）得 ，上式两边同时乘以 得 ： 即 ： 2） 若方程（1），（2）有两个公共根，则由定理可知： 从而 即 ： 由上述可知：三个一元二次方程（1），（2），（3）若有公共根，则 否则，若，则它们无公共根 。4.2 借助克莱姆法则证明一类特殊不等式 克莱姆法则是解决方程个数与未知量个数相等且系数行列式不等于零的线性方程组的重要工具，但若能将其应用于某些不等式的证明，也可取得奇妙的效果。命题 设 求证 等号当且仅当 时成立。证明 令

19、视之为以为未知量，含有个方程的线性方程组。其系数行列式用分别替换行列式中的第列得：根据克莱姆法则有：故 此处用了不等式 ，等号当且仅当时成立，命题得证。在上述命题中，令，则的 ，令，则得 。推论 设 且 ，则当 时，取得最小值 。4.3克莱姆法则在求矩阵A的逆矩阵的应用 结合逆矩阵的定义和矩阵相等的概念，用克莱姆法则验证矩阵的逆矩阵 。定理 阶方阵可逆的充分必要条件是是非奇异矩阵，并且 。对于阶矩阵 的逆矩阵 ，大多数教材上是通过上面的定理给出的，而对于该定理的证明则是结合行列式的性质通过矩阵的乘法确实计算得，从而根据逆矩阵的定义得知 就是矩阵 的逆矩阵 。教学的过程中时常会有学生提出这样的问

20、题：老师，通过定理的证明我能接受 就是矩阵 的逆矩阵 ，可是先是如何想到矩阵的呢？下面我就用克莱姆法则来验证矩阵 的逆矩阵 就是 。我们知道，当 可逆时， 的逆矩阵 是与 同阶的矩阵。 不妨假设 根据逆矩阵的定义可知,即： 将两个矩阵相乘确定出所得矩阵的各个位置上的元素，再利用矩阵相等的条件，由左右两个矩阵的第一列对应元素相等可以得到如下的方程组： 当 是非奇异矩阵时，就有 ，从而根据克莱姆法则； 同理，由左右两边两个矩阵的第二列对应元素相等可以得到如下的方程组： 从而根据克莱姆法则有： ； ； 。再依次由左右两边两个矩阵的第列对应元素相等可以得到类似的方程组，同样由克莱姆法则得： 这样 中的

21、每一个元素就都已经求出了，全部代入得： 。这就用克莱姆法则验证了 的逆矩阵 就是 。4.4用克莱姆法则解决微分几何问题的应用 一个线性方程组可以用矩阵与向量的方程来表示： （1）其中的是一个的方块矩阵，而向量是一个长度为的列向量。也一样。克莱姆法则说明：如果是一个可逆矩阵，那么方程（1）有解，其中 （1）其中 是被列向量 取代了 的第 列的列向量后得到的矩阵。为了方便，我们通常使用 来表示 ，用来表示 。所以等式（1）可以写成为： 运用克莱姆法则可以很有效地解决一下方程组。已知： 使用矩阵来表示就是： 当矩阵可逆时，可以从克莱姆法则得出： 以及 用矩阵的情况亦差不多。已知： 当中的矩阵表示为：

22、 当矩阵可逆时，可以求出 ： 克莱姆法则在解决微分几何的问题时十分有用 。先考虑两条等式。其中的 是需要考虑的变量。并且它们互不相关。我们可以定义 和 。找出一条等式适合 是克莱姆法则的简单应用。首先，我们要计算在处的导数： 将代入 ，可得出： 因为和互不相关，所以和的系数都要等于。所以等式中的系数可以被写成： 现在用克莱姆法则就可得到： 用两个雅克比矩阵来表示的方程： 用类似的方法就可以找到 。 4.5克莱姆法则在非齐次线性方程组的求解问题中的应用1. 非齐次线性方程组相容的条件： 对非齐次相形方程组： （1）即矩阵方程： 记 称为非齐次线性方程组（1）的增广矩阵。显然，线性方程组（1）和它

23、的增广矩阵一一对。应从而类此于其次线性方程组的矩阵解法，求解非齐次线性方程组（1）可以通过对它的增广矩阵进行初等行变换来实现。例 解方程组 解：对增广矩阵施行初等行变换以最后一个矩阵为增广矩阵的线性方程组为： 此即为原方程组的解。由上面例子我们可知非齐次线性方程组（1）的解忧三种情况：唯一解，无穷多接，无解。一般的，对含有个方程，个未知量的非齐次线性方程组（1）。假定经矩阵的初等行变换将其增广矩阵化简为如下形式（必要时假定在前列中交换次序，这相当于交换未知量的顺序，因此不影响方程组的解）。 则以该矩阵为增广矩阵的方程组为： （2）则（2）与（1）同解。显然（2）的解有三种情况：1，如果，则（2

24、）中矛盾，那么无论取怎样的数值（2）均无解，从而（1）也无解。2，如果，则上面矩阵中的就不存在，所以方程组（1）有唯一解：。3，如果，把（2）中含的项移到右端改写为 则任给的一组值，就能唯一的确定一组的值，即为（1）的一个解。由于可任意取值，从而当时，方程组（2）有无穷多接。 综上所述，我们有 定理 非齐次线性方程组有解的充分必要条件是：。且当时候，方程组有唯一解；当时，方程组有无穷多解。 致谢 经过一个多月的努力，克莱姆法则的推广及其应用论文终于完成，在整个设计过程中出现过很多难题，但在老师和同学的帮助下都被解决了，在不断的学习中使我深刻体会到写论文是一个不断学习的过程。从最初对行列式，线性

25、方程组的简单认识及对知识理解的不够准确，通过这次做论文，真正的深入研究并且掌握了行列式的性质及其应用。 总之，通过毕业设计，我深刻体会到要完整的做好一件事情，需要有系统的思维方式和方法，熟练对已学知识进行运用。对待要解决的问题，要有耐心、有恒心，要善于运用各种已有的资源来充实自己。同时，我也认识到做事不能急于求成，要扎实的一步一个脚印的去做，这样才会有成效。再次，感谢所有在论文期间帮之过我的老师和同学，特别是我的指导老师孔妮娜，经过无数次的修改，是她的细心指导让我顺利完成了本次论文。其次，要感谢我的同学，也是通过她们的帮助我的论文才可以顺利的完成，让我感受到友情的可贵。怀着一颗感恩的心，我会一

26、直的继续努力下去。 参考文献 1 张励.克莱姆法则的推广J安徽建筑工业学院学报(自然科学版)，2006,(03)2 陈建梅，张长春，张国强 逆矩阵中若干问题的研究J 郑州工业大学学报1995,(04).3 欧维义，陈维钧线性代数M吉林：吉林大学出版社，20044 刘剑平，施劲松，钱夕元线性代数及其应用M北京：科学出版社，20035 杨浩菊克莱姆法则历史研究J西北大学学报(自然科学版)，2004，(02)6 王朝瑞，史荣昌矩阵分析M北京：北京理工大学出版社，19897 王萼芳，石生明高等代数（第三版）M北京：高等教育出版社，20038 布仁克莱姆法则在不等式证明中的一个应用J高等数学研究，200

27、6，(01)9 汪子莲,丁双平. 克莱姆法则的另一应用J. 兰州工业高等专科学校学报, 2006,(01)10 苏敏逆矩阵求法的进一步研究J河南纺织高等专科学校学报，2004，(02)11 耿锁华行列式性质的运用J南京审计学院学报，2006，(01)12 杨子胥，Cramer法则的推文J.数学通报1983，（4），29-30.13 沈伯英，Crassmann代数与行列式J.数学通报,1992,（4）,38.14 赵振华，广义行列式与Cramer法则J.数学通报,1993,（9）,41-43.附 录 符号说明关于连加号“” 在数学中常常碰到若干个数连加的式子 (1)为了简便起见，我们把(1)记成 (2)“”称为连加号，表示一般项，而连加号的写法表示的取值由到.例如.(2)中的陈为求和指标，它只起一个辅助的作用.把(2)还原成(1)时，它是不出现的譬如说，(1)也可以记成因之，只要不与连加号中出现的其它指标相混，用什么字母作为求和指标是任意的，例如，矩阵 (3)中第行元素的和是在这里求和指标就不能用“”，因为 有时，连加的数是用两个指标来编号的。关于的符号代表阶方阵；是的逆矩阵；代表对应的行列式；是的伴随矩阵，其中是中的元素的代数余子式。代表阶单位矩阵。